Approches non intrusives des lments finis stochastiques

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Approches non intrusives des éléments finis
stochastiques

• Application en mécanique non linéaire de la
  rupture
• B. Sudret(1), M. Berveiller(1,2), M. Lemaire(2)
• (1) EDF RD, Dépt. Matériaux et Mécanique des
  Composants (MMC)
• (2) Institut Français de Mécanique Avancée
  (IFMA/LaMI)

Séminaire  Mécanique numérique probabiliste  19
Janvier 2005
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Sommaire

• Propagation des incertitudes en mécanique

• classification des méthodes
• une approche simple la simulation de Monte
  Carlo

• Méthode des éléments finis stochastiques

• méthode de projection
• méthode des moindres carrés

• Application à létude de nocivité dun défaut
  dans une tuyauterie

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Propagation des incertitudes principe
Paramètresdentrée

• modèle analytique
• code aux éléments finis

• déplacements
• déformations
• contraintes
• endommagement

• géométrie
• propriétés matériaux
• chargement

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Propagation des incertitudes principe
Modèle de calcul
Paramètresdentrée
Réponse
?

• déterminé à partir
• dune analyse statistique
• du jugement dexpert

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Une brève classification
Modèle mécanique
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Simulation de Monte Carlo
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Propriétés de la simulation

• Avantages

• méthode universelle (problèmes statiques,
  dynamiques, non linéaires)
• ne nécessite pas dimplémentation spécifique

• Inconvénients

• nécessite un gros volume de calcul
• 102 pour évaluer (m , s), 10k2 pour évaluer
  Pf 10-k
• donne un résultat qualitatif de la densité de la
  réponse (histogramme)

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Sommaire

• Propagation des incertitudes en mécanique

• classification des méthodes
• une approche simple la simulation de Monte
  Carlo

• Méthode des éléments finis stochastiques

• méthode de projection
• méthode des moindres carrés

• Application à létude de nocivité dun défaut
  dans une tuyauterie

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Principe des éléments finis stochastiques
Géométrie Physiquedu problème
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Chaos polynomial- Définition
Famille de v.a gaussiennes centrées réduites
indépendantes
Séquence dentiers
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Méthode de projection
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Évaluation de lintégrale
Intégration en M dimensions possible par

• Méthode de Monte Carlo brute

• Méthode de Monte Carlo accélérée (hypercube
  latin)

• Quadrature de lintégrale

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Quadrature dune intégrale simple
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Quadratures des intégrales multiples

• Requiert KM calculs déterministes à effectuer
  avec son code préféré

• Possibilité dutiliser des schémas dintégration
  optimisés en grandedimension ( cubatures  de
  Smolyak)

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Sommaire

• Propagation des incertitudes en mécanique

• classification des méthodes
• une approche simple la simulation de Monte
  Carlo

• Méthode des éléments finis stochastiques

• méthode de projection
• méthode des moindres carrés

• Application à létude de nocivité dun défaut
  dans une tuyauterie

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Méthode des moindres carrés
Minimiser au sens des moindres carrés lécart
entre solution exacte et approchée sur le chaos
polynomial
conduit à un système linéaire !
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Système linéaire
Notations
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Particularités du système

• Le membre de gauche ne dépend pas du
  problème posé, mais uniquement les points de
  collocation choisis et de la taille du chaos

? il peut être inversé une fois pour toutes

• Le calcul additionnel pour obtenir les
  coefficients dune autre variable de sortie se
  réduit à un produit matrice / vecteur

• Le système est de taille petite (P10-100). Par
  contre il est mal conditionné ? nécessité dun
  solveur adapté

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Choix des points de collocation optimaux
Basé sur les racines des polynômes dHermite

• Si lon choisit un chaos de degré p (degré
  maximal des polynômesde Hermite), on utilise les
  racines de Hp1

• On construit tous les M-uplets de ces racines,
  soient Mp1

Études paramétriques en cours (n2P 4P)
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Sommaire

• Propagation des incertitudes en mécanique

• classification des méthodes
• une approche simple la simulation de Monte
  Carlo

• Méthode des éléments finis stochastiques

• méthode de projection
• méthode des moindres carrés

• Application à létude de nocivité dun défaut
  dans une tuyauterie

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Application en mécanique de la rupture
a 15 mm
t 62,5 mm
Traction (stsf)
Ri 393,5 mm
Pression (P15.5 MPa)
Evolution de la probabilité damorçage du défaut
en fonction de la contrainte de traction
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Maillage du tuyau fissuré
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Loi de comportement
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Paramètres incertains
Décomposition de J sur le chaos polynomial
Méthode des moindres carrés
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Probabilité damorçage
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Probabilité damorçage (échelle log)
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Conclusions

• Approches non intrusives
• - deux méthodes permettant de calculer les
  coefficients
• du développement à partir dune batterie de
  calculs déterministes
• ? outil générique probabiliste externe au code

• Plan dexpérience (points de collocation /
  points de quadratures) fourni de facto

• Possibilité de distribuer facilement les calculs