Introduction aux quations diffrentielles ordinaires EDO

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Introduction aux équations différentielles
ordinaires (EDO)

• E. Grenier

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Exemple dynamique des populations
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I.1. Dynamique des populations

• Population de N(t) individus au temps t
• Décrire lévolution de cette population
• Hypothèses sur la reproduction / prédation
• Mise en équation
• Simulations numériques
• Discussion
• Evolution de N
• ?t N naissances décès
• Le modèle le plus simple (Euler)
• Le nombre de naissances est proportionnel à la
  population
• Naissances a N
• Le nombre de décès est proportionnel à la
  population
• Décès b N
• Bilan
• ?t N ( a b ) N
• Résolution
• N(t) N(0) exp( (a-b) t).

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I.1. Dynamique des populations Euler

• Résolution
• N(t) N(0) exp( (a-b) t).
• Discussion
• a gt b natalité plus importante que la
  mortalité croissance exponentielle de la
  population.
• a lt b natalité plus faible que la mortalité
  décroissance exponentielle de la population.
• Discussion du modèle
• Simple à mettre en équations et à résoudre
• La croissance exponentielle nest pas réaliste
  limitations dues au milieu ambiant
• Pour être plus réaliste il faut faire dépendre a
  et b de N
• Changement dhypothèses de mises en équations
  pour avoir un comportement plus réaliste.
• Hypothèses à ajouter limitation de la croissance
  dans un milieu fini.

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I.1. Dynamique des populations modèle logistique

• Le modèle logistique (Verhulst, 1836) les
  nouvelles hypothèses
• Hypothèse de milieu limité le milieu peut
  nourrir K individus
• Si N lt K il y a suffisamment de ressources la
  population augmente car la natalité est
  supérieure à la mortalité.
• Si N gt K il ny a pas assez de ressources des
  individus meurent de faim. La mortalité devient
  supérieure à la natalité.
• Si N ltlt K cas dEuler croissance
  proportionnelle à N.
• Mise en équations
• ?t N f(N)
• où
• f(N) gt 0 si N lt K
• f(N) lt 0 si N gt K.
• f(N) c N si N ltlt K
• De plus, il ny a pas de création spontanée
  dindividus f(0) 0.
• Choix de f le f le plus simple satisfaisant ces
  hypothèses est
• f(N) r N (1 N/K)
• où r est une constante.

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I.1. Dynamique des populations modèle logistique

• Equation logistique
• ?t N f(N) r N (1 N/K)
• Discussion
• Parfois f(N) est donné par des mesures
  expérimentales.
• Si on connaît bien la dynamique de reproduction /
  mort, on peut parfois en déduire f, mais il faut
  pour cela des hypothèses supplémentaires
• La fonction proposée est la plus simple qui
  fonctionne
• Signification des constantes
• K capacité du milieu nombre dindividus quil
  peut nourrir.
• r
• cest linverse dun temps.

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I.1. Dynamique des populations modèle logistique

• Equation logistique
• ?t N f(N) r N (1 N/K)
• Les solutions analytiques existent ..
• Allures des solutions p2

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I.1. Dynamique des populations équilibre stable
/ instable

• Equation logistique
• ?t N f(N) r N (1 N/K)
• Etat déquilibre N tel que
• f(N) 0.
• Notion de stabilité
• Équilibre stable après une petite perturbation,
  le système revient à N
• Equilibre instable une petite perturbation
  déstabilise le système.
• Equation des petites perturbations N(t) N
  u(t)
• ?t u f(Nu) f (N) u O(u2)
• soit en négligeant les termes de taille u2
• ?t u f (N) u
• Discussion
• f (N) gt 0 croissance de u N est un
  équilibre instable
• f (N) lt 0 décroissance exponentielle de u N
  est un équilibre stable.

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I.2. Dynamique des populations modèles avec
prédation

• Ajout dun phénomène la prédation.
• Exemple vers dans des arbres, mangés par des
  oiseaux.
• Modélisation
• Modèle simple pas déquation sur le nombre de
  prédateurs
• P(n) nombre dindividus morts par prédation par
  unité de temps
• ?t N f(N) P(N)
• Hypothèses sur la prédation un premier exemple
• La prédation est proportionnelle au nombre de
  vers
• Sauf sil y a beaucoup de vers effet de
  saturation les oiseaux se gênent entre eux
• P(N) BN / (A N)
• Système obtenu
• ?t N r N (1 N/K) BN / (AN)

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I.2. Dynamique des populations modèles avec
prédation

• Modélisation
• Hypothèses sur la prédation un second exemple
• La prédation est proportionnelle au nombre de
  vers
• Sauf sil y a beaucoup de vers effet de
  saturation les oiseaux se gênent entre eux
• Sauf sil y a trop peu de vers les oiseaux ne se
  déplacent pas
• P(N) BN2 / (A2 N2)
• Système obtenu
• ?t N r N (1 N/K) BN2 / (A2N2)

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I.2. Dynamique des populations modèles avec
prédation

• Etats déquilibre du second modèle
• r N (1 N/K) BN2 / (A2N2)0
• soit N 0
• Soit
• r (1 N/K) (A2 N2) BN 0
• qui est une équation polynomiale de degré 3 qui
  a
• Soit trois racines réelles
• Soit une racine réelle et deux racines complexes
  conjuguées.

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II.1. Populations en interaction Lotka Volterra

• Deux populations une de proies, une de
  prédateurs
• N(t) nombre de proies, P(t) nombre de prédateurs
• Le modèle de Lotka Volterra
• Naissances des proies proportionnelles à N
• Morts par prédation proportionnel à N et à P
• Naissances de prédateurs proportionne à P et à N
• Mort de prédateur proportionnelle à P (mort
  naturelle).
• Mise en équations
• ?t N a N b N P
• ?t P c N P d P
• Remarque pas de limitation par le milieu
  nourrisant les proies (herbivores).
• Propriété remarquable soit a d / a.
• H a c N / d b P / a log (Na P)
• ne dépend pas du temps.

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II.1. Populations en interaction Lotka Volterra
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II.1. Populations en interaction Lotka Volterra
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II.2. Populations en interaction Lotka Volterra
modifié

• Deux populations une de proies, une de
  prédateurs
• N(t) nombre de proies, P(t) nombre de prédateurs
• Le modèle de Lotka Volterra
• Modèle logistique prédation pour les proies
• Modèle logistique pour les prédateurs, la
  capacité du milieu étant proportionnelle au
  nombre de proies.
• Mise en équations
• ?t N r N (1 N/K) B N P / (A N)
• ?t P k (1 h P/N)
• Remarque plus de quantité conservée comme H.
• Notion de cycle limite les trajectoires
  senroulent autour dune solution périodique.

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II.2. Populations en interaction Lotka Volterra
modifié
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II.3. Populations en interaction compétition

• Deux populations en compétition pour la même
  ressource.
• N(t) nombre dindividus de la première espèce,
  P(t) nombre dindividus de la seconde espèce.
• Modélisation
• Les espèces se gênent
• La capacité du milieu est partagée par les deux
  espèces
• Mise en équations
• ?t N rn N (1 N/ Kn b P /Kn)
• ?t P rp P (1 P/Kp b N/Kp)
• Signification des constantes
• Kn nombre dindividus de la première espèce que
  peut nourrir le milieu
• Kp nombre dindividus de la seconde espèce que
  peut nourrir le milieu
• bP fraction des ressources du milieu utilisées
  par lespèce 2 (y compris la gêne)
• b N fraction du milieu utilisé par lespèce 1.
• Etats déquilibre
• N b P Kn

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II.3. Populations en interaction compétition

• Changement dinconnues
• u N/Kn, v P/Kp
• a b Kp/Kn, a b Kn/Kp
• Discussion principe dexclusion compétitive

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II.4. Populations en interaction mutualisme

• Deux populations en symbiose se facilitent
  mutuellement laccès à la ressource.
• N(t) nombre dindividus de la première espèce,
  P(t) nombre dindividus de la seconde espèce.
• Modélisation
• Les espèces en symbiose
• La capacité du milieu est partagée par les deux
  espèces
• Mise en équations
• ?t N rn N (1 N/ Kn b P /Kn)
• ?t P rp P (1 P/Kp b N/Kp)
• Signification des constantes
• Kn nombre dindividus de la première espèce que
  peut nourrir le milieu
• Kp nombre dindividus de la seconde espèce que
  peut nourrir le milieu
• bP fraction des ressources du milieu rendue
  utilisable par lespèce 2 par symbiose.
• b N fraction du milieu rendue utilisable par
  lespèce 1.

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II.4. Populations en interaction mutualisme
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Exemple épidémies
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Epidémies SIR

• Maladie contagieuse.
• Trois populations
• S(t) nombre dindividus sains
• I(t) nombre dindividus malades
• R(t) nombre dindividus morts, ou guéris et
  immunisés contre la maladie.
• Modélisation
• Contamination proportionnelle au nombre de
  rencontres entre individus sains et malades.
• Les malades ont une certaine probabilité de
  guérir par unité de temps.
• Mise en équations
• ?t S - r S I
• ?t I r S I a I
• ?t R a I
• Remarque
• S I R ne dépend pas du temps (conservation du
  nombre dindividus)

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Epidémies SIR
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Epidémies SIR
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Petits systèmes dEDOs
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Une EDO

• u un scalaire.
• Comportements possibles
• Explosion réaction autocatalysée
• ?t u u2
• Solution en 1/ (T_0 t)
• Convergence vers un équilibre stable
• ?t u f(u)
• u -gt u
• avec f(u) 0
• convergence à vitesse exponentielle généralement
• Solution constante, reste sur un équilibre
  instable (exceptionnel)

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Une EDO un exemple

• Exemple comportements possibles pour
• ?t u u (1 u)

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Une EDO pas de comportement oscillant possible

• Pas de solution périodique possible pour une
  seule EDO
• Preuve
• ?t u f(u)
• On multiplie par ?t u ce qui donne
• (?t u)2 f(u) ?t u
• Que lon intègre entre t et t T
• ? (?t u)2 ? f(u) ?t u
• Soit F définie par
• F f
• Alors la dérivée de F(u(t)) vaut f(u) ?t u donc
  la seconde intégrale vaut
• F(u(tT)) F(u(t)) 0
• Donc la première intégrale est nulle donc u est
  constante !

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Deux EDO

• u et v deux scalaires.
• ?t u f(u,v)
• ?t v g(u,v)
• Comportements possibles
• Explosion
• Convergence vers un équilibre stable
• u -gt u et v -gt v
• avec f(u,v) g(u,v) 0
• convergence à vitesse exponentielle généralement
• Solution constante, reste sur un équilibre
  instable (exceptionnel)
• Convergence vers une solution périodique

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Deux EDO

• Exemple solution périodique stable
• ?t (u i v) i(ui v) (ui v)(1 u2
  v2)
• cycle limite stable
• u2 v2 1

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Deux EDO cas linéaire

• u et v deux scalaires.
• ?t u a u b v
• ?t v c u d v
• Solution explicite
• Matrice M de coefficients a b c d
• Recherche de vecteurs propres et valeurs propres
• M e_1 ?_1 e_1
• M e_2 ?_2 e_2
• (sauf cas particulier ?_1 ?_2).
• Solution est de la forme
• (u(t),v(t)) a_1 e_1 exp(?_1 t) a_2 e_2
  exp(?_2 t).
• Comportement asymptotique dépend des signes des
  parties réelles de ?_1 et ?_2
• 0 est stable si et seulement si
• Re(?_1) lt 0 et Re(?_2) lt 0.

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Deux EDO cas linéaire classification
33
Deux EDO cas linéaire classification
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Trois ODE

• Trois scalaires u, v et w
• Les comportements précédents ne sont pas les
  seuls possibles
• Chaos possible exemple le plus simple le
  système de Lorenz
• ?t x s (y-x)
• ?t y r x y xz
• ?t z x y bz
• avec s 10, r 28, b 8/3

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Trois ODE Lorenz
36
Trois ODE Lorenz
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Plusieurs ODE

• Classification impossible
• Notion dattracteur étrange
• Grande variabilité en fonction des paramètres
• Etude numérique est la seule possible en général
• Sauf cas très rares, pas de solution explicite
  aux équations différentielles ordinaires !

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Simulations numériques
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Schéma dEuler (explicite)

• Le schéma le plus simple pour résoudre
• ?t u f(u).
• Principe
• Calcul approché de u(t) pour t 0, k, 2k, 3k, .
  où k est le pas de temps.
• On note u_n la valeur approchée de u au temps n
  k.
• Erreur, dautant plus petite que k est petit
• Pour évaluer u au temps T il faut calculer
  u_(T/k) donc faire T/k calculs
• Plus k est petit plus le calcul est précis et
  plus il est long (logique !)
• Le schéma dEuler explicite
• Approche ?t u au temps n k par ( u_(n1) u_n )
  / k
• Schéma
• u_(n1) u_n k f(u_n)
• u_0 donnée initiale
• Calcul itératif de u_(n1) en fonction de u_n

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Schéma dEuler (explicite)

• Implémentation informatique de
• ?t u 2 u (1 u)
• u(0) 0.1
• Programme Matlab ou R
• u_0 0.1 donnée initiale
• k 0.01 pas de temps
• Tmax 5 temps maximal de calcul
• u zeros(Tmax/k,1) vecteur qui va contenir
  la solution
• u(1) u_0
• for J1Tmax/k-1, boucle de calcul
• u(J1) u(J) k2u(J)(1-u(J))
• end
• plot(u) affichage de la solution
• Démonstration programme eulerexplicite.m

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Schéma dEuler (explicite)

• Précision proportionnelle à k

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Schéma dEuler (explicite)

• Limitations
• Erreur proportionnelle à k peut mieux faire -gt
  Runge Kutta
• Echoue sur les problèmes raides . Exemple
• ?t u N f(u)
• où N est très grand réaction très rapide.
• Avantages
• Très simple à mettre en uvre
• En particulier lorsque f est très complexe
• Autres schémas
• Runge Kutta ordre plus élevé erreur en k4
• Euler implicite supporte mieux les problèmes
  raides.

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Schéma dEuler (implicite)

• Le schéma dEuler implicite
• Approche ?t u au temps n k par ( u_(n1) u_n )
  / k
• Schéma
• u_(n1) u_n k f( u_(n1) )
• u_0 donnée initiale
• Implicite il faut résoudre une équation pour
  obtenir u_(n1)
• Equation
• u_(n1) - k f( u_(n1) ) u_n
• Résolution de cette équation par une méthode de
  Newton

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Runge Kutta

• Schéma plus complexe
• u_(n1) u_n k (k_1 2k_2 2k_3 k_4) /6
• avec
• k_1 f (t_n, x_n)
• k_2 f (t_n k/2, x_n k/2 k_1)
• k_3 f (t_n k/2, x_n k/2 k_2)
• k_4 f (t_n k, x_n k k_3)
• Ordre 4 erreur en k4
• Erreur beaucoup plus petite mais schéma plus
  complexe !
• Très souvent implémenté dès que lon veut plus de
  précision que pour Euler.

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Autres méthodes

• Schémas dordres plus élevés précision en kN
  avec N aussi grand que lon veut mais schéma
  plus complexes.
• Schémas implicites
• Schémas avec contrôle a posteriori derreur.
• Bilan
• Débuter par Euler
• Si nécessaire passer à Runge Kutta 4
• En cas déchec consulter un spécialiste !

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Dautres modèles
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Equations avec retard

• Dynamique des populations lévolution de la
  population N au temps t dépend de N(t T) où T
  est le temps de gestation pour les naissances, et
  de N(t) pour la mortalité
• Epidémie idem T temps dincubation
• La dérivée de N(t) est une fonction de N(t T)
  et de N(t)
• ?t N(t) f( N(t), N(t-T) )
• Exemple une variante de léquation logistique
• ?t N(t) r N(t) ( 1 N(t-T) / K)
• avec K capacité du milieu
• Solutions oscillantes possibles exemple
• ?t N(t) p N(t-T) / 2T
• a pour solution
• N(t) A cos (p t / 2 T)
• périodique de période 4T.

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Equations avec retard exemple mouches et moutons

• Moutons australiens et mouches
• Oscillations avec une période 35 à 40 jours.

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Equations avec retard respiration de Cheyne
Stokes

• Physiologie
• Respiration anormale
• Périodes dapnée
• Lamplitude de la respiration augmente et diminue
  régulièrement, avec des périodes dapnée.

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Equations avec retard respiration de Cheyne Stoke

• C(t) niveau de CO2 dans les artères
• La ventilation V(t) dépend de C(t) avec un retard
  T
• V Vmax c(t-T) / a c(t-T)
• Vmax ventilation maximale, T temps de retard
• Evolution de c
• ?t C(t) p b V C(t)
• ce qui donne
• ?t C(t) p b Vmax C(t) C(t-T) / a c(t-T)
  

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Equations avec retard respiration de Cheyne Stoke

• Simulation numérique

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Equations avec retard respiration de Cheyne Stoke

• Changement de variables
• x c/a, V V/Vmax, a abVmax/p
• T pT/a, t pt/a
• ce qui donne
• ?t x(t) 1 a x(t) x(t-T) / 1 x(t-T)
• Etat stationnaire
• x indépendant du temps, égal à x
• a x2 1 x
• Linéarisation
• u x x supposé très petit
• ?t u(t) - a V(x) u(t) a x V(x) u(t-T)
• on cherche des solutions
• u(t) u_0 exp(? t)
• ce qui donne
• ? - a V(x) a x V(x) exp(-? T)
• équation en ?.

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Equations avec retard cellules sanguines

• Dynamique du nombre de globules rouges ou blancs.
• C(t) densité de cellules
• Evolution
• Mortalité
• Création par la moelle épinière, avec retard
• Equation
• ?t C(t) f(C(t-T)) g C(t)
• où g est une constante et
• f(x) ? am x /(am xm).

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Equations avec retard cellules sanguines
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Equations avec retard cellules sanguines