Matemбticas y Arte por Francisco Rivero Mendoza

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Matemáticas y ArteporFrancisco Rivero Mendoza
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Matemáticas - Arte

• La búsqueda de un ideal de belleza.
• Conocimiento del espacio tiempo.
• Búsqueda de patrones que se repiten.
• Métrica.

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Matemáticas y Poesía.

• La guacharaca de Apure
• Le dijo al pájaro vaco
• Préstame tu candelita
• Para encender mi tabaco
• Alberto Arvelo Torrealba

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Relaciones líricas

• En su estructura, la poesía tiene algo de
  matemáticas en la periodicidad, tanto de las
  sensaciones fonéticas ( rima) como de acentos (
  ritmo).
• La gua cha ra ca dea pu re 00010010
• Le dijo al pá ja ro va co 00010010
• Prés ta me tu can de li ta 10000010
• Pa raen cen der mi ta ba co 00010010

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El Lilavati ( Baskhara s. XII)

• Un quinto de un enjambre de abejas se posa sobre
  una flor de kadamba(Loto) un tercio sobre una
  flor de silindha ( cambur). Tres veces la
  diferencia entre los dos números voló a las
  flores de un kutuja, y quedó una sola abeja que
  se alzó por el aire, igualmente atraída por el
  perfume de un jazmín y un pandamus. Dime tú
  ahora, mujer fascinante, cual era el número de
  abejas
• Un matemático no es digno de este nombre si no es
  un poco poeta
• Karl Weierstrass

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Matemáticas y Literatura

• La matemática enseña también a escribir, si se
  quiere que la concisión, la claridad, y la
  precisión sean cualidades de estilo.
• El lenguaje matemático obliga a una gimnasia
  intelectual sumamente intensa.
• Algunos escritores han usado elementos
  matemáticos en sus creaciones literarias.

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Veamos algunos ejemplos

• Don Quijote (segunda parte cap LI) La paradoja
  del ahorcado
• - Señor, un caudaloso río dividía dos términos
  de un mismo señorío digo pues que sobre este
  río estaba una puente, y al cabo della una horca
  y una como casa de audiencia, en la cual de
  ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley
  que puso el dueño del río, de la puente y del
  señorío

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El Juramento del puente

• Si alguno pasare por esta puente, de una parte a
  otra, ha de jurar primero adónde y a qué va y si
  jurare verdad, déjenle pasar y si dijere
  mentira, muera por ello ahorcado en la horca que
  allí se muestra....

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Don Quijote Un texto que se autorefiere creando
un peligroso descenso al infinito
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Un libro dentro de un libro

• Créanme vuesas mercedes- dijo Sancho- que el
  Sancho y el Don Quijote desa historia deben de
  ser otros que los que andan en aquella que
  compuso Cide Hamete Benengeli,
• Por el mismo caso- respondió Don Quijote- no
  pondré los pies en Zaragoza y así, sacaré a la
  plaza del mundo la mentira de ese historiador
  moderno y echarán de ver las gentes cómo yo no
  soy el Don Quijote que él dice

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Lewis Carrol Alicia en el país de las maravillas

• Un relato fantástico del matemático Charles
  Dogson (1832-1898)
• Nada hacía suponer que aquel severo personaje
  gris de Oxford consagrado al estricto orden de
  las matemáticas y a la precsión de la lógica
  fuera a producir una de las más célebres obras en
  el terreno de lo irracional y lo absurdo.

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Una merienda de locos

• Entonces dí lo que piensas- prosiguió la liebre.
• Eso es lo que hago- dijo Alicia precipitadamente-
  A lo menos...yo pienso lo que digo. Es la misma
  cosa.
• No es lo mismo- advirtió el sombrerero- Según tú,
  sería lo mismo decir Veo lo que como que Como
  lo que veo

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Jorge Luis Borges La Biblioteca de Babel

• ...A cada uno de los muros de cada hexágono
  corresponden cinco anaqueles cada anaquel
  encierra treinta y dos libros de formato
  uniforme cada libro es de cuatrocientas diez
  páginas cada página de cuarenta renglones cada
  renglón de unas ochenta letras

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La biblioteca total. Tocando el infinito

• La biblioteca es total y en sus anaqueles se
  registran todas las posibles combinaciones de los
  veintitantos símbolos ortográficos, o sea, todo
  lo que es dable expresar.
• ...Todo la historia minuciosa del porvenir, las
  autobiografías de los acángeles, el catálogo fiel
  de la biblioteca, miles y miles de catálogos
  falsos, la demostración de la falacia de esos
  catálogos, el evangelio gnóstico de Balsídes, el
  comentario de ese evangelio, el comentario del
  comentario, la relación verídica de tu muerte...

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Dale Brown El código da Vinci

• Anagramas
• Códigos secretos.
• Criptografía.
• Proporción dorada.
• Número de oro.
• Geometría sagrada.
• Sucesión de Fibonacci.

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Un receso musical...
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Quatrivium

• La música y la matemática han estado relacionada
  durante siglos. En el curriculum de los
  estudiantes de la edad media se incluían las
  siguientes artes o disciplinas
• Aritmética
• Geometría.
• Astronomía
• Música

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Pitágoras y la música

• Para construir la escala musical los pitagóricos
  construyeron un instrumento formado por una sola
  cuerda que se tensaba y que se podía hacer más
  larga, o más corta, moviendo una tabla móvil (
  Monocordio)
• Cuando la cuerda medía ½ del total el sonido se
  repetía pero más agudo.
• Cuando el largo de la cuerda es 2/3 del tamaño
  original se obtiene otra nota musical ( la
  quinta)
• Cuando la cuerda es ¾ del largo de la anterior se
  obtiene la cuarta.

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La escala diatónica

•  En la escala diatónica, las frecuencias de cada
  nota son radios de números enteros. 

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El Piano Bien Temperado

• El Piano Bien Temperado, Obra de Juan Sebastian
  Bach compusta de 24 piezas musicales, en doce
  tonalidades usando el modo mayor y menor.
• Bach afinó su piano en la escala temperada
  dividiendo los tonos en series dentro de un
  espacio definido.
• La escala temperada es la que se usa hoy en día.

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La música y las probabilidades

• Algunos músicos compusieron obras a partir de
  reglas y conceptos matemáticos, como por ejemplo,
  las probabilidades.
• Mozart, a la edad de 21 años, creó un juego para
  componer valses de 16 compases, lanzando los
  dados.

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• La obra musical se titula Juegos de dados
  musical para escribir valses con la ayuda de dos
  dados sin ser músico, ni saber nada de
  composición (K294).
• Los números en la matriz corresponden a los 176
  compases que compuso Mozart.
• Hay 2x1114 variaciones del mismo vals.

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De que está hecha la música?

• Respuesta De funciones trigonométricas.
• Los sonidos producidos por la vibración de
  cuerdas y membranas se propagan en el aire
  mediante ondas sonoras.

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Componentes de una onda

• Intensidad Amplitud
• Tono frecuencia.
• Timbre forma particular de la onda.

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El Análisis de Fourier

• El matemático Francés Jean Baptiste Joseph
  Fourier (1768-1830), descubrió que toda función
  periódica ( onda sonora) es una combinación de
  senos y cosenos.

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El Osciloscopio sonoro

• musica

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Y que hay del ritmo y la melodía?

• En 2002, los trabajos Toussaint, inician una
  investigación teórica de ritmos con herramientas
  matemáticas, introduciendo nuevas técnicas
  geométricas, gráficas y de combinatoria.
• Esto permite la enseñanza, el análisis, la
  visualización y el reconocimiento automatizado de
  ritmos.

Godfried T. Toussaint A mathematical analysis
of African, Brasilian and Cuban clave rithms
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El ritmo clave son y su análisis matemático.

• Para los ritmos se usa un sistema sencillo de
  notación en base a unidades de tiempo.

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• Otra forma de representar los ritmos consiste en
  emplear un vector de intervalos.
• Cada dígito representa el intervalo de tiempo
  entre sonidos sucesivos.
• Clave son se representa por (3 3 4 2 4)
• Ejercicio cómo se representa el ritmo de Gaita?

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La Trilogía Sagrada Matemáticas, Arte y
Naturaleza

• La belleza de las proporciones
• El rectángulo dorado
• El Número de Oro
• La sucesión de Fibonacci
• La espiral
• Las simetrías
• Las teselaciones

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Las proporciones

• Un radio es una comparación de dos cantidades,
  tamaños, cualidades o ideas diferentes a y b y se
  expresa por la fórmula ab.
• Una proporción es una relación de equivalencia
  entre dos radios. Si las cantidades que
  intervienen son a, b , c y d, entonces la
  proporción se escribe
• a bc d.
• Ejemplo 20 es a 4, como 5 es a 1.

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La proporción dorada
b
a

• Cómo dividir un segmento en forma bella y
  armoniosa?
• a b b b a
• La suma de las dos partes es a la parte mayor
  como la parte mayor es a la menor.
• Esta proporción la llamamos proporción dorada

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Construcción del segmento áureo
34
La belleza de las formas en la naturaleza

• Las formas supremas de lo bello son la
  conformidad con las leyes, la simetría y la
  determinación ( el orden), y son precisamente
  estas formas las que se encuentran en las
  matemáticas, y puesto que estas formas parecen
  ser la causa de muchos objetos, las matemáticas
  se refieren en cierta medida a una causa que es
  la belleza
• Aristóteles.

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La belleza de las proporciones

• Lo bello es lo que nos deleita, haciendo de
  medianeros, oídos y vista Platón.
• La altura total dividida entre la altura hasta el
  ombligo debe ser iguala la proporción dorada ?
  1.618

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El rectángulo dorado
1
x
1
(X 1) x x 1
X ( 1 v 5 ) / 2
x
? 1.56
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Número de oro en el arte del renacimiento italiano

• El rectángulo dorado sirve de división armónica
  entre los espacios.
• Para que un espacio dividido en partes iguales
  resulte agradable y estético, deberá haber entre
  la parte más pequeña y la mayor, la misma
  relación que entre ésta y la menor.
• Euclides

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Ley de la sección dorada
39
El numero de oro generalizadoQué hay entre un
rectángulo dorado y un cuadrado?
Un rectángulo verde
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Una familia de números de oroNúmeros de oro
generalizados

• Si para cada número natural n, consideramos la
  ecuación
• n x 2 x- n 0
• La solución de la misma es el n-número de oro
• ?n 1 ( 1 4n ) ½/ 2n
• En particular se tiene que
• ?1 ?

41
Los números de oro generalizados
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La sucesión de Fibonacci

• Una sucesión de números naturales
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
• Una sucesión de proporciones racionales
• 1 /1 , 2/1, 3 /2, 5/3, 8/5, 13/8,
• Que tienden hacia la Proporción Áurea
• ? ?

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La Espiral

• La espiral aparece en la naturaleza organizando
  el crecimiento de las formas.
• Cada Angulo central, de una espiral logarítmica,
  origina arcos similares

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Las espirales del girasol

• Hay 55 espirales ( en el sentido de las agujas
  del reloj).
• Hay 89 espirales en sentido contario a las agujas
  del reloj.
• La relación 55,89 se conoce como la phyllotaxis
  de la planta.

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La Espiral generadora del movimiento en el arte
del cuatrocientos florentino.
46
(No Transcript)
47
Simetrías
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Simetría bilateral

• El hombre y los animales superiores poseen
  simetría de reflexión o bilateral
• Los espejos cambian nuestro lado derecho por el
  izquierdo y viceversa.
• Por qué los espejos no cambian los pies por la
  cabeza?

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La simetría rotatoria abunda en la naturaleza
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La simetría en el arte de la decoración
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Los grupos miden las simetrías

• Los artesanos y decoradores de templos alfombras
  y vasijas de todas las épocas y culturas, jamás
  imaginaron que estaban empleando en sus
  creaciones una de las herramientas más moderna,
  abstracta y sofisticada de toda la matemática la
  Teoría de Grupos

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Los 17 grupos de simetría en el plano

• Toda decoración simétrica del plano consiste de
  una celda básica o patrón que se repite
  infinitamente.
• En este proceso solo intervienen 4 tipos de
  movimientos
• Traslaciones
• Reflexiones
• Rotaciones
• Deslizamientos

53
(No Transcript)
54
Grupo p1 Sin rotaciones

• Grupo p1, contiene sólo traslaciones en dos
  direcciones diferentes.

55
Grupo pgNo hay rotaciones

• Contiene deslizamientos en direcciones paralelas.

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Grupo cm sin rotaciones

• Grupo cm, contiene una reflexión sobre un eje
  vertical.
• Contiene un deslizamiento sobre un eje paralelo.

57
Grupo pm sin rotaciones

• Contiene una reflexión.

58
Grupo p2 rotacion de orden 2

• No contiene reflexiones ni deslizamientos

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Grupo p2mg Rotación de orden 2.

• Contiene un reflexión sobre un eje paralelo a la
  traslación.
• Contiene deslizamientos sobre líneas
  perpendiculres a los ejes de reflexión.

60
Grupo p2mm rotación de orden 2

• Contiene reflexiones sobre ejes perpendiculares

61
Grupo p2gg Rotación de orden 2.

• Contiene deslizamientos con ejes que se cruzan
  perpendicularmente

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Grupo c2mm Rotación de orden 2

• Contiene dos reflexiones sobre ejes
  perpendiculares.
• Contiene una rotación de orden dos

63
Grupo p3 Rotación de orden 3

• No contiene reflexiones

64
Grupo p3m1 Rotación de orden 3.

• Contiene reflexiones
• La celda básica se obtiene al unir 4 centros de
  rotación cercanos.
• Los ejes de reflexión están sobre la diagonal
  mayor de la celda básica.

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Grupo p31m Rotación de orden 3.

• Contiene reflexiones sobre tres direcciones
  distintas que se intersectan en los centros de
  rotación.
• Si se unen 4 centros
• De rotación cercanos se obtiene la celda básica
  que es un paralelogramo. En la diagonal menor del
  mismo hay un areflexión.

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Grupo p4 Rotación de orden 4

• No contiene reflexiones ni deslizamientos.

67
Grupo p4mm Rotación de orden 4

• Contiene reflexones sobre ejes perpendiculares
  que se cortan en el centro de la celda básica.

68
Grupo p4gm Rotación de orden 4

• Contiene centros de rotación de orden 4 y de
  orden 2.
• Contiene reflexiones con ejes que pasan por los
  centros de rotación de orden 2.

69
Grupo p6 rotación de orden 6

• No tiene reflexiones
• Posee centros de rotación de orden 3.

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Grupo p6mm Rotación de orden 6

• Posee reflexiones
• Posee centros de rotación de orden 2.

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Un método más interacativo

• Programa en Java Kali, Creado por Nina Armenta en
  1995.
• Kali

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Teselaciones
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El proceso de construcción
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Teselaciones regulares

• Se puede teselar el plano ( en forma periódica)
  con polígonos regulares del mismo tipo.
• Los únicos permitidos son el triángulo, el
  cuadrado y el hexágono ( teselaciones regulares)

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Teselaiones irregulares

• Se puede teselar el plano usando dos tipos de
  polígonos regulres.
• Sólo existen ocho posibilidades. Son las llamadas
  ( teselaciones irregulares)

76
(No Transcript)
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El Mundo maravilloso de M. Escher

• También es posible teselar el plano en forma
  artística con figuras que representan seres vivos.

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Las teselaciones pentagonales

• Se han descubierto 14 tipos de teselaciones
  pentagonales con pentágonos irregulares
• La Sra. Marjorie Rice descubrió cuatro de ellas.
• Ella no es un matemático profesional, sino, tan
  sólo, un ama de casa que hace unas colchas muy
  bonitas.

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Una teselación misteriosa Pentágonos de Durero
80
Fractal de Durero
81
Teselaciones no periódicas Diagramas de Penrose
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Universos de Penrose Un modelo matemático para
los cuasicrsitales.

• Cada Universo de penrose en no periódico.
• El número posible de arreglos es infinito no
  enumerable.
• La Teoría de grupos es insuficiente para entender
  este orden Para comprender su estructura se
  utiliza el Algebra de Lie.

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• Muchas gracias

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Algunas referencias

• https//webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico
• Mosaicos y teselaciones.
• http//webs.advance.com.ar/simetriadelespacio/capi
  tulo4.htm.
• Intriguing Tessellations
• Math Forum Tessellation Tutorials by Suzanne
  Alejandre.
• http//webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modul
  o1/3/carmelo.pdf