Approche oriente programmation par contraintes pour la rsolution du problme de la rgle de Golomb

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Approche orientée programmation par contraintes
pour la résolution du problème de la règle de
Golomb

• Présenté par Thi Hung Lieu
• INF6101 - Programmation par contraintes
• École Polytechnique de Montréal

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Points traités

• Définition du problème
• Exploration de contraintes de borne
• Limite inférieure et supérieure
• Suppositions permettant des améliorations
• Modèle de programmation par contraintes
• Stratégie de recherche et compromis opérationnel
• Résultats et discussion des expérimentations
• Améliorations possibles

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Définition du problème

• La règle de Golomb représente un ensemble de m
  nombres (x1 à xm) entiers distincts tel que les
  distances dIJ entre deux nombres (marques) donnés
  sont toutes distinctes.
• Le problème consiste à trouver la longueur
  optimale (minimale) de la règle pour m marques.
• Pour m ? 16, le problème est difficile. Pour m ?
  24, il n existe pas d algorithme exact pouvant
  résoudre le problème en temps raisonnable.

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Définition du problème

• Les problèmes rattachés à la règle de Golomb
  touchent plusieurs domaines comme la radio
  télécommunication, les architectures VLSI, la
  radio astronomie.

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Exploration de contraintes de borne

• Borne inférieure sur les distances dIJ
• Somme des i - j premiers entiers

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Borne inférieure

• Tout segment dIJ est aussi borné par lJ-I1 qui
  représente la longueur optimale pour une règle de
  Golomb de j-i1 marques.
• Ceci permet d exploiter les longueurs optimales
  déjà connues.

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Borne inférieure

• Multi-décomposition

borne plus forte que
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Borne inférieure

• La famille M(i,j,k) avec k 1,,m représente les
  multi-décompositions qui génèrent les plus de
  segments avec moins de répétitions.

__ __ __ __ __ __ __ L(i,j,1,1) __ ____ ____
____ L(i,j,2,1) ____ ____ ____ __
L(i,j,2,2) __ ______ ______ L(i,j,3,1) ____
______ ____ L(i,j,3,2) ______ ______ __
L(i,j,3,3) Multi-décomposition M(i,j,3)
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Borne inférieure

• Avec k(k1)/2 décompositions, on établit une
  borne

Somme minimale de la longueur des segments
pondérés par leur multiplicité.
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Borne supérieure

• La distance dIJ peut être évaluée en soustrayant
  les autres segments à la longueur de la règle xm
  en posant x1 à 0.

(m-1-ji) premiers entiers au minimum
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Suppositions améliorant les bornes

• Supposition A on suppose un ensemble F de
  valeurs entières interdites pour lesquelles
  aucune distance dIJ ne peut prendre ces valeurs.

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Suppositions améliorant les bornes
borne sup.
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Suppositions améliorant les bornes

• Supposition B on suppose un ensemble Dom(yr) de
  valeurs possibles pour chaque segments yr et
  aussi que

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Suppositions améliorant les bornes

• peut être calculé à l aide d un graphe
  bipartie pondéré en temps polynomial.

En fonction de la multiplicité et du domaine de
dIJ
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Figure de dominance des bornes
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Modèle de programmation par contraintes les
variables

• On définit m variables xi , 1 ? i ? m, à domaine
  fini 0, 1,, L où L est la longueur maximale
  imposée.
• On définit m(m-1)/2 variables dIJ, 1 ? i ? j ? m,
  de distance entre deux marques xi et xJ avec un
  domaine 1, 2,, L.

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Modèle de programmation par contraintes les
contraintes
( 1 )
( 2 )
( 3 )
alldifferent(d12, d13,, d1m, d23,, dm-1,m)
( 4 )
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Modèle de programmation par contraintes les
contraintes redondantes
( 5 )
( 6 )
Les contraintes de borne
( 7 )
( 8 )
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Stratégie de recherche

• On affecte les variables dans l ordre de xi à xJ
  .
• On choisit une valeur valide dans l ordre
  croissant de grandeur.
• On utilise la valeur optimale L connu comme
  longueur maximale du domaine au départ. Cette
  valeur est décrémentée lorsqu on trouve une
  solution.

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Compromis opérationnel

• Les contraintes (3) et (6) peuvent appliquer la
  consistance d arc.
• On peut limiter l effort de traitement en
  appliquant une contrainte de borne seulement sur
  le segment entre la marque courante fixée xQ et
  la dernière marque xm .

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Compromis opérationnel
( 9 )
( 10 )
( 11 )
Version plus intensives
( 12 )
( 13 )
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Résultats et discussion des expérimentations
24 meilleur résultat à ce jour V modèle
(1)-(5), (7), (8), (9) Ca consistance d arc
sur (3) Cb consistance d arc sur (6) F borne
(10) appliquer après avoir fixé xq F2 borne
(10) appliquer avant et après avoir fixé xq D2
borne (11) appliquer avant et après avoir fixé xq
F borne (12) appliquer avant avoir fixé xq
D borne (13) appliquer avant avoir fixé xq
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Résultats et discussion des expérimentations
Nombre de branches explorées
24
Résultats et discussion des expérimentations
Temps CPU en secondes
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Résultats et discussion des expérimentations
Nombre de branches explorées
meilleur que
en consistance d arc
26
Résultats et discussion des expérimentations
Temps CPU en secondes
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Améliorations possibles

• Application restreinte des contraintes sur une
  sélection de pairs lti,jgt ou triplets lti,j,kgt
  étant les plus productifs par rapport aux
  contraintes. Économie de temps de calcul.
• Meilleure implémentation du calcul du graphe
  bipartie pour M.
• Ajout des autres contraintes de borne inférieure
  non encore exploitées.
• Étudier des stratégies de recherche. L ordre
  d affection des marques.

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Questions ?