M

1
Méthodes de prévision (STT-3220)

• Section 4
• Concepts fondamentaux de
• séries chronologiques
• Version 8 novembre 2004

2
Modèles de régression versus modèles versus
modèles de type ARIMA

• On a considéré jusquà maintenant des modèles de
  la forme
• Les variables explicatives xt pouvaient être
• Fonctions du temps t.
• Fonctions indicatrices, fonctions
  trigonométriques, etc.
• Paramètre b
• Constant à travers le temps, ce qui nous amenait
  à lutilisation des modèles de régression
  linéaire multiple.

3
Rôle du lissage exponentiel

• Le lissage exponentiel tentait dadoucir
  lhypothèse que le b est constant, en permettant
  des situations où b change tranquillement dans
  le temps.
• Avec le lissage exponentiel, lidée est de donner
  plus de poids aux observations récentes, et moins
  aux observations passées.

4
Critique des techniques de lissage

• Conceptuellement, on a modélisé des données que
  lon présumait implicitement dépendantes, en
  utilisant des modèles où le terme derreur est
  non-corrélé! (Rappel
  )
• Si le terme derreur est non-corrélé, il en va
  évidemment de même pour la variable dintérêt zt.
  (exceptions notables procédures de
  Cochrane-Orcutt, Hildreth-Lu et premières
  différences)

5
Modèles ARMA et ARIMA

• Classe de modèles issue de notre compréhension
  des processus stochastiques stationnaires, qui
  permet de modéliser un grand nombre de séries
  chronologiques, pouvant admettre une structure
  assez complexe de corrélation.

6
Séries chronologiques et processus stochastiques

• Série chronologique On considère une série
  chronologique observée à des temps discrets 1, 2,
  , n z1, z2, , zn cette série chronologique
  est une réalisation finie dun processus
  stochastique.
• Processus stochastiques Famille infinie de
  variables aléatoires et T
  pourrait être de cardinalité infinie.

7
Rappels fonctions de moyenne, fonction de
covariance

• La fonction de moyenne est
• La fonction de variance est

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Processus stationnaires au sens large

• Le processus est stationnaire au sens
  large (SSL) si les trois conditions suivantes
  sont satisfaites
• 1) Existence du second moment,
• 2) La moyenne est invariante dans le temps
• 3) La covariance satisfait, pour tous t, s
  entiers

9
Fonction dautocovariance

• Puisque , on
  pose
• La fonction g , est appelée la
  fonction dautocovariance de délai k du processus
  .

10
Propriétés de la fonction dautocovariance

• 1.
• 2. En particulier,
• La propriété 2. est une application directe de
  linégalité de Cauchy-Schwartz

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Propriétés de la fonction dautocovariance (suite)

• 3. La fonction g est symétrique par rapport à 0,
  i.e. paire, car
• 4. La fonction g est définie non-négative, i.e.

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Fonction dautocorrélation

• Considérons maintenant
• On pose , qui est
  lautocorrélation de délai k. La fct r,
  est la fonction dautocorrélation de

13
Propriétés de la fonction dautocorrélation

• 1.
• 2.
• 3.
• 4. La fonction r est définie non-négative, i.e.
  que

14
Bruit blanc (faible)

• Définition dun bruit blanc (faible) Une suite
  de variables aléatoires non-corrélées
  est un bruit blanc (faible). On note
• Dans ce cas, on remarque que

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Bruit blanc

• En particulier, un bruit blanc (faible) est
  stationnaire au sens large.
• Remarque Si est iid, on dit que lon
  est en présence dun bruit blanc fort.
• Est-ce quun bruit blanc fort est bruit blanc
  faible?