Unit V Rgression linaire simple

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Unité VRégression linéaire simple

• Exemple dune calibration
• Calcul de la pente et de lintercept, vocabulaire
• Graphiques diagnostiques
• Prédiction

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6.1 Exemple Calibration dune méthode de
chromatographie gazeuse

• Procédure
• Préparation déchantillons de concentrations
  connus (étalons) qui couvrent le domaine de
  travail
• Injecter les échantillons dans le système GC et
  mesurer pour chacun la surface du pic
  correspondant
• Etablir la relation entre la concentration et la
  surface du pic
• Etablir une équation pour determiner la
  concentration pour un échantillon inconnu à
  partir de la surface du pic

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liste des données
Nuage de points
4
Ajustement dune droite Principe et terminologie
(1)
Equation dune droite
Interprétation
5
Ajustement dune droite Principe et terminologie
(2)
y
Modèle statistique habituel
x
6
Formules de calcul de lorigine et de la pente

• Quand la moyenne des x vaut 0, a correspond à la
  moyenne des y.
• Lestimateur de la pente est lié au coefficient
  de correlation de Pearson

7
Exemple
8
Terminologie Valeurs observées, valeurs prédites
et résidus
valeur prédite
résidu

yi
valeur observée
minimiser la somme des écarts carrés
minimiser la variance des résidus
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Inférence statistique de la régression
Modèle statistique
erreur aléatoire
modèle de la droite
Estimation de lampleur de lerreur écart-type
résiduel
Intevalle de confiance pour la droite
Intervalle de prédiction (intervalle de confiance
pour une observation)
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Y a-t-il une pente?
Intervalle de confiance à 95 pour pente et
origine
pente
Test Student pour la pente
statistique de test
origine
Rechercher la valeur de probabilité pour t dune
table Student avec n-2 degrés de liberté. Si la
P-valeur est petite, la pente est significative.
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Inférence statistique pour lexemple
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Graphique combiné

• Commentaires
• La droite trace plus ou moins bien les points
• Beaucoup de points à lextérieur de lintervalle
  pour la droite ... cest normal!
• Intervalle pour droite plus serré au milieu ...
  cest normal!
• Intervalle pour les points arrive en dessous de
  zéro, cest illogique
• Points remplissent leur intervalle pour les
  hautes conc. mais pas pour les petites
• Quelques doutes sur la linéarité

surface du pic
concentration
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Questions danalyse

• Est-ce quune droite est suffissante?
• Calculer la droite
• Faire des graphiques des données brutes et de la
  droite
• Faire des graphiques des résidus
• Regarder pour détecter du manque dajustement
  (banane?)
• Est-ce que linférence statistique est valable?
• Inspecter avec soin les graphiques des données et
  des résidus pour détecter
• observations aberrantes
• points levier
• inhomogénité de la variation
• Est-ce quune droite est nécessaire?
• Faire un test Student sur la pente et regarder la
  valeur de probabilité

Manque dajustement (erreur systématique)
erreur aléatoire
x
manque dajustement
x
x
x
x
x
x
x
vérité
x
modèlé
Un bon modèle na pas de manque dajustement
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Observations aberrantes et points levier
Homogénité de la dispersion
x
x
observation aberrante
x
observation levier
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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Graphiques diagnostiques pour lexemple
concentration
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• Observations dans lexemple
• banane (problème de linéarité)
• entonnoir (variance augmente avec prédiction)
• Hypothèses
• effet blanc
• effet saturation
• erreur est probablement proportionnelle
• Idée
• travailler en logarithmes
• faire le fit avec et sans les observations aux
  extrèmes

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Ajustement en logarithmes





2





1





avec extrêmes
0
ln-surface





-1






-2




-3
-5
-4
-3
-2
-1
ln-concentration
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Résidus

0x4

0x2

















0x0




residu






-0x2
-0x4

-0x6
-5
-4
-3
-2
-1
ln-concentration
Commentaire la première concentration était
probablement trop basse (seuil de détection), on
lélimine de la régression et réduit le domaine
dapplication
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Calculs pour régression en logarithmes
20
Calcul sans valeurs basses
21
Résultat en échelles logarithmiques
22
Résultat en échelles originales