Pr

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Lautomatique, une démarche de projet
Un peu dhistoire
Longtemps la technique des asservissements est
pratiquement demeurée lapanage des mécaniciens.
À limage du régulateur à boules inventé par
James Watt en 1790, les régulateurs étaient
réalisés par des systèmes de conception
exclusivement mécaniques et bien entendu, les
réglages relevaient de lempirisme et de
lexpérimentation.
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Lautomatique une approche moderne

• Cest par le développement de lélectronique et
  en particulier par lintégration des calculateurs
  numériques (calcul opérationnel) que cette
  discipline a acquis ses lettres de noblesse tant
  sur le plan des réalisations que sur le plan
  théorique en sappuyant sur les travaux de
  mathématiciens français tels Cauchy, Fourier et
  Laplace. Pendant de nombreuses années, les
  régulateurs se sont limités à la classique
  structure  PID  car toutes les solutions plus
  élaborées étaient difficiles à réaliser
  industriellement.

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Lautomatique aujourdhui

• Aujourdhui, lévolution de lélectronique vers
  des solutions numériques qui se traduisent par
  lintégration de calculateurs numériques
  puissants, la création de langages de haut niveau
  maîtrisant les problèmes liés  au temps  réel ,
  voire une approche entièrement graphique de la
  programmation, offrent un développement quasiment
  sans limite des méthodes modernes de
  lautomatique.

Ces méthodes modernes simposent sur le plan de
la commande par la réalisation de régulateurs
prédictifs, de logique floue ou de commandes
neuronales, ainsi que sur lidentification en
ligne des différents paramètres des modèles de
connaissance représentant le comportement des
systèmes
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Lautomatique et les modèles

• Avant toutes choses, il est indispensable
  détablir un modèle comportemental du système à
  commander. Ceci nécessite lécriture dun modèle
  de connaissance, ou bien dun modèle de
  comportement (appelé boîte noire) ou de tous
  modèles intermédiaires (boîtes grises).

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Un modèle de connaissance

• Les modèles de connaissance sont élaborés à
  partir des lois de la physique ou de la chimie.
  Lobjectif étant dexpliciter le fonctionnement
  dun système par une relation mathématique. Ces
  modèles peuvent être assez complexes et comporter
  de nombreux paramètres à identifier

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Un modèle de comportement

• Les modèles de comportement sont des modèles
• linéaires, dont la validité reste limitée à de
  petites
• variations autour dun point de fonctionnement,
  ils se
• concrétisent par des fonctions de transfert.

Les modèles intermédiaires sont des modèles
hybrides souvent issus dune simplification ou
dune linéarisation des modèles de connaissances.
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Lautomatique en CPGE

• Dans le cadre de lenseignement des S2I en
  classes préparatoires aux grandes écoles, nous
  développons plus largement les domaines
  dapplication liés aux systèmes  mécatroniques 
  associant les disciplines fondamentales telles
  que la mécanique et le génie électrique.

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Modélisation des systèmes

• Cette phase se décompose en trois étapes 
  définir les phénomènes physiques du système à
  commander, faire le bilan des variables
  mesurables et identifier lorigine des phénomènes
  principaux (hydraulique, électrique, mécanique).

Lécriture des équations du modèle peut se
présenter sous différentes formes, nous en
présenterons deux, lune adaptée à la description
des systèmes hydrauliques et lautre adaptée aux
systèmes électro-mécaniques.
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les systèmes hydraulique ou chimique

• Les équations de bilan tenant compte des flux
  dentrée et de sortie associés à la conservation
  des grandeurs semblent bien adaptées 

On peut faire ce bilan sur un instant dt 
10
(No Transcript)
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Pour écrire les équations de bilan, nous ferons
un certain nombre dhypothèses, le mélange des
fluides dentrée est instantané, le fluide de
sortie sécoule par gravité (Bernouilli) 
Compte tenu des hypothèses, pendant un instant
dt, le système ne génère rien ni ne consomme, les
variations du volume sont uniquement liés aux
flux 
Si lon suppose que la fluidité ne dépend pas de
la concentration 
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Lapport en produit dissous pendant un instant
dt, par les fluides dentrée i sécrit  Dans ces
conditions le bilan relatif aux concentrations
pendant un instant dt sécrit 
Ces équations traduisent le comportement du
système, bien entendu ces deux équations sont non
linéaires puisque nous avons des produits des
grandeurs h et C qui dépendent du temps. Pour
élaborer une loi de commande, il faudra
simplifier ce modèle de connaissance pour aboutir
à un modèle simplifié de comportement par
 linéarisation  autour dun point de
fonctionnement.
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Les systèmes mécaniques

• Dans le cas dun système mécanique les équations
  du modèle de connaissance peuvent sécrire à
  partir dun bilan énergétique. Lorsque les forces
  qui sappliquent sur le système dérivent dun
  potentiel, les forces pour un axe q sont liées à
  la différence des énergies potentielle et
  cinétique L (lagrangien) suivant la relation 

L Énergie Cinétique Énergie potentielle, D
lénergie dissipée par frottement et la dérivée
de la longueur q en fonction du temps.
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On peut illustrer cette relation par un exemple
un peu plus complexe appelé  pendule inversé 
et qui serait une première approche dun système
type  Segway 
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Lobjectif de ce système est dagir sur la force
pour maintenir dans la position verticale le bras
de longueur 2L. Nous pouvons définir les énergies
dans un référentiel dont lorigine est fixée sur
laxe de rotation de la barre ce référentiel est
lié au référentiel par une translation z.
Énergie cinétique du chariot 
Énergie cinétique de la barre 
Énergie potentielle du chariot nulle
Énergie potentielle de la barre 
Les coordonnées du centre de gravité de la barre
sont 
doù la vitesse 
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La différence des énergies cinétiques et
potentielles peut sécrire 
Le système présente deux degrés de liberté lun
suivant laxe x et lautre suivant laxe y. En
appliquant la définition sur léquation nous
obtenons lexpression des deux  forces  Fx et
Fy
Le modèle de connaissance conduit à des équations
non-linéaires trigonométriques. Il sera
nécessaire de linéariser les équations autour du
point déquilibre pour décrire un modèle
comportemental en vue de la commande du système.
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Simulation graphique du modèle de connaissance
18
Lintégration impose un régime statique sur la
dérivée 0
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Définition du modèle de comportement pour le
système hydraulique
Constat de la simulation
Soit
Le modèle de comportement est obtenu par un
développement limité autour du point de
fonctionnement (indice 0)
Soit
avec
Modèle du 1er ordre avec 2 entrées et une
constante de temps t
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Définition du modèle de comportement pour le
système  Segway 
La linéarisation implique de petites variations
autour du point déquilibre
doù une approximation des termes
trigonométriques
Dans ces conditions, le modèle de comportement
peut se réduire à 
système du 2ème ordre instable (2 pôles réels gt0)
sans amortissement
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Fonction de transfert isochrone
Exemple équation différentielle du 1er ordre
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Représentation de la fonction de transfert
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Une approche fréquentielle des comportements
(fonctions dapproximation Butterworth)
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Dualité temps / fréquence et représentation
complexe
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Fonction dapproximation Butterworth ordre 3
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Réglage de la boucle de courantà laide dun
correcteur PI

• Cahier des charges
• Erreur statique nulle
• Réponse indicielle optimisée (Butterworth)

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Calcul des deux coefficients du correcteur

• Le correcteur PI

Il reste à définir
Sera calculé en identifiant la fonction de
transfert à un Butterworth ordre 2
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Réponse indicielle du système Réglé
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Réglage dun système possédant un pôle dominant
ou une intégration naturelle
Comment concilier les réponses indicielles de la
consigne et de la perturbation ?
Dans le cas dun pôle dominant t ou dune
intégration naturelle, la fonction de transfert
en boucle ouverte peut sécrire
Le correcteur PI est calculé par la méthode de
 loptimum symétrique  (Butterworth ordre 3)
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Calcul des deux coefficients du correcteur
1
2
Soit 3 conditions
Un filtre de référence
3
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Réponse indicielle du système Réglé
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Régulation de la vitesse
Vis-à-vis de la régulation de vitesse, la boucle
de courant est assimilée à un système du 1er
ordre (pôle de commande)
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Réponse du système réglé
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Un logiciel de simulationun lien entre le modèle
et le système