HDR

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GRAPHES FONCTIONNELS ANR-GRAAL Serge
Burckel avril 2007
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Informatique pour les Graphes
Graphes pour lInformatique
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Motivations
Réconcilier les maths et linfo.
Maths hautement parallèles
Info fortement séquentielle
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S
Copie de S
Image E(S)
N étapes
N étapes
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OBJECTIFS
Image E(S)
S
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Applications
Traitement dimages
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Cas facile linfini
Axiome du choix gt (Tarski 1926) lensemble S
admet un  pairing  càd une injection de S²
dans S. Toute application E sur SN se calcule en
N1 étapes dassignations.
Exemple calcul de E sur ?5 x1 2x1 . 3x2 .
5x3 . 7x4 . 11x5 x2 E2 (d2(x1), d3(x1),
d5(x1), d7(x1), d11(x1)) x3 E3 (d2(x1),
d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1)) x4 E4
(d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1)) x5
E5 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1)) x1
E1 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1),
d11(x1)) où dp(x) max k pk x
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Cas difficile 0,1
Puisque si on peut calculer in situ pour
0,1N alors on peut aussi le faire pour FN.
Codage/décodage binaire xi ? ib1 ib2 . ibk

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Résultats par les graphes
1. Toute application E sur la structure 0,1N a
un calcul clos. (SB)
Le modèle standard de Calcul
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Par les matrices
2. Toute application E sur la structure 0,1N a
un calcul clos en au plus N2 opérations.
(Marianne Morillon SB)
3. Toute application linéaire E sur une
structure KN a un calcul clos en au plus 2N-1
opérations linéaires. (Marianne Morillon, SB)
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Corollaire 2 décomposition des
matrices/graphes TOUTE matrice carrée sur 0,1
(pas nécessairement inversible) est obtenue à
partir de lidentité par une séquence finie
dopérations Lignei Lignei ? Lignej
Corollaire 3 représentation calculatoire des
matrices. Toute matrice M à coefficients dans un
corps K est représentable par une
nouvelle matrice associée MC . Ce codage permet
de calculer directement les images, les
images inverses.
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Exemple sur 0,1 E(a,b,c,d)(ad,abc,
acd,ac)
M
Calcul de E aad babcd cac dcd
MC
 remonter le temps 
gtCalcul de E-1 dcd cac babcd aad
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Algorithme de  séquentialisation  simple dune
matrice M. Le cas 0,1 et à réflexion près.
Input M Output MC
Pour i de 1 à N --si Mi,i0 alors ----faire
Mi,i1(et éventuellement ----rectifier la
structure initiale associée à M) --pour j de i1
à N ----si Mj,i1 alors ------faire
Mj,i0 ------faire MjMj ? Mi
(lignes)
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Contribution à la quête du GRAAL
Graphes comme constructeurs de graphes
A réflexivité près ordre total sur les
sommets matrice dadjacencegraphe
dirigé gt calcul clos de matrice en N étapes gt
dim(M)dim(MC) gt lalgorithme précédent
entraîne que Tout graphe G est construit par
un graphe GC
G
Programme
x1x1x2
2
1
x2x1x2
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GGC
Relation d équivalence GC HC  ils
construisent les mêmes graphes (toujours à
réflexions près).  Simplifications de
constructeurs. Exemples
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Une autre conséquence
Analogie avec décompositions modulaires et
généralisations...
 les sommets peuvent se servir des opérations
réalisées par les sommets précédents 
G
GC
HC
H
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Un point important et agréable par
construction, les graphes GC sont toujours
réflexifsdonc aucun soucis pour faire une
itération des constructeurs G lt GC lt GCC lt
GCCC lt.
lt signifiant appliquer le calcul puis mettre
tous les arcs réflexifs.
Mais alors...par finitude, on a ultimement G
gt GCCC...C Pour un certain k, G construit
lui même son k-ième constructeur itéré !!
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G
2
1
Ici G gt GC
Mais ce k peut-être très grand.Pour 4
sommetsjusquà 18 itérations.
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Une autre conséquence Noyaux itératifs
THEOREME Soit G(V,E) un graphe dirigé
fini avec V x1 , x2 ,. , xN ordonné. Il
existe un stable K0 de G tel que l algorithme
suivant colorie tous les sommets de G
0. Colorer les sommets de K0 1. Pour i de 1 à N
si xi est coloré colorer les xk tels que (xi ,
xk)?E
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Remarque La preuve de ce Thm initialement basée
sur les GC a été simplifiée depuis et encore plus
par une bonne remarque de Stephan Thomassé (le 4
avril 2007).
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résultats récents inductions/coloriages
4. Toute application bijective E sur une
structure FN a un calcul clos en au plus 2N-1
opérations. (SB)
5. Toute application E sur une structure FN a un
calcul clos en au plus 5N-4 opérations. (Emeric
Gioan SB)
6. Toute application E sur une structure FN a un
calcul clos en au plus 4N opérations. (Emeric
Gioan SB)
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Remarque le calcul clos dune bijection sur
0,1N est toujours de la forme x1 x1
f1 ( x2 x3 . xN-1 xN ) x2 x2
f2 (x1 x3 . xN-1 xN ) x3
x3 f3 (x1 x2 . xN-1 xN
) ... xN-1 xN-1 fN-1(x1 x2 x3 .
xN ) xN xN fN (x1 x2 x3 .
xN-1 ) xN-1 xN-1 gN-1(x1 x2 x3
. xN ) ... x3 x3 g3 (x1 x2
. xN-1 xN ) x2 x2 g2 (x1
x3 . xN-1 xN ) x1 x1 g1 (
x2 x3 . xN-1 xN )
Conséquence comme pour les linéaires, le  sens
inverse  calcule la bijection inverse E-1.
Pour le LOGarithme Discret..??
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Graphes fonctionnels
Les 14 modèles de calculs sur 3 éléments.
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Jeux en 3 étapes. F(1)3 , F(2)1 , F(3)1 ,
F(4)1
STEP 0
1
2
3
Rem aussi en 2 étapes. Mais pas (2,1,1,1)
Toute application sur 1,2,3,4 se réalise en 3
étapes de ce jeu.
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Définitions G(V,E) un graphe dirigé. A(V)
les applications de V dans V B(V) les
bijections de V dans V I(G) ? A(V) les
applications F ayant comme support G Pour tout
x de V, (x , F(x)) est un arc de E. Soient G0
idV et Gk1 i? f i dans I(G) et f dans Gk
Définition G est k-fonctionnel si A(V) ? Gk G
est k-bijectif si B(V) ? Gk
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Autre exemple  la boule de sapin 
Il est n²-fonctionnel. Conjecture/Tests pour
n37 il est (n²-3n3)-fonctionnel.
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CONJECTURE K-bijectif ? (K1)-fonctionnel
???
Résultats partiels k-fonctionnel ?
(k1)-fonctionnel k-bijectif ?
(k1)-bijectif k-fonctionnel ? k-bijectif
(trivial) k-bijectif ? nk-fonctionnel (..)
La conjecture entraîne que toute application sur
FN se calcule par une séquence de 2N assignations.
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Point remarquable TOUT graphe qui permet de
calculer toutes ses bijections en exactement k
étapes permet toujours de calculer toutes ses
applications !!
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Développements
Ordres dassignations calculs rapides. EX
E(a,b,c)(a.ba.c , bc , abc) c a b
bc a a.b c cb
(?Strassen)
Autres modèles de calculs par autres graphes.
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QUESTION TECHNIQUE OUVERTE
BUT Etant donnée une bijection E sur 0,1N
exprimée sous forme de N expressions algébriques
pour ses projections, trouver une expression
algébrique dun  coloriage  C(X) 0,1N --gt
0,1 des lignes de la table de E tel que pour
tous X,X C(X)1C(X) si X0,x et
X1,x ou E(X)0,y et E(X)1,y METHODE
ACTUELLE.trop gourmande et sans doutes inutile
Exemple E(a,b,c)(bc,b,a) 000 000
001 100 010 110 011 010 100 001 101 101 110
111 111 011
0 au choix
0
1
0 au choix
0
gt C(a,b,c)ac
1
1
0
1
0
MERCI/