ANOVA et ses postulats

1
ANOVA et ses postulats

• PSY3204_Cours 7

2
Type De question
Type De mesure des Variables Dépendantes
Nombre De Variables Dépendantes
Nombre De Niveaux ou de VI
Échantillons Dépendants ou indépendants
Satistiques
indépendants
?2
-
Une
dépendants
McNemar
Qualitatives
Analyse discriminante
Multiples
Multiples
indépendants
Test t (ind)
Deux
Différences
dépendants
Test t (dép)
Une
indépendants
ANOVA/ANCOVA
ANOVA/ANCOVA mesures répétées
Multiples
dépendants
Quantitatives
Ind dép
ANOVA/ ANCOVA (mixte)
MANOVA/ MANCOVA
Multiples
Multiples
Ind dép
Qualitatives
Deux
Une
?2 Phi
Relations
Aucune
Analyse Factorielle
Multiples
Corrélation / Régression Simple
Une
Quantitatives
Une
Régression Multiple
Multiples
Corrélation Canonique
Multiples
Multiples
3
Lanalyse de la variance (ANOVA)

• Logique de lanalyse
• Les postulats de base
• Les facteurs qui influencent les résultats
• La taille de leffet
• Les commandes de SPSS

4
Lanalyse de la variance (ANOVA)

• Lanalyse de variance permet de tester les
  différences de moyennes de plusieurs groupes
  simultanément
• Variable dépendante une seule à la fois et elle
  est continue
• Variable(s) indépendante(e)s une ou plusieurs
  et elles sont catégorielles
• (dans SPSS, les catégories sont codées avec un
  chiffre et la variable est spécifiée comme étant
  continue)
• Lanalyse de variance permet dexaminer limpact
  de plusieurs variables indépendantes sur la
  variable dépendante
• Une à la fois et en interaction

5
Devis 2x4 Combien de facteurs à combien de
niveaux?
6
Les facteurs et leurs niveaux
7
Fréquence
Grandeur
8
Grandeur
9
Les sources de variation
Xij ? (?j - ?)
(Xij - ?j)
10
Grande moyenne générale 1m45
Fréquence
Grandeur
1m00
1m60
1m75
Fréquence
1m00
1m60
1m75
11
Les sources de variation
12
Les hypothèses

• Lhypothèse nulle Ho
• ?1 ?2 ?3
• Lhypothèse alternative Ha
• Au moins une des populations est différentes
  dune ou des autres
• Spécifiez lalpha (?)
• Par exemple, ? .05

13
Fréquence
Grandeur
14
Fréquence
VARIANCE
Grandeur
Grande moyenne générale 1m45
Variance Intergroupe

15
Deux façons destimer lerreur déchantillonnage

• Si lhypothèse nulle est vraie, les différences
  entre les groupes représentent de lerreur
  déchantillonnage due aux différences
  individuelles
• La variance de la distribution déchantillonnage
  (lerreur-type) peut être estimée par la variance
  dun échantillon selon la formule suivante
  écart-type/ ?n.
• Donc, la variance intra-groupe peut aussi
  représenter lerreur déchantillonnage due aux
  différences individuelles

16
Grandeur
17
Comparons la variabilité intergroupe et
intra-groupe
Variabilité intra-groupe
Variabilité due aux différences individuelles
dun échantillon (Erreur)
18
(No Transcript)
19
Le test F
VARIANCE INTERGROUPE (Effet) Vraies différences
erreur
F
VARIANCE INTRA-GROUPE(Erreur) erreur
20
La distribution F
Fcritique
Zone de rejet de lhypothèse nulle 5 (a .05)
F
0 1 2 3
4 5
Fobtenu ?
21
Calculer le Fobtenu
VARIANCE INTERGROUPE (Traitement) Vraies
différences erreur
F
VARIANCE INTRA-GROUPE(Erreur) erreur
22
Calculer le Fobtenu
F
23
Les degrés de liberté
24
Résumé de lANOVA lorsque les groupes sont égaux
Source de variation
Somme des carrés (SC)
Degrés de liberté (dl)
Carrés moyens (CM)
Fobtenu
INTER (traitement)
?n(?j - ?)2 Pour chaque personne, la déviation
de son groupe à la grande moyenne
k - 1 où k est le nombre de niveaux
INTRA (erreur)
?(Xij - ?j)2 Somme des déviations à la moyenne
dans chaque groupe
?(n-1) Somme des degrés de liberté de chaque
groupe
TOTAL
?(Xij - ?)2
Ntotal - 1
25
Données (en cm)
Enfants Adolescents Adultes Total 100 160 175
90 150 170 110 170 180 80 140
155 120 180 195 95 155 170 105 165 180 100
160 175 145
Moyenne
26
Résumé de lANOVA lorsque les groupes sont égaux
Source de variation
Somme des carrés (SC)
Degrés de liberté (dl)
Carrés moyens (CM)
Fobtenu
INTER (traitement)
22050
3 - 1 2
11025
66.14
INTRA (erreur)
3000
(7-1)(7-1) (7-1) 18
166.7
TOTAL
25050
21 - 1 20
27
Calculer le Fcritique

• Pour un alpha prédéterminé, F(dlnumérateur,dldénom
  inateur)
• Table de F disponible sur le site du cours (voir
  aussi Kennedy Bush (1985) du recueil)
• avec un alpha de .05, F(df1,df2),
• F(2,18)critique 3.55

28
La distribution F
F(2,18)critique 3.55
Zone de rejet de lhypothèse nulle 5 (a .05)
F
0 1 2 3
4 5
F(2,18)obtenu 66.14
29
Interprétez les résultats obtenus avec
lordinateur

• Pour les tests dhypothèse, lordinateur présente
  le Fobtenu, ainsi que la probabilité de commettre
  une erreur de type I (p ??).
• Si la probabilité dobtenir un Fobtenu par hasard
  est plus petite que la probabilité jugée
  acceptable (p.ex., ? .05), alors on rejette
  lhypothèse nulle (p.ex., p .03).
• Sinon, on accepte lhypothèse nulle (p.ex., p
  .34). Il ny a pas de différence.
• Il ny a pas de test unilatéral avec lANOVA

30
Postulats de base pour lANOVA

• Normalité
• Relativement robuste
• Indépendance des scores
• Si les scores dun même groupe sont corrélés,
  lerreur sera sous-estimée. Donc, il y aura
  inflation de la probabilité de commettre une
  erreur de type I.
• Cas fréquent la manipulation expérimentale se
  fait en petit groupe

31
Postulats de base pour lANOVA

• Homogénéité de la variance
• Les participants devraient provenir dune même
  population au niveau de la variable dépendante.
• La manipulation expérimentale devrait avoir le
  même effet chez tous les membres dun même groupe
  
• Les tests dhomogénéité de la variance sont
  influencés par la normalité des distributions,
  ils ne devraient donc pas être utilisés.
• Test de Hartley nest pas utilisé, mais le Fmax
  qui laccompagne est utile.
• Le Fmax la plus grande variance divisée par la
  plus petite
• Par exemple, 1.34/.94 alors le Fmax sera de 1.43
• Fmax 1.431

32
Recommandations

• Homogénéité de la variance
• Si la taille des groupes est égale, le test est
  relativement robuste
• Si la taille des groupes est inégale
• Grosse différence de N (plus de 41)
• Lorsque le ratio de la plus grande variance sur
  la plus petite variance (Fmax) est de 31 ou
  plus, il y a hétérogénéité de la variance
  (Keppel, 1991)
• Alors, si la plus grande variabilité est dans le
  plus grand groupe, le test est conservateur
  (Tabachnick Fidell, 1996).
• Mais si, par contre, la plus grande variabilité
  est dans le plus petit groupe, le test est trop
  libéral. Donc, utiliser un alpha de .01 (Keppel,
  1991 Tabachnick Fidell, 1996) .
• Petite différence de N (41 ou moins)
• Le ratio de la plus grande variance sur la plus
  petite variance (Fmax) peut aller jusquà 101
  (Tabachnick Fidell, 1996).

33
Effets de lerreur et de la taille de
léchantillon sur le F

• Plus la variabilité intra-groupe ou lerreur est
  petite et plus il sera facile dobtenir une
  différence significative.
• Le Fobtenu sera plus grand.
• Plus la taille des groupes est grande et plus il
  sera facile dobtenir une différence
  significative.
• Lerreur sera plus petite, donc le Fobtenu sera
  plus grand
• Le Fcritique sera plus petit.

34
La taille de leffet La corrélation (r) et le
pourcentage de variance expliquée (r2, le
coefficient de détermination ou leta-carré (est.
?2))

• Le R2 nous permet dexaminer quelle est la
  proportion de la variance qui est due au
  traitement par rapport à la variance totale.

35
Taille de leffet R2 (aussi appelé coefficient
de détermination ou eta-carré (est. ?2))
Recommandations R2 ? .01  Petit effet  R2
? .06  Moyen effet  R2 ? .14 Grand effet 
Où, SC Somme des carrés F Fobtenu dl
degré de liberté
36
La puissance (Cohen, 1992)

• Pour avoir 80 de chance de détecter un effet dit
   moyen  lorsquil y en a effectivement un, tout
  en conservant un alpha de .05.
• 2 groupes, n 64 dans chaque groupe
• 3 groupes, n 52 dans chaque groupe
• 4 groupes, n 45 dans chaque groupe
• 5 groupes, n 39 dans chaque groupe
• 6 groupes, n 35 dans chaque groupe
• 7 groupes, n 32 dans chaque groupe
• NB Un effet dit moyen représente ici un
  de .25, où seffet/serreur)

Pour plus de détails sur le calcul de la
puissance, voir Cohen, J. (1988). Statisticial
power analysis for the behavioral sciences.
Hillsdale, NJ Lawrence Erlbaum.
37
(No Transcript)