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Géométrie en SEGPA 2 séances 12 janvier 8
mars objectif En appui sur les programmes du
collège, il s'agira de construire des situations
d'apprentissages géométriques prenant en compte
les éléments didactiques et pédagogiques
spécifiques à l'enseignement de la géométrie.
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séance 1 Faire de la géométrie en SEGPA
apprentissages et difficultés apports formateur
(diaporama) illustrations (mise en
situations) un exemple de mise en œuvre les
situations de communication séance 2 La
géométrie dynamique la valeur ajoutée de
l'outil informatique Présentation des outils
logiciels Mise en situation construire un
fichier de géométrie (la figure et son programme)
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La géométrie géo la terre metrikos mesure
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L école élémentaire
contenus des textes officiels
espace
géométrie
repérage orientation
relations et propriétés solides figures planes
compétences et savoirs mathématiques
compétences et savoirs pluri-disciplinaire
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deux géométries empirique et théorique
référence aux travaux de Salin et Berthelot
L'objectif principal est de permettre aux élèves
de passer progressivement d'une géométrie où
les objets et leurs propriétés sont contrôlés par
la perception à une géométrie où ils le sont
par explicitation de propriétés et recours à des
instruments.
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deux géométries empirique et théorique
de je vois à je
sais
du dessin à la figure
de l'objet au concept
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d'une géométrie à l'autre du type empirique au
type théorique illustration
Comment résoudre ce paradoxe perceptif ??
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L école élémentaire
retour aux textes officiels
Les activités du domaine géométrique ne visent
pas des connaissances formelles (définitions),
mais des connaissances fonctionnelles, utiles
pour résoudre des problèmes dans l'espace
ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou
sur l'écran d'ordinateur.
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L école élémentaire
programmes progression
Les apprentissages se déroulent de manière
continue de la petite section de maternelle
jusquau CM2. Un vocabulaire précis doit être
progressivement mis en place. Le principe est de
partir du réel (et donc dobjets matériels) puis
dabstraire peu à peu. La primauté est donnée à
la géométrie dans lespace. Il ny a pas de
démonstration bien entendu, mais un début
dapprentissage du raisonnement, notamment dans
les activités de reproduction de figures.
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L école élémentaire
Structuration de l'ensemble des concepts
aspects notionnels
Vergnaud

• Objets
• point, droite, segment, angle, milieu
• carré, rectangle, losange, parallélogramme,
  triangles, cercle
• cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet

• Relations
• alignement, égalité de longueurs,
  perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale

• Mesures
• longueurs et aires périmètre et aire du carré
  et du rectangle, longueur du cercle.

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en SEGPA garder des exigences fortes en appui
sur les programmes du collège l'adaptation doit
principalement porter sur l'organisation des
situations , sur l'étayage de l'enseignant et pas
sur les contenus.
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Le collège
FIGURES PLANES Propriétés des quadrilatères et
des triangles usuels. Reproduction, construction
de figures usuelles, de figures complexes.
Médiatrice dun segment. Bissectrice dun angle.
Cercle. Vocabulaire et notations. Parallélogramme
(propriétés caractéristiques) Caractérisation
angulaire du parallélisme. Triangle  somme des
angles, construction et inégalité triangulaire,
cercle circonscrit, médianes et hauteurs.
Triangles  milieux et parallèles. Triangles
déterminés par deux parallèles coupant deux
sécantes. Triangle rectangle  théorème de
Pythagore et sa réciproque, cosinus dun angle
aigu, cercle circonscrit. Distance dun point à
une droite. Tangente à un cercle. Bissectrices et
cercle inscrit. Triangle rectangle  relations
trigonométriques. Théorème de Thalès et sa
réciproque. Angle inscrit, angle au centre.
Polygones réguliers.
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5
4
3
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Le collège
TRANSFORMATIONS Symétrie orthogonale par rapport
à une droite Construire le symétrique de
différents objets Symétrie centraleConstruire
le symétrique de différents objets Agrandissement
et réduction Images de figures par une
translationTranslation et vecteur, égalité
vectorielleImages de figures par une rotation.
6
5
4
3
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Le collège
GRANDEURS ET MESURES Longueurs, masses, durées
comparaison, calcul, changements
d'unitésAngles  comparaison, rapporteurAires 
mesure, comparaison et calcul daires (figures
élémentaires)Volume du parallélépipède rectangle
approche et calculs simplesLiaisons unités de
volume et de contenance, changements
d'unités Longueurs, masses, durées
calculsAngles (mesure)Aires  parallélogramme,
triangle, disque, changements d'unitésVolumes 
prisme, cylindre de révolution Calculs daires et
volumes (pyramide et cône)Grandeurs quotients
courantes, vitesse moyenne Aire de la sphère,
volume de la bouleEffet dune réduction, dun
agrandissement sur des aires, des
volumesGrandeurs composées (changement dunités)
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4
3
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L école élémentaire
quatre mots-clés (types de tâches)

• Reproduire
• des figures, y compris la réalisation pratique de
  solides

• Décrire
• des figures, pour les identifier ou les
  représenter

• Représenter
• notamment des solides, avec les problèmes de
  faces visibles ou invisibles, les patrons

• Construire
• des figures, avec des matériaux et des outils
  multiples règle, équerre, gabarit, calque,
  compas

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Le collège
cinq mots-clés (types de tâches)
Reproduire  Réaliser une copie de lobjet à
lidentique. Lélève doit  analyser la figure,
mobiliser les propriétés de la figure pour
définir une chronologie des tracés, faire un
choix dinstruments, mettre en place des
contrôles. Compléter  Une partie de la figure
est déjà reproduite, lélève doit poursuivre la
reproduction. Il doit pour cela, en plus des
compétences sollicitées pour reproduire une
figure, identifier les éléments déjà
reproduits. Construire  A partir dun programme
de construction. Lélève doit maîtriser  le
vocabulaire et sa signification, les propriétés
des objets, la syntaxe spécifique de la
géométrie, le code dans le cas dun schéma A
partir dun schéma coté. Lélève doit  connaître
les conventions de codage, analyser une figure,
distinguer la figure du dessin
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Le collège
cinq mots-clés (types de tâches)
Représenter, dans le cas dun objet de lespace.
Lélève doit alors  faire abstractions de
certaines propriétés de lobjet, connaître les
conventions Décrire  Pour reconnaître une
figure parmi dautres. Lélève doit identifier
les caractéristiques des figures, maîtriser le
vocabulaire Pour reproduire une figure. Lélève
doit analyser la figure, communiquer les
différentes étapes de la construction, ce qui
nécessite de définir une chronologie, de choisir
le vocabulaire adapté, de se décentrer pour
contrôler que le message est recevable par un
tiers.
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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
de lécole au collège une transition difficile ?
Deux modes de construction des connaissances qui
peuvent sopposer
1. Un mode de type empirique basé sur lintuition
et lexpérimentation ? géométrie science
expérimentale
2. Un mode de type théorique sappuyant sur la
déduction et qui trouve son aboutissement dans la
démonstration ? géométrie platonicienne
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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique
Ceci est un carré et un carré nest pas un
rectangle !
Dans le mode de type théorique
Les propriétés de cette figure (4 angles droits,
4 côtés isométriques) définissent un carré et un
carré est aussi un rectangle !!
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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique
Les problèmes spatiaux relèvent dune solution
validée empiriquement.
Dans le mode de type théorique
Les problèmes de géométrie relèvent dune
solution prouvée mathématiquement.
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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?
Pour aider les élèves à franchir cette
difficulté, il faut aménager des situations dans
lesquelles on permet aux élèves de faire
progressivement la différence entre réalité
spatiale et modèle géométrique
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Où se trouvent les principales difficultés des
élèves...
De lécole au collège une transition difficile ?
En instaurant une transition entre ces deux modes
de construction des connaissances lutilisation
des instruments.
monde réel - outils perceptifs la vue, le
toucher
espace spatio-géométrique - outils d aide à la
perception les instruments
espace géométrique - outil de validation la
théorie
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donc...

• Pour quoi enseigner la géométrie
• 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement
• 2. Apprendre aux élèves à voir dans l espace
• 3. Apprendre aux élèves à raisonner

• Comment enseigner la géométrie
• 1. Mettre en œuvre des situations de recherche
• 2. Mettre en œuvre des situations de
  communication
• 3. Faire une place aux nouvelles technologies
• 4. Lier la géométrie aux autres disciplines

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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de communication

• Analyser, reproduire et décrire une figure
• Donner du sens à un programme de construction

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La spécificité du vocabulaire mathématique est
assez rebutante. Par ailleurs dès lors que sont
abordées des tâches de construction ou
dargumentation la précision des termes employés,
des arguments proposés (nécessaires et
suffisants), leur structuration (chronologie ou
enchaînement discursif) paraissent souvent
arbitraires aux élèves. Pour autant le langage
est indissociable de laction (ainsi
verbalise-t-on des actions peu familières). Au
delà de toute ambition géométrique, on ne peut
donc se satisfaire de la difficulté à verbaliser
certaines actions simples.
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Rédaction de programmes de construction de
figures géométriques qui seront reconstruites par
des tiers. Dabord activité en groupe avec une
planification hebdomadaire. Les groupes ont pour
charge de reproduire les figures puis de se
mettre daccord sur un programme. Lenseignant
intervient beaucoup comme médiateur et pour
apporter une aide sémantique. Les programmes lus
à haute voix sont enregistrées dans chaque groupe
. Lors de la réécoute la nécessité de les
reformuler apparaît. Une aide tutorielle sur les
propriétés et les caractéristiques des figures en
jeu est fournie. Les programmes sont communiqués
à une autre classe de SEGPA .
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Organisation 1 une seule figure par binôme
E/R Dans un premier temps, les élèves élaborent
un message écrit (sans dessin), quils
transmettent pour exécution à leur correspondant.
Dans un second temps, les récepteurs réalisent
la production demandée par leur camarade. En cas
dambiguïté, ils peuvent poser une question aux
émetteurs mais par écrit. Dans un troisième
temps, émetteurs et récepteurs appariés, se
réunissent pour comparer avec lattendu, débattre
des différences et écrire deux messages
définitifs quils donnent à lenseignant.
Celui-ci peut alors, soit organiser un débat
collectif pour valider les messages, soit évaluer
chaque message avec le groupe réalisateur de la
dernière mouture.
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• Organisation 2 deux figures simultanées (une
  différente pour chaque binôme E/R)
• temps 1 travail en binôme observation de la
  figure, reproduction de la figure, description
  par un message
• temps 2 travail en binômes échanges des
  messages lecture de la description écrite,
  construction de la figure
• temps 3 mise en commun par regroupement de
  binômes comparaison des figures et conclusions
  sur les écrits, si des différences sont
  importantes, on peut essayer de corriger le
  message écrit en tenant compte de ces différences
• temps 4 mise en commun collective
  difficultés et réussites rencontrées, dégagement
  par l'enseignant des invariants (ce qui
  fonctionne bien), institutionnalisation

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Un exemple de séquence A/ règle équerre 2
séances B/ règle équerre compas 2 séances
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A/ Règle équerre séance 1 objectif
permettre de découvrir que ce sont les propriétés
qui fondent les caractéristiques des polygones
particuliers que sont le carré et le rectangle et
non pas leur forme. propriétés travaillées
côtés isométriques (et/ou deux à deux), angle
droit.
31

Fig. 1 Fig. 2

mots interdits pour les émetteurs carré,
rectangle remarque l'enseignant veille bien à
proposer les figures de façon inclinées afin
d'éviter la position prototypique.
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séance 2 objectif prendre conscience que
l'orientation d'une figure ne change pas ses
propriétés, mais que le programme de construction
peut s'en trouver changé. propriétés travaillées
côtés isométriques (et/ou deux à deux), angle
droit, milieu d'un segment, éventuellement
diagonales
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Fig. 1 Fig. 2
remarque même figure, même dimension, mais
orientation différente
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B/ Règle équerre compas séance 3 objectif
découvrir des constructions de figure à partir
d'un carré propriétés travaillées milieu d'un
segment arc de cercle, centre d'un cercle,
éventuellement diamètre et rayon d'un cercle
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Fig. 1 Fig. 2
remarque même base carrée (visible ou non au
choix)
36
séance 3 bis

Fig. 1 Fig. 2
remarque ces figures peuvent être données en
même temps que celles de la séance 3 lors d'un
séance plus différenciée
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Un exemple de projet de constitution d'un fichier
de géométrie.
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Une classe de 6ème du collège de la Grange du
Bois et les classes de CM2 se sont lancées un
défi dans le domaine de la géométrie. Les fiches
proposées ont été élaborées par les
élèves... http//perso.orange.fr/ecole.pierre.bro
ssolette/geompr.html
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Trace un cercle de 8 cm de diamètre. Nomme le
centre I. Trace verticalement un segment qui
passe par I, nomme-le AB. Trouve le milieu du
segment AI et nomme-le E. Mets la pointe de ton
compas sur E et la mine sur A. A gauche, trace un
demi-cercle. Trouve le milieu du segment BI et
nomme-le F. Mets la pointe de ton compas sur F et
la mine sur B. A droite, trace un
demi-cercle. Maintenant, efface le segment AB et
tous les points. Colorie l'un des pétales en noir.
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(No Transcript)
41
(No Transcript)
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Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de communication
Solutions des belles constructions à réaliser à
faire réaliser
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Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des
champs conceptuels. Recherches en Didactique des
Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170
"Un concept est un triplet de trois ensembles C
(S, I, S) S ensemble des situations qui
donnent sens au concept (la référence) I
ensemble des invariants sur lesquels repose
lopérationalité des schèmes (le signifié) S
ensemble des formes langagières et non
langagières qui permettent de représenter
symboliquement le concept, ses propriétés, les
situations et les procédures de traitement (le
signifiant)"
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BERTHELOT R. SALIN M.H.,Lenseignement de la
géométrie à lEcole primaire, Grand N n53 (p.
39-56), IREM de Grenoble, 1994 BERTHELOT R.
SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3,
Grand N n56 (p. 69-116), IREM de Grenoble,
1995 BERTHELOT R. SALIN M.H., Lenseignement de
la géométrie au début du collège. Comment
concevoir le passage de la géométrie du constat à
la géométrie déductive ?, Petit x n 56, IREM de
Grenoble, 2001 IREM DE LILLE, Travaux
géométriques  Apprendre à résoudre des
problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord -
Pas de Calais, 2000 HOUDEMENT C., KUZNIAK A.,
Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n
51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999