AKAR PERSAMAAN NON LINEAR

1
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR
Persamaan hingga derajat dua, masih mudah
diselesaikan dengan cara analitik. Contoh
Solusi
Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari.
Contoh
2
Maka timbulah solusi dengan metode numerik,
dengan pembagian metode sebagai berikut

• GRAFIS
• BISECTION
• REGULA FALSI
• SECANT
• NEWTON RHAPSON
• ITERASI FIXED POINT

3
1. GRAFIS

• Merupakan metode mencari akar dengan cara
  menggambar fungsi yang bersangkutan
• Contoh
• Y 2x2 3x -2

4
Jawab

• Dengan memasukkan harga x didapat nilai fungsi
  f(x)

5
2. BISECTION

• Metode ini melakukan pengamatan terhadap nilai
  f(x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai
  perbedaan tanda.
• Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2
  pada interval x yang mempunyai beda tanda
  tersebut.

6
F(x)
x1
x4
x5
x
x2
x3
7
Algoritma

1. Pilih x1 bawah dan x2 puncak taksiran untuk akar,
   sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh
   interval. Hal ini dapat diperiksa dengan
   memastikan
2. Taksiran akar x, ditentukan oleh

8

• Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian
  interval mana akar berbeda
• jika f(x1).f(x2) lt 0 akan berada pada
  bagian interval
• bawah, maka x2 xr , dan kembali
  kelangkah 2
• Jika f(x1).f(x2) gt 0 akan berada pada
  bagian
• interval atas , maka x1 xr , dan
  kembali kelangkah 2
• Jika f(x1).f(x2) 0, akar setara xr,
  perhitungan
• dihentikan, atau bisa juga

Dimana e adalah harga toleransi yang dibuat.
9
Contoh
Carilah akar persamaan dari
Penyelesaian
Hitung nilai
pada interval antara 2 titik untuk x1,
untuk x2
10
Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan
tanda dari fungsi antara x1 dan x2 akan
memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik
perpotongan antar sumbu x dan fungsi merupakan
akar-akar persamaan.
hitung nilai
, kemudian hitung fungsi
Langkah selanjutnya adalah membuat setengah
interval berikutnya untuk membuat interval yang
semakin kecil, dimana akar persamaan berada.
Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.
11
Tabel hasil perhitungan
12
3. Metode Regula Falsi.

• Kekurangan metode bisection adalah membagi dua
  selang diantara x1 dengan x2 menjadi dua bagian
  yang sama, besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan.
  Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol daripada
  f(x2), kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke
  x1 daripada ke x2.

13
(No Transcript)
14
Algoritma

• Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran
  akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh
  interval. Hal ini dapat diperiksa dengan
  f(x1) . f(x2) lt 0
• Taksir akar xr, ditentukan oleh
• Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar
  
• Jika , maka akar berada pada
  bagian interval bawah, maka , kembali
  ke langkah 2.
• Jika maka akar berada pada
  bagian interval atas, maka , kembali
  ke langkah 2.
• Jika , akar setara xr maka
  hentikan perhitungan.

15
Contoh
ditentukan
subtitusikan pada persamaan
maka nilai
16
Tabel hasil perhitungan
17
4. Metode Secant

• Metode ini memerlukan dua taksiran awal akan
  tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk
  berganti tanda diantara taksiran-taksiran, maka
  metode ini tidak digolongkan sebagai metode
  pengurung.
• Persamaan yang dipakai metode secant adalah

18
y
f(x1)
f(x2)
x1
x2
x3
x
19
Algoritma

• Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran
  akar.
• Taksir akar xn1, ditentukan oleh
• Perhitungan dihentikan jika f(x n1) 0 atau ?
  yang ditentukan

20
Contoh
Ditentukan taksiran awalnya adalah X1 1 X2 2
21
Tabel hasil perhitungan
22
5. Metode Newton Rhapson

• Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari
  akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan
  dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat
  dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis
  singgung tersebut memotong sumbu x biasanya
  memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai
  akar.

23
y
x2
x1
x
24
Algoritma

• Tentukan nilai x1 sebagai terkaan awal
• Buat taksiran untuk x1n dengan persamaan
• Perhitungan dihentikan jika f(x n1) 0 atau ?
  yang ditentukan

25
Contoh
Ditentukan taksiran awal x1 2
26
Tabel hasil perhitungan
27
6. Metode Iterasi Fixed Point

• Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara
  membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi
  implisit f(x)0 kemudian xg(x), iterasi yang
  digunakan adalah dalam bentuk persamaan xn1
  g(xn)

28
Algoritma

• Tentukan nilai taksiran awal xn
• Lakukan perhitungan taksiran akar dengan
  mempergunakan persamaan
• Xn1g(xn)
• Perhitungan dihentikan jika

29
Contoh
X2 - 3x 1 0 3x x2 1 X 1/3 (x2 1) e
0,001
Tabel Hasil Perhitungan
Ditentukan x0 2 X 1/3(221) 1,667 ?x1 x0?
1,667 2 0,333