MATHMATIQUES FINANCIRES I

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

• Dixième cours

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Rappel du dernier cours

• Rente perpétuelle de début de période

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Rappel du dernier cours

• Rente perpétuelle de début de période
• Calcul du nombre de paiements dune annuité étant
  donné la valeur actuelle, le taux dintérêt et
  les paiements

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Rappel du dernier cours

• Rente perpétuelle de début de période
• Calcul du nombre de paiements dune annuité étant
  donné la valeur actuelle, le taux dintérêt et
  les paiements
• Calcul du nombre de paiements dune annuité étant
  donné la valeur accumulée, le taux dintérêt et
  les paiements

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Rappel du dernier cours

• Rente perpétuelle de début de période
• Calcul du nombre de paiements dune annuité étant
  donné la valeur actuelle, le taux dintérêt et
  les paiements
• Calcul du nombre de paiements dune annuité étant
  donné la valeur accumulée, le taux dintérêt et
  les paiements
• Dernier paiement gonflé

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Rappel du dernier cours

• Rente perpétuelle de début de période
• Calcul du nombre de paiements dune annuité étant
  donné la valeur actuelle, le taux dintérêt et
  les paiements
• Calcul du nombre de paiements dune annuité étant
  donné la valeur accumulée, le taux dintérêt et
  les paiements
• Dernier paiement gonflé
• Dernier paiement réduit

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Rappel du dernier coursValeur actuelle dune
rente perpétuelle de début de période
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Rappel du dernier coursValeur actuelle dune
rente perpétuelle de début de période
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Rappel du dernier coursValeur actuelle dune
rente perpétuelle de début de période
Nous avons aussi la formule
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Rappel du dernier cours
est égale à la valeur actuelle dune annuité de n
paiements de 1 en fin de période auquel nous
ajoutons la valeur actuelle dun paiement fait à
t n k de
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Rappel du dernier cours
est égale à la valeur accumulée à t n k dune
annuité de n paiements de 1 en fin de période
auquel nous ajoutons un paiement fait à t n k
de
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Rappel du dernier cours
dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être
résolue. Nous obtenons
13
Rappel du dernier cours
Pour la situation du dernier paiement gonflé,
nous devons trouver X comme dans le diagramme
dentrées et sorties suivant
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Rappel du dernier cours
Pour la situation du dernier paiement réduit,
nous devons trouver Y comme dans le diagramme
dentrées et sorties suivant
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Rappel du dernier cours
dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être
résolue. Nous obtenons
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Rappel du dernier cours
Pour la situation du dernier paiement gonflé,
nous devons trouver X comme dans le diagramme
dentrées et sorties suivant
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Rappel du dernier cours
Pour la situation du dernier paiement réduit,
nous devons trouver Y comme dans le diagramme
dentrées et sorties suivant
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Nous allons maintenant considérer la question de
déterminer le taux dintérêt si nous connaissons
les paiements, le nombre de paiements et soit la
valeur actuelle, soit la valeur accumulée.Nous
avons déjà vu pour ce type de problème la méthode
de bissection. Nous allons maintenant considérer
la méthode de Newton-Raphson.
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Comme nous avons vu au cinquième cours (méthode
de bissection), cette question de déterminer le
taux dintérêt revient à déterminer les zéros
dune fonction f connue, cest-à-dire les x tels
que f(x) 0.
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Dans cette méthode, nous débutons avec une
première valeur x0 et nous construisons
récursivement une suite x1, x2, , xs, . Si
tout va bien cette suite convergera vers un zéro
de f.
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Géométriquement la suite est obtenue de la façon
suivante
22
La règle récursive de la méthode de
Newton-Raphson est la suivante. Pour s 0, 1,
2, , nous avons
23
Exemple 1
Déterminons un zéro de la fonction f(x) x3 - 8.
Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2.
Tentons de voir si la méthode nous permet de
converger vers cette valeur.
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Exemple 1
Déterminons un zéro de la fonction f(x) x3 - 8.
Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2.
Tentons de voir si la méthode nous permet de
converger vers cette valeur.
La dérivée de f(x) est
25
Exemple 1 (suite)
Dans cet exemple, la règle récursive est la
suivante
26
Exemple 1 (suite)
Dans cet exemple, la règle récursive est la
suivante
Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons
27
Exemple 1 (suite)
Si nous débutons avec la valeur x0 3, nous
obtenons
28
Exemple 1 (suite)
Si nous débutons avec la valeur x0 3, nous
obtenons
29
Exemple 1 (suite)
Si nous débutons avec la valeur x0 3, nous
obtenons
30
Exemple 1 (suite)
31
Remarque 1
La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas
toujours. Par exemple, considérons la fonction
f(x) x3 - 5x. La règle récursive est
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Remarque 1
La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas
toujours. Par exemple, considérons la fonction
f(x) x3 - 5x. La règle récursive est
33
Remarque 1 (suite)
Si nous commençons avec la valeur x0 1, nous
obtenons x1 -1, x2 1, x3 -1, et ainsi
de suite
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Remarque 1 (suite)
Si nous commençons avec la valeur x0 1, nous
obtenons x1 -1, x2 1, x3 -1, et ainsi
de suite
Cette suite ne converge pas!
35
Remarque 1 (suite)
Graphiquement nous obtenons
36
Exemple 2
Nous allons maintenant illustrer la méthode de
Newton-Raphson pour résoudre lexemple 4 du 5e
cours, cest-à-dire le premier exemple utilisé
pour illustrer la méthode de bissection.
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Exemple 2 (suite)
Déterminons le taux dintérêt dun prêt dont le
flux financier est représenté par le diagramme
dentrées et sorties suivant
38
Exemple 2 (suite)
Léquation de valeur avec comme date de
comparaison t 9 est
39
Exemple 2 (suite)
Léquation de valeur avec comme date de
comparaison t 9 est
Donc nous cherchons à déterminer un zéro de
la fonction
40
Exemple 2 (suite)
La règle récursive de la méthode de
Newton-Raphson est
41
Exemple 2 (suite)
La règle récursive de la méthode de
Newton-Raphson est
Si comme point de départ pour la méthode, nous
prenions x0 6, alors nous obtenons par la
méthode
42
Exemple 2 (suite)
43
Considérons maintenant la question de déterminer
le taux dintérêt dune transaction alors que
nous connaissons la valeur actuelle dune annuité
simple constante de fin de période , le nombre de
paiements et le montant des paiements de cette
annuité.
44
Nous voulons résoudre léquation
alors que nous connaissons L, R et n. Nous
voulons déterminer i.
45
Nous voulons résoudre léquation
alors que nous connaissons L, R et n. Nous
voulons déterminer i. Ceci est équivalent à
résoudre léquation
46
Nous cherchons à déterminer un zéro de la
fonction
47
La règle récursive de la méthode de
Newton-Raphson est alors
48
Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il
nous faut une valeur initiale i0 près de la
valeur recherchée i. Une bonne approximation est
obtenue en considérant comme valeur initiale
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Exemple 3
Dans un prêt de 225 000, lemprunteur sengage à
verser 7500 à tous les trimestres pendant 10
ans. Déterminer le taux nominal dintérêt i(4) de
ce prêt.
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Exemple 3
Dans un prêt de 225 000, lemprunteur sengage à
verser 7500 à tous les trimestres pendant 10
ans. Déterminer le taux nominal dintérêt i(4) de
ce prêt.
Nous avons ainsi que L 225 000, R 7500, n
10 x 4 40 et notons par i, le taux dintérêt
par trimestre.
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Exemple 3 (suite)
La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour
la méthode de Newton-Raphson est alors
52
Exemple 3 (suite)
La règle récursive pour la méthode de
Newton-Raphson est alors
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Exemple 3 (suite)
En utilisant cette règle et cette valeur
initiale, nous pouvons approximer le taux
dintérêt par trimestre et en multipliant par 4
ces taux obtenir une approximation du taux
nominal recherché. Nous avons présenté ces
valeurs dans le tableau suivant.
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Exemple 3 (suite)
55
Nous allons maintenant justifier notre choix de
valeur initiale i0 .
Nous allons ainsi faire deux hypothèses
simplificatrices pour obtenir cette première
approximation.
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Première hypothèseNous pouvons remplacer les n
paiementsde R dollars par un seul paiement de nR
dollars. Idéalement pour obtenir une situation
équivalente à celle des n paiements, nous
ferions ce paiement à léchéance moyenne. Faute
de connaître le taux dintérêt i, nous allons
utiliser léchéance moyenne approchée.
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Deuxième hypothèseNous allons supposer que
lintérêt est simple plutôt que composé.
58
Justification heuristique de lapproximation
Léchéance moyenne approchée est
car
59
Justification heuristique de lapproximation
(suite)
Nous pouvons considérer notre transaction comme
une entrée au montant de L dollars au temps t 0
et une sortie de nR dollars au temps t (n
1)/2.
60
Justification heuristique de lapproximation
(suite)
Nous notons par j lapproximation lors que nous
considérons le flux précédent et que nous
supposons que lintérêt est simple. Nous obtenons
alors léquation
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Justification heuristique de lapproximation
(suite)
Nous obtenons ainsi facilement que
Ceci est notre choix de i0
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Justification de lapproximation
Il est aussi possible dobtenir une justification
plus mathématique, justification qui fait appel à
la série binomiale. Ceci est présenté dans le
recueil de notes de cours.