Algorithme de Markov

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Algorithme de Markov

• Système formel de réécriture
• J. Chauché
• Décembre 2005

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Définition Générale

• Règle élémentaire ? ? ?
• Application Si w w1 ?w2 et w1 ne contient
  pas doccurrence de ? alors
• w gt w avec w w1 ? w2

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Algorithme

• Défini sur un vocabulaire fini V
• Ensemble fini et ordonné de règles
• Chaque règle à un type ordinaire ou finale.
• Un algorithme définit une fonction sur un
  ensemble des mots définis sur un vocabulaire V ?
  V. Si E est lensemble de définition de
  lalgorithme alors
• E ? V ? V

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Application de lalgorithme

• Application dune seule règle à la fois.
• Choix strict de la règle à appliquer la règle
  applicable la plus prioritaire.
• Application transitive des règles une nouvelle
  règle sappliquera sur le résultat de
  lapplication dune première règle.
• Larrêt du processus aucune règle applicable ou
  application dune règle terminale.

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Exemple génération dun mot miroir

• Soit V a,b,c
• Lalgorithme sera construit sur le vocabulaire V
  a,b,c,?,? (? est le mot vide)
• Règles

5. ? ? ? ?
9. ?ac ? c?a
13. ?ca ? a?c
1. ? ? ? ?
6. ? ? .?
10. ?ba ? a?b
14. ?cb ? b?c
2. ? a ? a?
11. ?bb ? b?b
15. ?cc ? c?c
3. ? b ? b?
7. ?aa ? a?a
4. ? c ? c?
8. ?ab ? b?a
12. ?bc ? c?b
16. ? ? ?
6

• aabc gt ?aabc gt a?abc gtab?ac gt abc?a gt ?abc?a
• 16 7 8
  9 16
• gt b?ac?a gt bc?a?a gt ?bc?a?a gt c?b?a?a gt
• 8 9 16
  12 16
• ?c?b?a?a gt ??c?b?a?a gt ?c?b?a?a gt c??b?a?a
• 16 1
  4
• gt c?b?a?a gt cb??a?a gt cb?a?a gt cba??a gt
• 5 3 5
  2 5
• cba?a gt cbaa? gt cbaa
• 2 6 fin (car
  6 est finale )

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Calcul à laide des algorithmes

• Représentation
• nombre n gt IIIIIII (n 1) batons
• Couple IIII IIII
• Somme I ? .?

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Produits

• V ?I,, ? , ? , ??
• Règles

Calcul

• 3 2
• IIIIIII gt III?II gt II II??II gt I???II gt
  ????II
• gt????I?I gt ????I?I? gt ????I?I? gt
• gt ????I??I? gt ????I??I? gt ????I??I?? gt
• ????I??I?? gt ????I??I?? gt ????I???I?? gt
• ????I???I?? gt ????I???I?? gt ????I???I??? gt
• ????I???I?? gt ????I???I? gt ????I???I gt
• I????I???I gt I????I???I gt I????I???I gt
  I????I???I
• gt I???????I gt I???????I gt I???????I gt
  I???????I
• gt I??????? gt I?????? gt II????? gt III???? gt
  IIII???
• gt IIIII?? gt IIIIII? gt IIIIIII

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Composition

• Algorithmes fermés
• se termine toujours par une règle terminale.
• Un algorithme est dit fermé sil possède une
  règle de la forme
• ? ? .w
• Propriété Il existe toujours un algorithme
  normé équivalent On ajoute
• la règle en fin dalgorithme ? ? .?

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Composition

• U sur lalphabet V et U sur lalphabet V
• ?,? ? V?V
• Soit V ???? ?? ? V?
• Soit U lalgorithme U où chaque point est
  remplacé par ?
• Soit U lalgorithme U où chaque symbole ? est
  remplacé par ?? et chaque point par ? et chaque
  règle de la forme ? ? w par ? ? ?w où w
  correspond à w et chaque règle de la forme ? ? w
  par ? ? ? ?w

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Composition

• Exemple
• U U
• 1. a ? .? 1. ab ? .?
• 2. ? ? ab 2. ? ? ac
• Alors 3. ? ?
  .ac
• U U
• 1. a ? ? 1. ?a ?b ? ?
• 2. ? ? ab 2. ? ? ? ?a ?c
• 3.
  ? ? ? ? ?a ?c

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Composition

• Lalgoritme suivant calcul U(U(w))
• 1. ????? ? ? ? V
• 2. ?????? ? ? ? V
• 3. ???????? ? ?,? ? V
• 4. ??????? ? ? ? V
• 5. ?????? ? ? ? V
• 6. ??? ??? ? ?,? ? V
• 7. ?? ? .?
• U
• U

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Approche de la Récurrence juxtaposition

• Soit U et U deux algorithmes sur le même
  vocabulaire V
• Il existe un algorithme U qui produit la
  juxtaposition des algorithmes U et U
• U(w) U(w)U(w)
• Même principe que pour la composition
• W est doublé et le double transposé.
• U fonctionne sur un alphabet transposé

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Réccurence

• Si U et U sont les deux fonctions définissant la
  récurrence
• Les paramètres sont doublés jusquà ce que le
  paramètre de réccurence soit nul.
• On applique alors U sur la dernière valeur
• On applique ensuite U sur les valeurs résultante
  successives

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Application à une valeur
III gt ?III gt I?II gt II?I gt III? gt II?I? gt
I?I?I? gt I?II?? gt I?III? gt ?I?III?
gt ?II?II? gt ?III?I? gt ?IIIII? gt IIIII? gt
IIII?I? gt III?I?I? gt III?II?? gt
III?III? gt IIIIII? gt IIIII?I? gt
IIIIII? gt IIIIII

• ??I
• ?I?I?
• I???I?
• ???
• ?I?I?
• I???I?
• ??.?
• ???

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Application à la génération de structure

• Soit le langage anbn et sa structure parenthèsée
  avec le symbole S.
• Construction valable que sur ce langage
• 1. ?a?S(a? aabb gt ?aabb gt
• 2. ?b?b)? S(a?abb gt S(aS(a?bb
• 3. ?? .? gt S(aS(ab)?b gt
• 4. ??? S(aS(ab)b)? gt S(aS(ab)b)

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Remarques

• Lalgorithme précédent donne la structure
  correcte sur le langage choisi.
• Il donne également une structure correcte sur le
  langage sur a,b formé des mots tel que tout
  préfixe a un nombre supérieur ou égal de a par
  rapport au nombre de b.
• Dans les applications en LN il ne sagit pas
  décrire des algorithmes qui vérifient si la
  phrase est correcte mais pour une phrase correcte
  de donner la bonne structure.

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FIN