La Transformada Z

1
La Transformada Z

• M.I. Ricardo Garibay Jiménez

2
8.1 DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE
FOURIER EN TIEMPO DISCRETO.

• Una generalización de la Transformada de Fourier
  es la transformada Z.
• Ventajas de la Transformada Z
• La Transformada de Fourier no converge para todas
  las secuencias
• La transformada Z tiene la ventaja de que, en
  problemas analíticos, el manejo de su notación,
  expresiones y álgebra es con frecuencia más
  conveniente
• El empleo de la transformada Z en señales
  discretas tiene su equivalente en la transformada
  de Laplace para señales continuas y cada una de
  ellas mantiene su relación correspondiente con la
  transformada de Fourier.
• El empleo de la transformada Z en señales
  discretas tiene su equivalente en la transformada
  de Laplace para señales continuas y cada una de
  ellas mantiene su relación correspondiente con la
  transformada de Fourier.

3
Transformada de Fourier
La transformada de la misma secuencia tambien se
define como
Segun la variable compleja continua z
La correspondencia entre una secuencia y su
transformada se denota como
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
La transformada de Fourier es simplemente con
La transformada de Fourier es la transformada Z
tomando
4
Si tomamos
La transformada evaluada en los puntos de dicha
circunferencia es la transformada de Fourier .
5
8.2 REGION DE CONVERGENCIA
La convergencia de la transformada Z depende
solamente de
entonces
Los valores sobre la circunferencia
definida como están dentro de la región de
convergencia.
La región en donde se cumple la desigualdad es la
región de convergencia.
La transformada Z es una función analítica en
todos los puntos de la región de convergencia de
aquí que la transformada Z y todas sus derivadas
con respecto a son funciones continuas en dicha
región.
6
8.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
La transformada Z posee propiedades que facilitan
la solución de ecuaciones en diferencias lineales
usando simplemente manipulaciones algebraicas.

• SUPERPOSICIÓN
• Se compone de las características de
• 1)Homogeneidad
• 2)Aditividad

7
si
la transformada Z es
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO) La
respuesta del sistema se define por
La transformada de la salida y(k) se define a su
vez como
8
Desarrollando
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
La representación en diagrama de bloques para la
propiedad de corrimiento a la derecha se muestra
abajo
9
A demostrar
C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
Para el siguiente sistema
Su salida se define como una suma
de convolución
Quedando
Factorizando
La transformada queda
Factorizando
10
D) PROPIEDAD DE SUMACIÓN
Sean las secuencias
y
si entre ellas es posible establecer la relación
para
queda
con
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
11
E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR
Sean las secuencias
y
Si entre ellas se establece la siguiente relación
entonces la transformada se
determina como sigue
para
12
F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN
Derivando
para
Multiplicando por -z ,
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
13
G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL
Es posible determinar el término inicial, ,
de una secuencia , a partir de la transformada
correspondiente.
Si
entonces
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
H) TEOREMA DEL VALOR FINAL
Para f(k) donde
sea analítica para
14
8.4 TRANSFORMADAS COMUNES
1) Impulso unitario (delta de Kronecker). Definien
do la secuencia impulso unitario para
, su transformada se determina de la siguiente
forma
2) Retraso
15
3) Escalón unitario
Definido por
La transformada es
para
4) Serie geométrica
Si se tiene una serie divergente y Si
se tiene una magnitud unitaria y Si se
tiene una serie convergente a cero y
Multiplicando y dividiendo por a
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
16
5) Rampa discreta unitaria
Multiplicando la ecuación anterior por y
considerando , se obtiene
Para una secuencia geométrica se tiene
Derivando con respecto a z
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
17
8.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS SISTEMAS
DISCRETOS LINEALES.

• Dicha representación emplea tres elementos
  básicos
• 1) Unidad de retraso.
• 2) Unidad multiplicadora.
• 3) Unidad de suma.
• UNIDAD DE RETRASO
• La relación característica para esta unidad es

Obtención de un retraso de dos unidades de tiempo
discreto
18
2) UNIDAD MULTIPLICADORA
La relación característica para esta unidad es
3) UNIDAD DE SUMA
La relación característica para esta unidad es
19
8.5 OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA
DISCRETO MEDIANTE TRANSFORMADA Z LA
ANTITRANSFORMADA Z.
8.5.1 MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES.
Considérese una función
Factorizando
Cuando todos los polos de en la ecuación son
diferentes
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
20
El cálculo de los coeficientes es como
sigue
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
La secuencia resulta
Con polos múltiples queda
La expansión de F(z), en este caso, tiene la
forma
21
TABLA 8.IIPARES DE TRANSFORMADAS Z PARA RAÍCES
MÚLTIPLES


para






8.6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS

El concepto de función de transferencia
la cual se define como la relación de la
transformada Z de la salida, , de un sistema
entre la transformada Z de su entrada,

Arreglar tamaño en texto y fórmulas
22
La expresión general aplicable a la función de
transferencia es
Algunos sistemas tipicos 1. Sistema en cascada
23
2. Sistema inverso
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
La convolución en este caso resulta
24
3. Sistema realimentado
8.7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
Un sistema discreto es estable cuando produce una
salida acotada al aplicársele una entrada acotada
Los sistemas discretos estables se caracterizan
porque todos sus polos se ubican en el plano
complejo z , dentro de un círculo centrado en el
origen de radio unitario
25
8.7.1 POLOS DE H(z) Y RESPUESTA TRANSITORIA
La localización de los polos de H(z) en el plano
z permite caracterizar efectivamente las
propiedades de la respuesta para un sistema
discreto lineal.
A.- Polo real en .
La respuesta característica es de la forma
Donde A y F son constantes obtenidas de la
expansión en fracciones parciales y
Cambiar dibujo
26
Casos
1- . Sistema inestable.La respuesta
a impulso es una oscilación creciente en
magnitud. 2- . Sistema
inestable.La respuesta es una oscilación parecida
a un senoide con magnitud constante. 3-.
Sistema estable. El resultado es una
oscilación parecida a una senoide decreciente en
magnitud.
Cambiar dibujo
27
8.7.2. POLOS DOMINANTES
Son los que tienen una influencia de mayor
importancia sobre la respuesta transitoria.Son
los polos que están más cerca del circulo
unitario. Ej p1 y p2.
8.8 RESPUESTA SENOIDAL PERMANENTE DE SISTEMAS
LINEALES (FILTROS DIGITALES)
Se asume que la entrada a un sistema es una señal
senoidal pura.
28
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
Si consideramos que todos los polos son
distintos
Se tiene
2.-
1.-
29
Por ser complejas
y
De ahi
Antitransformando
Finalmente
30
Suprime la frecuencia
Amplifica la frecuencia
Factor de angulo fase
8.8.1 PERIODICIDAD DE
Una característica particular en los sistemas
discretos, es que los factores de ganancia y
ángulo son periódicos en relación con la
frecuencia.
31
8.8.2 INTRODUCCIÓN A FILTROS DISCRETOS.
La característica de ganancia de un filtro paso
bajas ideal se muestra abajo
2.- Filtro pasa altas
32
3.- Filtro pasa banda
Arreglar tamaño en texto y fórmulas
Filtro paso bajas el sistema caracterizado por
la ecuación en diferencias y función de
transferencia
para que la magnitud sea unitaria
Así pues, la función de transferencia resulta
33
El ancho de banda de un filtro pasa bajas se
define como el rango de valores de frecuencia
dentro del cual se cumple
Arreglar tamaño en texto y fórmulas