Sance 11: 1322006

1
Mécanique-physique des matériaux
Lobjectif principal de cette partie du cours
est de fournir la culture minimale permettant
décrire des comportements de matériaux en
grandes déformations
et de comprendre les concepts utilisés par les
codes de calcul industriels pour les calculs en
grandes transformations.
2
Programme indicatif
Séance 7 Comportement des alliages métalliques
élastoplasticité
Séance 8 Elastoplasticité en petites
transformations Etude de cas de calcul de
structures en élastoplasticité en petites
transformations
Séance 9 Elastoplasticité en grandes
transformations Etude de cas de calcul de
structures en élastoplasticité en grandes
transformations
Rapport sur létude de cas
Séance 10 Etude thermodynamique de la
progression dune fissure, taux de relaxation
dénergie
Séance 11 Hypothèses de la mécanique linéaire de
la rupture, ténacité, loi de Paris, limite
dendurance. Les différents concepts de
résistance. Etude de cas
Rapport sur létude de cas
Séance 12 (facultative) Viscoélasticité en
grandes transformations étude de cas de calcul
de structures en viscoélasticité en grandes
transformations
Éventuellement, rapport sur létude de cas
Séance 13 et 14 La méthode des indices de
performance. Etudes de cas de choix de matériaux.
Utilisation du logiciel CES.
Rapport sur létude de cas Questionnaire
3
Séance 11
Mécanique linéaire de la rupture Etude de cas
4
Quelques réflexions sur la fracturation
hydraulique
dans un massif infini, soumise à un chargement
sur les lèvres de la fissure, dont le vecteur
contrainte est

Avec ce chargement, la fissure souvre en mode I
en tous les points du front.

5
Partie I
Dans cette première partie on étudie linjection
progressive dun fluide dans la fissure. On
suppose que le fluide envahi toute la fissure et
que sa pression est uniforme.
1/ Retrouvez à laide de léquation 1, en
présentant le calcul de manière rigoureuse et
claire, que
.Pour cela on pourra commencer par montrer que
.
6
Réponse 
Nous savons que
,
,
.
Commençons par calculer
Posons
7
Ainsi 
Revenons au calcul du facteur dintensité de
contrainte 
8
2/ Sous ce chargement le déplacement vertical de
la lèvre supérieure de la fissure est donnée
par 
Montrez que le volume de fluide dans la fissure
est 
9
Réponse 
Le volume est 
10
3/ Dans cette question on suppose que le
paramètre de contrôle est la pression du fluide.
Réponse 
donc
11
b) Déterminez si cette progression est stable ou
instable.
Réponse 
La fissure est donc instable sous ce chargement.
12
4/ Dans cette question on suppose que le
paramètre de contrôle est le volume de fluide
injecté.
Réponse 
et
donc 
13
b) Déterminez si cette progression est stable ou
instable.
Réponse 
La fissure est donc stable sous ce chargement.
14
5/ Dans cette question on suppose que le fluide
injecté est un gaz parfait et que le paramètre
de contrôle est le nombre de moles de fluide
injecté.
qui va entraîner la progression du front de
fissure.
15
Réponse 
Exprimons la pression en fonction du nombre de
moles.
Le fluide est un gaz parfait donc
Où R est la constante des gaz parfaits et T la
température en Kelvin
Dans la fissure,
Donc
Ainsi
Comme
On en déduit 
soit 
16
b) Déterminez si cette progression est stable ou
instable.
Réponse 
La fissure est donc stable sous ce chargement.
17
Partie II
Dans cette seconde partie on suppose que le
fluide injecté dans la fissure est un liquide
 non mouillant  pour le solide.
Ceci implique que le liquide nenvahi pas toute
la fissure
On suppose que la zone mouillée sur les lèvres de
la fissure reste circulaire et concentrique à la
fissure.
c est appelé  proportion de rayon de fissure
mouillée .
18
(No Transcript)
19
Réponse 
soit 
Rappelons que 
Ainsi
20
Sous ce chargement le déplacement vertical de la
lèvre supérieure de la fissure est donnée par 
21
Réponse 
22
3/ Montrez, en négligeant le volume de fluide
dans le ménisque (voir figure), que le volume de
fluide dans la fissure est 
On pourra dans un premier temps démontrer que
23
Réponse 
En négligeant le volume de fluide dans la
courbure du ménisque on a, en notant que
 et

Nous avons donc à calculer le nombre sans
dimension
24
Commençons par le terme de gauche du membre de
droite 
Etudions maintenant le terme de droite du membre
de droite .
Permutons les deux intégrations 
Dans cet ordre la première intégration peut être
faite explicitement.
Il ne reste plus quà faire la deuxième
intégration qui elle aussi est explicite.
25
On détermine ainsi le volume de fluide 
26
4/ Nous allons admettre que la loi de Laplace sur
la capillarité permet, en première approximation
. a)Déduire de ce qui précède une relation entre
la pression de liquide P et la proportion de
rayon de fissure mouillée c.
27
Réponse 
On en déduit la relation 
28
b) On note
Montrez que cette relation implique que c est
racine du trinôme
Réponse 
soit 
29
(No Transcript)
30
Réponse 
Si cest le cas, les racines de ce trinôme sont 
Les deux racines sont donc acceptables.
31
d) Nous allons reprendre la discussion
précédente, mais maintenant en fonction de P
d1) Montrer que la pression minimum pour faire
entrer le liquide dans une fissure sèche est 
Réponse 
donc
32
d2) Donner pour cette pression minimum
la proportion de rayon de fissure mouillée.
Réponse 

33
il existe deux solutions possibles avec, pour
chacune, une proportion de rayon de fissure
mouillée différente.
Réponse 
avec
les deux solutions possibles sont 
34
d4) Commenter ces résultats et expliquer ce qui
se passe lorsque lon rempli la fissure puis
quon la vidange.
Réponse 
Il est impossible de remplir totalement la
fissure, mais la proportion de rayon de fissure
mouillée
la pression augmente et le fluide est de plus en
plus vigoureusement chassé de la fissure.
35
5/ Tracer les deux courbes donnant le volume en
fonction de la pression lors de linvasion et de
la vidange de la fissure à partir de la relation
et des deux solutions donnant la proportion de
rayon de fissure mouillée en fonction de la
pression.
36
Réponse 
Les deux programmations dans un outil de tracé de
fonctions sont faciles.
37
On peut aussi donner une représentation graphique
de V en fonction de P et a.
38
6/ Dans cette question on suppose que le
paramètre de contrôle est la pression du fluide
lors de linvasion de la fissure.
39
Réponse 
A la question 1 nous avons montré 
La situation correspondant à une invasion de la
fissure, nous retenons la solution
Une solution numérique ou graphique semble
simposer.
Une idée simple consiste à tracer des isovaleurs
de
en fonction de a et P (contourplot3d avec
mapple).
40
(voir figure ci-dessous)
41
b) Déterminez si cette progression est stable ou
instable.
Réponse 
42
7/ Dans cette question on suppose que le
paramètre de contrôle est le volume de fluide
injecté.
qui va entraîner la progression du front de
fissure.
43
Eléments de réponse 
La solution est à chercher sous forme numérique
ou graphique
On peut tracer la surface définie de manière
paramétrique par
.
44
(No Transcript)
45
b) Déterminez si cette progression est stable ou
instable.
Elément de réponse