PERSAMAAN DIFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION)

1
PERSAMAAN DIFERENSIAL(DIFFERENTIAL EQUATION)

• metode euler
• metode runge-kutta

2
Persamaan Diferensial

• Persamaan paling penting dalam bidang rekayasa,
  paling bisa menjelaskan apa yang terjadi dalam
  sistem fisik.
• Menghitung jarak terhadap waktu dengan kecepatan
  tertentu, 50 misalnya.

3
(No Transcript)
4
(No Transcript)
5
Persamaan Diferensial

• Solusinya, secara analitik dengan integral,
• C adalah konstanta integrasi
• Artinya, solusi analitis tersebut terdiri dari
  banyak alternatif
• C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x dan
  t. Sehingga, untuk contoh di atas, jika x(0) (x
  saat t0) 0, maka C 0

6
Klasifikasi Persamaan Diferensial

• Persamaan yang mengandung turunan dari satu atau
  lebih variabel tak bebas, terhadap satu atau
  lebih variabel bebas.
• Dibedakan menurut
• Tipe (ordiner/biasa atau parsial)
• Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada
• Liniarity (linier atau non-linier)

7
PDO

• Pers.dif. Ordiner pers. yg mengandung sejumlah
  tertentu turunan ordiner dari satu atau lebih
  variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
• y(t) variabel tak bebas
• t variabel bebas
• dan turunan y(t)
• Pers di atas ordiner, orde dua, linier

8
PDO

• Dinyatakan dalam 1 peubah dalam menurunkan suatu
  fungsi
• Contoh

9
Partial Differential Equation

• Jika dinyatakan dalam lebih dari 1 peubah,
  disebut sebagai persamaan diferensial parsial
• Pers.dif. Parsial mengandung sejumlah tertentu
  turunan dari paling tidak satu variabel tak bebas
  terhadap lebih dari satu variabel bebas.
• Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan
  (adveksi, dispersi, diffusi)

10
PDO
Ordiner, linier, orde 3 Ordiner, linier, orde
2 Ordiner, non linier, orde 1
11
Solusi persamaan diferensial

• Secara analitik, mencari solusi persamaan
  diferensial adalah dengan mencari fungsi integral
  nya.
• Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara
  eksponensial, persamaan umum

12
(No Transcript)
13

• But what you really want to know is
• the sizes of the boxes (or state variables) and
  how they change through time
• That is, you want to know
• the state equations
• There are two basic ways of finding the state
  equations for the state variables based on your
  known rate equations
• 1) Analytical integration
• 2) Numerical integration

14

• Suatu kultur bakteria tumbuh dengan kecepatan
  yang proporsional dengan jumlah bakteria yang ada
  pada setiap waktu. Diketahui bahwa jumlah bakteri
  bertambah menjadi dua kali lipat setiap 5 jam.
  Jika kultur tersebut berjumlah satu unit pada
  saat t 0, berapa kira-kira jumlah bakteri
  setelah satu jam?

15
Solusi persamaan diferensial

• Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5
  jam, maka k (ln 2)/5
• Jika P0 1 unit, maka setelah satu jam

16
The Analytical Solution of the Rate Equation is
the State Equation
Rate equation
State equation
(dsolve in Maple)
17
There are very few models in ecology that can be
solved analytically.
18
Solusi Numerik

• Numerical integration
• Eulers
• Runge-Kutta

19
Numerical integration makes use of this
relationship
Which youve seen before

• Relationship between continuous and discrete
  time models
• You used this relationship in Lab 1 to program
  the
• logistic rate equation in Visual Basic

20
Fundamental Approach of Numerical Integration
y f(t), unknown
yt?t, unknown
yt?t, estimated
y
, known
yt, known
?t, specified
t
21
Calculate dN/dt1 at Nt Add it to Nt to estimate
Nt ?t
Nt ?t becomes the new Nt Calculte dN/dt 1 at
new Nt Use dN/dt to estimate next Nt ?t
Repeat these steps to estimate the state function
over your desired time length (here 30 years)
Eulers Method yt ?t yt dy/dt ?t
22
Example of Numerical Integration
point to estimate
Analytical solution to dy/dt
Y0 10
? t 0.5
23
Eulers Method yt ?t yt dy/dt ?t
analytical y(t ?t)
m1 dy/dt at yt m1 610-.007(10)2 ?y
m1?t yest yt ?y
y
estimated y(t ?t)
?y
yt 10
? t 0.5
24
Runge-Kutta Example
point to estimate
Problem estimate the slope to calculate ?y
?y
? t 0.5
25
Runge-Kutta Example
estimated yt?t
Unknown point to estimate, yt?t
estimated yt?t
estimated yt?t
yt
? t 0.5
26
Runge-Kutta, 4th order
Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes
(m1m4) within ?t
These 4 slopes are used to calculate a weighted
slope of the state function between t and t ?t,
which is used to estimate yt ?t
27
Step 1 Evaluate slope at current value of state
variable.
y0 10
m1 dy/dt at y0 m1 610-.007(10)2 m1 59.3
y
m1slope 1
y0
28
Step 2 A) Calculate y1at t ?t/2 using m1. B)
Evaluate slope at y1.
A) y1 y0 m1 ?t /2 y1 24.82
B) m2 dy/dt at y1 m2
624.8-.007(24.8)2 m2 144.63
m2slope 2
y1
? t 0.5/2
29
Step 3 Calculate y2 at t ?t/2 using
k2. Evaluate slope at y2.
y2 y0 k2 ?t /2 y2 46.2
k3 slope 3
k3 dy/dt at y2 k3 646.2-.007(46.2)2 k3
263.0
y2
? t 0.5/2
30
Step 4 Calculate y3 at t ?t using k3. Evaluate
slope at y3.
y3 y0 k3 ?t y3 141.5
y3
k4 slope 4
k4 dy/dt at y3 k4 6141.0-.007(141.0)2 k4
706.9
y2
? t 0.5
31
Now you have 4 calculations of the slope of the
state equation between t and t?t
m4 slope 4
m3 slope3
m2 slope 2
m1 slope 1
? t 0.5
32
Step 5 Calculate weighted slope. Use weighted
slope to estimate y at t ?t
weighted slope
true value
weighted slope
estimated value
? t 0.5
33
Conclusions
Analytical

• 4th order Runge-Kutta offers substantial
  improvement over Eulers.
• Both techniques provide estimates, not true
  values.
• The accuracy of the estimate depends on the size
  of the step used in the algorithm.

Runge-Kutta
Eulers