La rйsolution de problиmes numйriques

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La résolution de problèmesnumériques

• de lécole maternelle... au cycle 2

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Problème 1

• Marie possède 47 images, elle en donne 12 à
  Claire. Combien lui en reste-t-il ?

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Problème 2

• Anaïs ajoute 12 billes dans une boîte qui en
  contient déjà. Il y a maintenant 41 billes dans
  cette boîte. Combien y avait-il de billes dans la
  boîte au départ ?

4
Définir la résolution de problèmes

•  Par problème, il faut entendre dans le sens
  large que lui donne le psychologue, toute
  situation dans laquelle il faut découvrir des
  relations, développer des activités
  dexploration, dhypothèses et de vérification
  pour produire une solution. 
• G.VERGNAUD
•  Un problème est généralement défini comme une
  situation initiale avec un but à atteindre,
  demandant au sujet délaborer une suite dactions
  ou dopérations pour atteindre ce but. Il ny a
  problème que si la solution nest pas disponible
  demblée mais possible à construire. Cest dire
  aussi quun problème pour un sujet donné peut ne
  pas être un problème pour un autre sujet, en
  fonction de leur développement intellectuel par
  exemple. 
• J.BRUN

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La résolution de problèmes

• Pourquoi les élèves ont beaucoup de difficultés à
  résoudre des problèmes à lécole élémentaire
  (tous cycles confondus) ? Voir les Évaluations
  Nationales (CE1 et CM2) et Européennes (PISA).
• Pourquoi cette partie de lactivité mathématique
  correspond, pour la majorité des élèves, à un
  moment difficile, pénible, sans sens et surtout
  sans enjeu ?
• Parce que les élèves ne résolvent pas de
  véritables problèmes à lécole,
• Parce que le contrat inhérent à la résolution de
  problème nest pas correctement initié entre
  lenseignant et les élèves.
• Parce que ce contrat nest pas toujours bien
  intégré et reconnu comme essentiel par beaucoup
  denseignants eux -mêmes.
• Parce que la manipulation est une action sur
  le réel, pour lélève, qui reste longtemps
  ambiguë (Cf.  Les 7 malentendus de la
  maternelle  de R.GOIGOUX)

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Sur les activités ludiques

• Se reporter au texte les 7 malentendus de la
  maternelle de R. Goigoux, où il dit
• Beaucoup cherchent à enjoliver les situations
  en maternelle, afin de les rendre plus motivantes
  . Et cest ainsi que certains élèves
  sappliquent à colorier des étoiles et à tracer
  des chemins sur la piste du cirque entre les
  lions et leurs tabourets, alors que dautres, sur
  le même matériel, sattachent à réussir des
  activités de dénombrement et de correspondance
  terme à terme. Les premiers traitent la surface
  des problèmes alors que les seconds en abstraient
  leur structure logico-mathématique.

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Les Nouveaux Programmespour lEcole Maternelle

• 6 domaines dactivités à lEcole Maternelle
• Sapproprier le langage
• Découvrir lécrit
• Devenir élève
• Agir et sexprimer avec son corps
• Découvrir le monde
• Percevoir, sentir, imaginer, créer

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Découvrir le monde

• À lécole maternelle, lenfant découvre le monde
  proche il apprend à prendre et à utiliser des
  repères spatiaux et temporels. Il observe, il
  pose des questions et progresse dans la
  formulation de ses interrogations vers plus de
  rationalité. Il apprend à adopter un autre point
  de vue que le sien propre et sa confrontation
  avec la pensée logique lui donne le goût du
  raisonnement. Il devient capable de compter, de
  classer, dordonner et de décrire, grâce au
  langage et à des formes variées de représentation
  (dessins, schémas). Il commence à comprendre ce
  qui distingue le vivant du non-vivant (matière,
  objets).
• 5 sous-domaines
• Découvrir les objets
• Découvrir la matière
• Découvrir le vivant
• Découvrir les formes et les grandeurs
• Approcher les quantités et les nombres

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Approcher les quantités et les nombres

• Lécole maternelle constitue une période
  décisive dans lacquisition de la suite des
  nombres (chaîne numérique) et de son utilisation
  dans les procédures de quantification. Les
  enfants y découvrent et comprennent les fonctions
  du nombre, en particulier comme représentation de
  la quantité et moyen de repérer des positions
  dans une liste ordonnée dobjets. Les situations
  proposées aux plus jeunes enfants (distributions,
  comparaisons, appariements...) les conduisent à
  dépasser une approche perceptive globale des
  collections. Laccompagnement quassure
  lenseignant en questionnant (comment, pourquoi,
  etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec
  des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la
  prise de conscience. Progressivement, les enfants
  acquièrent la suite des nombres au moins jusquà
  30 et apprennent à lutiliser pour dénombrer.
  Dès le début, les nombres sont utilisés dans des
  situations où ils ont un sens et constituent le
  moyen le plus efficace pour parvenir au but
  jeux, activités de la classe, problèmes posés par
  lenseignant de comparaison, daugmentation, de
  réunion, de distribution, de partage. La taille
  des collections, le fait de pouvoir agir ou non
  sur les objets sont des variables importantes que
  lenseignant utilise pour adapter les situations
  aux capacités de chacun. À la fin de lécole
  maternelle, les problèmes constituent une
  première entrée dans lunivers du calcul mais
  cest le cours préparatoire qui installera le
  symbolisme (signes des opérations, signe égal)
  et les techniques. La suite écrite des nombres
  est introduite dans des situations concrètes
  (avec le calendrier par exemple) ou des jeux
  (déplacements sur une piste portant des
  indications chiffrées). Les enfants établissent
  une première correspondance entre la désignation
  orale et lécriture chiffrée leurs performances
  restent variables mais il importe que chacun ait
  commencé cet apprentissage. Lapprentissage du
  tracé des chiffres se fait avec la même rigueur
  que celui des lettres.

10
Les compétences numériques à la fin de lécole
maternelle

• comparer des quantités, résoudre des problèmes
  portant sur les quantités
• mémoriser la suite des nombres au moins jusquà
  30
• dénombrer une quantité en utilisant la suite
  orale des nombres connus
• associer le nom de nombres connus avec leur
  écriture chiffrée

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Les objectifs assignés à lécole maternelle
concernant lapproche des quantités et des nombres

• Acquérir la suite des nombres (la comptine
  numérique) au moins jusquà 30
• Utiliser la comptine numérique dans des
  procédures de dénombrement
• Comprendre les fonctions du nombre
• Une fonction cardinale
• Une fonction ordinale
• Il sagit de donner du sens aux nombres par leur
  utilisation dans la résolution de problèmes dans
  des situations vécues (jeux, activités de la
  classe) Ces problèmes sont choisis pour que
  les nombres y apparaissent comme des outils
  efficaces pour anticiper le résultat
• dune action sur les quantités
• - comparaison
• - réalisation dune collection équipotente
• - augmentation
• - diminution
• - réunion
• - distribution
• - partage
• dune action sur des positions
• - Repérer des positions dans une liste ordonnées
  dobjets

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Les Nouveaux Programmes pour le Cycle 2

• 7 champs disciplinaires au Cycle des
  apprentissages fondamentaux
• FRANÇAIS
• MATHÉMATIQUES
• ÉDUCATION PHYSIQUE ET SPORTIVE
• LANGUE VIVANTE
• DÉCOUVERTE DU MONDE
• PRATIQUES ARTISTIQUES ET HISTOIRE DES ARTS
• INSTRUCTION CIVIQUE ET MORALE

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MATHÉMATIQUES au Cycle 2

• Lapprentissage des mathématiques développe
  limagination, la rigueur et la précision ainsi
  que le goût du raisonnement.
• La connaissance des nombres et le calcul
  constituent les objectifs prioritaires du CP et
  du CE1. La résolution de problèmes fait lobjet
  dun apprentissage progressif et contribue à
  construire le sens des opérations. Conjointement,
  une pratique régulière du calcul mental est
  indispensable. De premiers automatismes
  sinstallent. Lacquisition des mécanismes en
  mathématiques est toujours associée à une
  intelligence de leur signification.
• 1 - NOMBRES ET CALCUL
• Les élèves apprennent la numération décimale
  inférieure à 1000. Ils dénombrent des
  collections, connaissent la suite des nombres,
  comparent et rangent.
• Ils mémorisent et utilisent les tables daddition
  et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils
  apprennent les techniques opératoires de
  laddition et de la soustraction, celle de la
  multiplication et apprennent à résoudre des
  problèmes faisant intervenir ces opérations. Les
  problèmes de groupements et de partage permettent
  une première approche de la division pour des
  nombres inférieurs à 100.
• Lentraînement quotidien au calcul mental permet
  une connaissance plus approfondie des nombres et
  une familiarisation avec leurs propriétés.
• 2 - GÉOMÉTRIE
• Les élèves enrichissent leurs connaissances en
  matière dorientation et de repérage. Ils
  apprennent à reconnaître et à décrire des figures
  planes et des solides. Ils utilisent des
  instruments et des techniques pour reproduire ou
  tracer des figures planes. Ils utilisent un
  vocabulaire spécifique.
• 3 - GRANDEURS ET MESURES
• Les élèves apprennent et comparent les unités
  usuelles de longueur (m et cm km et m), de
  masse (kg et g), de contenance (le litre), et de
  temps (heure, demi heure), la monnaie (euro,
  centime deuro). Ils commencent à résoudre des
  problèmes portant sur des longueurs, des masses,
  des durées ou des prix.
• 4 - ORGANISATION ET GESTION DES DONNÉES
• Lélève utilise progressivement des
  représentations usuelles tableaux, graphiques.

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PREMIER PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN
COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CE1

• COMPÉTENCE 3
• LES PRINCIPAUX ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES ET LA
  CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE
• Lélève est capable de
• - écrire, nommer, comparer, ranger les nombres
  entiers naturels inférieurs à 1 000
• - calculer addition, soustraction,
  multiplication
• - diviser par 2 et par 5 des nombres entiers
  inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient
  exact est entier)
• - restituer et utiliser les tables daddition et
  de multiplication par 2, 3, 4 et 5
• - calculer mentalement en utilisant des
  additions, des soustractions et des
  multiplications simples
• - situer un objet par rapport à soi ou à un autre
  objet, donner sa position et décrire son
  déplacement
• - reconnaître, nommer et décrire les figures
  planes et les solides usuels
• - utiliser la règle et léquerre pour tracer avec
  soin et précision un carré, un rectangle, un
  triangle rectangle
• - utiliser les unités usuelles de mesure
  estimer une mesure
• - être précis et soigneux dans les tracés, les
  mesures et les calculs
• - résoudre des problèmes très simples
• - observer et décrire pour mener des
  investigations
• - appliquer des règles élémentaires de sécurité
  pour prévenir les risques daccidents domestiques.

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Les Documents daccompagnement

• En cycle 2
•  Les problèmes doivent se situer dans des
  contextes maîtrisés par les élèves, le plus
  souvent possible, à laide de supports
  effectivement présents dans la classe (matériel,
  jeu). 
•  Le choix des situations doit favoriser une
  entrée rapide dans le problème et permettre une
  validation des réponses ainsi quune
  explicitation des procédures par retour à
  lexpérience. 
•  Une présentation mimée ou orale, éventuellement
  avec laide dune image ou dun document, peut
  également être utilisée. La maîtrise de lécrit
  nétant pas entièrement assurée pour une partie
  des élèves de cycle 2, le recours à des
  situations fictives nimplique pas lutilisation
  dun énoncé écrit. 
•  Les situations proposées doivent réellement
  être problématiques et donc nécessiter un travail
  intellectuel de la part de lélève pour
  lélaboration de la réponse. 
•  Lenfant doit pouvoir valider sa réponse.

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Les nombres, ça sert à quoi ?

• Les nombres servent à mémoriser les quantités et
  à construire ainsi des collections ayant le même
  nombre déléments, sans la présence explicite de
  la collection de référence.
• Les nombres servent à comparer les quantités sans
  la présence explicite des collections de
  référence
• Les nombres servent à agir sur les quantités sans
  la présence explicite des collections de
  référence à les transformer, les réunir, les
  partager, donc à calculer

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Le nombre les points clés de lapprentissage

• La comptine numérique (la chaîne orale)
• la chaîne en chapelet
• La chaîne non sécable
• La chaîne sécable
• Le comptage-dénombrement
• Les collections témoins
• La structuration des quantités du dénombrement
  au calcul
• Lintervalle des petits nombres de 1 à 3 ou 4
• Lintervalle des nombres familiers selon lâge
  de lenfant, cet intervalle varie jusquà 4 ou 5,
  puis 5 à 6 puis 6 à 7 puis 7 à 8
• Lintervalle des grands nombres jusquà linfini

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La résolution de problèmes le fondement de
lapprentissage des mathématiques

• Les différentes sortes de problèmes
• Cf. Document daccompagnement
• Les problèmes de recherche
• Les problèmes permettant la construction de
  connaissances nouvelles
• Les problèmes favorisant une évolution dans la
  connaissance de notions déjà rencontrées
• La situation problème
• Les types de problèmes
• Construire une collection équipotente
• Compléter une collection
• Comparer deux collections
• Partager une collection
• Les variables
• Pédagogiques
• Didactiques

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Schéma de principe dune situation problème
daprès ERMEL
20
Quels types de situations ?

• Rituelles
• elles se répètent régulièrement voire
  quotidiennement, par nécessité, par convention
  sociale (dénombrement des présents et des
  absents)
• Fonctionnelles
• pas forcément quotidiennes, mais incluses dans
  lorganisation et la réalité de la vie de la
  classe (mise au point dune sortie)
• Construites par lenseignant(e)
• ce sont des situations dont lenjeu est un
  apprentissage ciblé et voulu, par rapport à des
  compétences des I.O.

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Des tâches (constitutives de situations)

• Qui forcent les opérations mentales, en mettant à
  distance les procédures sensori-motrices.
• Qui sont anticipatrices sur le réel. Il faut donc
  mettre en place des contraintes qui incitent les
  élèves à anticiper.
• Qui permettent aux élèves de choisir leurs
  procédures, de les essayer, den mesurer si
  possible leur pertinence, de les rejeter si
  nécessaire.

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Quels matériels et supports ?

• Les supports et les milieux organisés doivent, le
  plus souvent, être composés de matériels
  effectifs.
• Les moments réservés à la feuille de papier
  (espace graphique) doivent être rares et ciblés
  (travail en autonomie, par exemple)

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La dévolution du problème

• Le problème mathématique est posé par
  lenseignant.
• Ce problème doit devenir celui de lélève qui
  devra 
• Identifier la situation et le but à atteindre
  (donc savoir  de quoi ça parle et que dois-je
  faire ?)
• Accepter la tâche.
• Comment atteindre la dévolution, comment
  favoriser lidentification de la situation et de
  la tâche ?
• Par le matériel
• Par lexposition du résultat attendu
• Par lutilisation dexemples et de
  contre-exemples
• Par la formulation puis la reformulation de la
  consigne par lélève
• Situations image-puzzle  Lanniversaire  et
  énoncé-puzzle  Les champignons 

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Quelles procédures ?

• Les procédures, mises en œuvre par les élèves,
  peuvent être débrouillardes , personnelles
• Aucune procédure experte ne doit être introduite
• Aucune introduction de signes conventionnels
  (autres que les chiffres, le moment venu).

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Résolution de problèmes et connaissances
numériques

• Le nombre comme mémoire de la quantité
• Situation Les serveurs
• Loral et les consignes
• Des quantités aux nombres
• Situation La boîte des absents
• Les comptines pour apprendre à compter
• Les albums à compter
• Ecrire, lire les nombres
• Situation Habiller les clowns
• La bande numérique
• Le nombre pour anticiper
• Situation Le Trésor
• Le jeu des choses
• Le jeu du Greli-grelo
• Lalbum et les fiches à calculer

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Un exemple fondamental la situation des
serveurs, voleurs, les lutins,... le robot,
etc.

• Consigne Il faut aller chercher juste ce quil
  faut de cuillères, au retour il doit y avoir une
  cuillère dans chaque gobelet et pas de gobelet
  vide
• Les variables de la situation (pour faire
  évoluer la situation de la PS au CP)
• Le nombre de gobelets (ce nombre est à adapter en
  fonction des capacités des élèves (var.
  pédagogique), mais également pour faire évoluer
  les procédures (var. didactique)
  collections-témoins, puis nombres).
• Le nombre dallers et retours (3, puis 2, puis
  1).
• La distance spatiale et temporelle entre les deux
  collections.
• Lorganisation et le choix du matériel (gobelets,
  quadrillage en robot, grappes de raisin, wagons
  de voyageurs, coccinelles, etc.).
• Le type de communication (élève seul, un
  banquier, par oral, par écrit)