Modlisation par le concept de graphe

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Modélisation parle concept de graphe
2
Graphe (orienté)
G (N, A)
N Ensemble de noeuds (sommets), noté 1, ... n,
Cardinal (N) n
A Ensemble de couples issus de N x N - arc -
(i, j) i noeud initial, j noeud final
2
1
3
4
5
3
Définitions
p-Graphe Un graphe est un p-graphe ssi pour
tout couple (i,j) il n'existe pas plus de p arcs
reliant i à j
Fonction d'incidence ? A -gt N x N
G (N, A, ?,??, ?)
Etiquettage des noeuds et des arcs -gt
Type abstrait -gt fonctions de manipulation
successeurs (?),
prédécesseurs (? -), ...
4
Exemple
2
1
3
4
5
? (1) 2, 4
boucle (arc (2, 2))
?- (2) 1, 2, 4
2-graphe (2 arcs (5, 4))
5
Définitions (2)
Demi-degré d'un noeud i Extérieur Intérieur
Extérieur nombre d'arcs ayant i comme extrémité
intiale
(cardinal de ?(i))
Intérieur ayant i comme extrémité finale
Cocycle d'un ensemble A' d'arcs inclus dans A
? (A') ?- (A')
?? Ensemble des arcs ayant leur extrémité
initiale dans A' et finale dans
A \ A'
??- Ensemble des arcs ayant leur extrémité
finale dans A \ A' et initiale
dans A'
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Chaîne / Cycle (-gt non orienté)
Chaine Sequence d'arètes telle que chaque arête
de la séquence (sauf la 1ere et dernieer) ait une
extrémité commune avec l'arête précédente et
l'autre extrémité commune avec l'arête suivante
Elémentaire on ne passe pas deux fois par le
même sommet
Cycle chaine dont les extrémités coïncident
Cycle élémentaire chaine élémentaire
minimal (pas
d'autre cycle)
7
Chemin
(dans un contexte orienté) Chaine dont tous les
arcs sont orientés dans le même sens
simple ne comporte pas deux fois le même arc
élémentaire ne rencontre pas deux fois le même
sommet
élémentaire gt simple mais pas l'inverse
circuit chemin dont les extrémités
coïncident circuit élémentaire sommets ont un
degré égal à 2
Réseau de transport opérateur de base (sous
contrainte)
8
Exemple
a1
Chaîne (a1, a5, a6, a3, a2)
2
1
a2
(-gt non élémentaire)
a3
a4
3
a5
Cycle (a1, a5, a6, a4)
4
5
(-gt élémentaire)
a6
a1
Chemin (a1, a5, a7, a3)
2
1
a2
(-gt non élémentaire)
a3
a4
3
a5
Circuit (a5, a7, a3)
4
a6
5
a7
9
Connexité
Il existe une chaine joignant tout sommet i à
tout sommet j
-gt Composante connexe
-gt nombre de connexité 1 ltgt graphe connexe
Fortement connexe (orienté) il existe un chemin
de i à j et de j à i
Application transport
-gt notion d'arbre (réseau hydrolique) -gt forte
connexité (réseau de transport urbain, téléphone,
...)
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Graphe planaire
Admet une représentation sur un plan
Sommet Point
Aretes courbes
-gt Deux courbes ne se rencontrent pas en
dehors de leurs extrémités
1
2
2
3
4
1
5
4
5
3
-gt Gestion des représentations schématiques
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FERMETURE TRANSITIVE
CONSTRUIRE UN NOUVEAU GRAPHE G A PARTIR DE G
(i, j) ltgt Il existe un chemin de i à j dans G
2
1
G
3
2
1
4
5
3
G
4
5
12
Représentations informatique
Matrices
Matrice adjacence 1-graphe, (booléenne ou
valuée)
Matrice d'incidence sommets-arcs (-1 -ext-, 0, 1
-orig-) ligne sommet, colonne arc
Listes (matrices creuses)
Listes des sommets successeurs / prédécesseurs
Listes des arcs (cocycles)
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Représentations informatique (2)
Matrice -gt Que des problèmes
- Espace mémoire important - Temps passé à faire
des tests (complexité des algorithmes) - Pas de
flexibilité - Pas de multi-graphe
Listes
-gt Type abstrait avec primitives de manipulations
- Flexibilité (insertion / suppression) -
Emplacement mémoire raisonnable
14
Exemples
Matrice d'adjacence non valuée / non orientée //
valuée / orientée
Matrice d'incidence sommets / arcs
Liste des successeurs / prédécesseurs / voisins /
sommets / arcs / arêtes
Liste des cocycles orientés / non orientés
gt Problème passage d'une représentation à une
autre
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Exemple (2)
Fonction de coût
5
2
1
2
2
1
7
2
3
3
4
4
5
5
2
3
1
2
1
4
3
2
3
4
5
5
6
Numérotation des arcs
16
Booléenne

• 1-graphe, Non orienté ?2 arcs gt Matrice
  symétrique

17
Valuation gt Fonction de coût

• Arc inexistant 0 ou infini gt problème de
  représentation

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Sommets-arcs

• p-graphe, pas de boucle
• Colonne arc, ligne sommet, origine
  destination -

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Successeurs

• Tableau Nud tableau 1.. N1 dindirections
  sur les successeurs (1.. M1)
• Principe idem pour les voisins (non orienté)
  mais symétrique gt 2M 1 ou pour les
  prédécesseurs

6
5
4
3
2
1
7
5
4
4
3
1
X
4
3
2
3
4
2
7
6
5
4
3
2
1
20
Successeurs (version liste chaînée)
1
2
3
4
5
2
3
2
3
4
4
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Orienté Valué

• Idem successeurs valuation (liste chaînée
  multi-graphe)

6
5
4
3
2
1
7
5
4
4
3
1
X
4
3
2
3
4
2
3
2
7
2
2
5
7
6
5
4
3
2
1
22
Cocycle

• Idem liste des successeurs mais avec les arcs gt
  p-graphes avec boucles

6
5
4
3
2
1
7
5
4
4
3
1
X
6
5
3
4
2
1
X
4
3
2
3
4
2
7
6
5
4
3
2
1
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Passages
Matrice d'incidence
O(MN)
O (MN)
Matrice d'adjacence
2
O(N )
Liste des arcs / arêtes
Liste des successeurs
O(M)
O(M)
O(M)
Liste des cocycles
Liste des prédécesseurs
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Problèmatique Base de données
Fonction d'étiquettage (noeud, arc)
-gt Le graphe ne tient pas en MC -gt Opérateurs de
manipulation - chemin -
Modélisation du graphe (1 ou plusieurs niveaux
d'abstraction)
-gt Passage des informations aux différents niveaux
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Problèmes conventionnels
Chemin eulérien chemin qui emprunte une fois et
une seule chaque arc
Chemin hamiltonien chemin qui emprunte une fois
et une seule chaque sommet
Stable Sous-ensemble, S, de sommets d'un
graphe tels que deux sommets de S ne sont pas
adjacents (?)
Clique Sous graphe complet
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Problèmes conventionnels (2)
Domaine de la recherche opérationnelle (parcours
/ contraintes)
Opérateurs de manipulation Attention aux pb
NP-Complet
Bases de données déductives / documentaires
Bases de données spatiales (transports)