PEMmaicol

1
CONJUNTOS NUMERICOS
2
introducción
Positivos
Cero
Enteros
Racionales
Negativos
Reales
Fracciones
Complejos
Irracionales
Imaginarios
3
Números reales

• Números naturales son aquellos que sirven para
  contar los elementos de un conjunto determinado.
  El conjunto de los números naturales se simboliza
  con la letra N.
• N1, 2, 3, 4, 5, 6, 7..
• Ejemplos
• 2, 6, 13, 17

4
5
6
1
2
3
4
Continua..

• Números enteros se compone de los números
  naturales (positivos) y negativos incluido el
  cero este conjunto se simboliza con la letra Z
• ZN u Ne
• Z.-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
  5, 6, 7..
• Ejemplos
• -2, 6, -13, 17

0
1
2
-4
3
-3
-2
-1
4
5
Continua..

• Números racionales se compone de los números
  enteros incluyendo a todos los números de la
  forma a b donde b ? 0. se simboliza con la
  letra Q. incluye fracciones que al convertirlos
  en decimales son finitos y periódicos.
• QZ u Fr
• Ejemplos
• 5 4 , - 7 8 , 2 3 4 , 25 , 1.25, 6 100 ,
  0.333333

- 3 2
-1
3 2
4
1
0
0.5
-2
6
Continua..

• Números irracionales son los que poseen
  infinitas cifras decimales no periódicas y no
  pueden se expresados como fracciones pero se
  pueden considerar como una aproximación de los
  números racionales. Se simbolizan con la letra
  I
• I 5 , 3 ..
• Ejemplos
• ??, 5 , 3 , ??

2
- 3
-1
0
1
-2
2
7
Continua..

• Números reales es el conjunto que agrupa a todos
  los conjuntos anteriores (naturales, enteros,
  racionales, irracionales), puede considerarse
  como un conjunto universal.
• RQ u I
• R ?? ?? ???
• Ejemplos
• 9 - 7 8 , 2 3 4 , 25 , 1.25, 7 , 0.333333, ??

2
- 3 2
-1
3 2
4
1
0
0.5
-2
8
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

• Propiedades de la Adición de números reales
• a) Propiedad de cerradura la suma de números
  reales es cerrada porque siempre que se suman
  dos o mas números reales, el resultado es un
  numero real.
• x, y ? R ? (xy) ? R
• 3 4 2 4 5 4

9
Continua..

• b) Propiedad Conmutativa la suma de números
  reales es conmutativa porque el orden de los
  sumandos no altera el resultado.
• 3 4 4 3
• c) Propiedad Asociativa la suma de números
  reales es asociativa, porque
• la forma en que estén agrupados los sumando no
  altera el resultado.
• (0.5 0.4) 0.8 0.4 (0.8 0.5)
• 0.9 0.8 0.4 1.3
• 1.7 1.7

x, y ? R ? x y y x
x, y, z ? R ? (x y) z (y z) x
10
Continua..

• d) Propiedad modulativa el elemento idéntico o
  neutro de la suma es el
• cero porque cualquier numero real sumado con
  cero es igual al
• mismo numero.
• 7 00 7 7
• e) Simétrico Aditivo el inverso aditivo de un
  numero es el mismo numero
• con signo negativo.
• 1 3 - 1 3 0

X ? R ? x 0 0 x x
? x ? R ? 1 - ??, ?? -?? 0
11
Continua..

• Propiedades de la Multiplicación de números
  reales
• a) Propiedad de cerradura la multiplicación de
  números reales es cerrada porque siempre que se
  multiplican dos o mas números reales, el
  resultado es un numero real.
• x, y ? R ? (xy) ? R
• - 3 4 2 5 - 3 10

12
Continua..

• b) Propiedad Conmutativa la multiplicación de
  números reales es conmutativa porque el orden
  de los factores no altera el resultado.
• (- 6) 7 7 (- 6)
• c) Propiedad Asociativa la multiplicación de
  números reales es asociativa, porque la forma en
  que estén agrupados los factores no altera el
  resultado.
• (5 4) 8 4 (8 5)
• 20 8 4 40
• 160 160

x, y ? R ? x y y x
x, y, z ? R ? (x y) z (y z) x
13
Continua..

• d) Propiedad Modulativa el elemento idéntico o
  neutro de la multiplicación es el uno porque
  cualquier numero real multiplicado con uno es
  igual al mismo numero.
• 3 4 4 3
• e) Simétrico Multiplicativo la suma de números
  reales es asociativa, porque la forma en que
  estén agrupados los factores no altera el
  producto.
• 8 1 8 8 8 1
• f) Propiedad Anulativa el elemento anulativo de
  la multiplicación es el cero porque cualquier
  numero real multiplicado con cero es igual al
  mismo cero.

X ? R ? x 1 1 x x
? x ? R ? 1 - 1 ?? , ?? 1 ?? 1
x ? R ? x 0 0 x 0
14
Continua..

• d) Propiedad Distributiva el producto de un
  factor por la suma o resta de dos o mas
  cantidades es igual al producto parcial por cada
  sumando y seguidamente la suma o resta de los
  productos parciales.

x, y, z ? R ? x (y z) xy xz
-9 73 -9 7 (-9)(3) -9 10
-63-27 -90-90
-9 7-3 -9 7 -(-9)(3) -9 4
-6327 -36-36
15
Continua..

• Propiedades de los cocientes de números reales
• a) Cancelación el cociente de factores iguales
  en el dividendo y divisor se anulan.
• b) Cocientes con el mismo divisor se copia el
  divisor (denominador) y se suman los dividendos
  (numerador).
• c) Cociente con diferente divisor se halla el
  común divisor (denominador), y se multiplica
  cada división (fracción) por una nueva fracción
  cuyo dividendo (numerador) y divisor
  (denominador) sean iguales de tal manera que
  surja una nueva fracción equivalente a la
  fracción que se esta amplificando. Y se opera
  usando la propiedad anterior.

???? ???? ?? ??
23 53 2 5
3 4 5 4 35 4 8 4
?? ?? ?? ?? ???? ??
?? ?? ?? ?? ???? ????
3 4 5 7 3 4 7 7 5 7 4 4 21 28 20
28 2120 28
16
Continua..

• d) Producto de cocientes se multiplican los
  dividendos (numerador) y se multiplican los
  divisores (denominador).
• e) Cociente de fracciones se multiplica el
  dividendo por el inverso del divisor.

?? ?? ?? ?? ???? ????
2 5 7 3 27 53 14 15
?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ????
2 5 9 7 2 5 7 9 14 45
17
Propiedades de los signos

• Adición y Sustracción
• Cantidades con signos iguales se suman.
• Cantidades con signos diferentes se restan
• Cantidad con signo negativo antepuesto

5 7 57 12 -5
-7 - 57 -12
- - -
Si y solo si a b son () Si y solo si a b son
()
7 -5 (7-5) 2 5
-7 - 7-5 -2
???? ?? ???????? ???? ??gt?? "a" es ()
- ???? ?? ???????? ???? ??gt?? "a" ???? (-)
- ?? -
- - - -
- 8 -8 - -8 8
a cambia de signo si y solo si se antepone un
signo ()
18
CONTINUA..

• Multiplicación y división
• Producto o cociente de cantidades con signos
  iguales es positivo
• Producto o cociente de cantidades con signos
  diferentes es negativo.

- -
12 4 48 -12 -4 48
Si y solo si a b tienen signos iguales
12 4 3 -12 -4 3
- -
- - - -
12 -4 -48 -12 4 -48
Si y solo si a b tienen signos diferentes
- - - -
12 -4 -3 -12 4 -3
19
Potenciación y radicación

• La potenciación es una operación que se integra
  de dos elementos base y exponente. Consiste en
  calcular el producto de varios factores iguales.
• Base es cualquier numero natural.
• Exponente es un numero natural que indica
  cuantas veces se repite la base como factor.

exponente
base
?? ?? ??
potencia
33333
3 5 243
5 veces
Notación exponencial
potencia
3 5 243
20
Continua

• Producto de Potencias de Igual Base
• se copia la base y se suman los exponentes.
• Potencia de un producto
• se multiplican las bases y se elevan al mismo
  exponente.
• Cociente de Potencias de Igual Base
• se copia la base y se restan los exponentes.

?? ?? ?? ?? ?? ????
4 2 4 3 4 23 4 5
?? ?? ?? ?? (????) ??
4 3 5 3 (45) 3 20 3
7 9 7 6 7 9-6 7 3
?? ?? ?? ?? ?? ??-??
21
Continua.

• Potencia de un cociente
• se dividen las bases y se elevan al mismo
  exponente.
• Potencia de una potencia
• se copia la base y se multiplican los
  exponentes.
• Potencia con exponente 1
• todo numero (base) elevado al exponente 1 es
  igual a

?? ?? ?? ?? ?? ?? ??
8 3 2 3 8 2 3 4 3
?? ?? ?? ?? ?? ?????? ?? ??????
5 2 3 5 23 5 6
?? 1 ??
9 1 9
22
Continua.

• Potencia con exponente negativo
• se copia inverso multiplicado de la base con
  exponente positivo.
• Potencia con exponente 0
• Todo numero real elevado al exponente cero es
  igual a 1.

?? -?? 1 ?? ??
5 -3 1 5 3
3 4 -2 4 3 2
?? ?? -?? ?? ?? ??
?? 0 1
15 0 1
23
Continua
Radicación Consiste en averiguar la base
(factor) cuando son conocidos el exponente y la
potencia. En forma simbólica esta operación se
define así En conclusión la radicación es la
operación inversa de la potenciación. Cuando
n2 (raíz cuadrada) no se escribe el
índice.
?? ?? ??? ?? ?? ??
Signo radical
índice
raíz
?? ?? ??
Cantidad Sub radical
36 6? 6 2 36
3 27 3
3 -8 -2? -2 3 -8
81 9
24
Continua

• Raíz de un Producto
• la raíz de un producto es igual al producto de
  las raíces de los factores.
• Raíz de un cociente
• la raíz de un cociente es igual a la raíz del
  dividendo (numerador) entre la raíz del divisor
  (denominador).
• Raíz de una potencia
• la raíz de una potencia es igual a la potencia de
  la raíz.

?? ???? ?? ?? ?? ??
49 4 9 236
?? ?? ?? ?? ?? ?? ??
64 9 64 9 8 3
?? ?? ?? ?? ?? ??
3 7 6 7 6 3 7 2 49
25
Continua

• Raíz de una Raíz
• la raíz de una raíz es igual a formar una nueva
  raíz con el producto de los índices de las
  raíces.
• Potencia de una raíz
• Se copia la cantidad sub-radical y se divide el
  exponente entre el índice del radical.

3 4096 232 4096 12 4096 2
?? ?? ?? ?? ?????? ?? ?????? ??
4 3 8 3 8 4 3 2 9
?? ?? ?? ?? ?? ??
26
Operaciones con números reales
Ejemplo 1 87- -60-3412 67
Ejemplo 2 5- - -38-10) (-8-6)
87- -82 67
5- -(-5) -14
878267
5- 5-14
236
5- -9
59
14
27
CONTINUA.
Ejemplo 4 -8 -9 - -5 7
Ejemplo 3 4 - - 16 2 - 3 5 - 7 5
-8-957
4 - -42 - 3 5 - 7 5
-5
4 - -2 - 3 5 - 7 5
4 2- 3 5 - 7 5
22- 3 5 - 7 5
22- 10 5
4-2
2
28
Operaciones combinadas con números reales
Ejemplo 1 5(-6-2) 10
Ejemplo 2 7(52)
Ejemplo 3 8 5-8(821)
710
8 5-8(41)
5(-8) 10
17
8 5-8(5)
8 5-40
-40 10
8 -35
-4
-280
29
CONTINUA.
Ejemplo 4 5(25- 16 ) 64 (-36-2) 5 2
15 2
5(25-4) 64 -38 20 2
-780 10
- 780 10
521 8-38 10
-78
26 -30 10
26 -30 10
30
NUMEROS COMPLEJOS

• Números imaginarios A raíz que no existen las
  raíces pares de cantidades negativas como -4 ,
  -81 etc. Surge un nuevo tipo de numero, -1
  este numero es considerado la unidad del conjunto
  de los números imaginarios. El cual se representa
  con la letra i.
• ?? -1
• Se le llama numero imaginario puro al producto
  indicando de un numero real por la unidad
  imaginaria. Se representa con la letra i
• Ejemplo

5??
Unidad imaginaria
Numero real
31
CONTINUA..

• Potencias de la unidad imaginaria
• -1 1 -1
• -1 2 -1
• -1 3 -1 2 -1 1 -1 -1 -
  -1
• -1 4 -1 2 -1 2 -1 -1 1

?? 1 -1
?? 2 -1
?? 3 - -1
?? 4 1
32
Continua

• Simplificación de números imaginarios
• Toda raíz imaginaria puede reducirse a la forma
  de una cantidad real multiplicada por la unidad
  imaginaria -1 . De tal manera que se expresa a
  la forma bi//

Ejemplo 1
Ejemplo 3
-4 4(-1) 4 -1 4??
-48 48(-1) 163(-1)
16 3 -1 4 3 -1
4 3 ??
Ejemplo 2
-2 4(-1) 2 -1
2 ??
33
Operaciones con números imaginarios

• Suma y resta

Ejemplo 1
Ejemplo 2
-4 -9 4 ?? 9 ?? 4??9??
13??
-2 - -9 2 ??- 9 ?? 2
??-3?? 3- 2 ??
Ejemplo 3
Ejemplo 4
-48 -64 - -121 163 ?? 64
??- 121 ?? 4 3 ??8??-11??
4 3 8-11 ?? 4 3 -3 ??
2 -36 - -25 -12 2 36 ??- 25 ??
43 ?? 26 ??-5??2 3 ??
12-52 3 ?? 72 3 ??
34
Continua.

• multiplicación

Ejemplo 1
Ejemplo 2
-16 -9 4 ?? 9 ?? 4??9??
36 ?? 2 36 -1 -36
-12 -27 -8 -50 12 ?? 27
?? 8 ?? 50 ?? 43 ?? 93 ??
42 ?? 252 ?? 2 3 ??3 3 ??2 2
??5 2 ?? 6 3 2 ?? 2 10 2
2 ?? 2 63 ?? 2 102 ?? 2
360 ?? 4 360(1) 360
35
Continua.

• división

Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
-9 -36 9 ?? 36 ??
3 6
-90 -5 90 ?? 5 ??
910 5 3 10 5 3
10 5 3 2
10 -36 5 -4 10 36 ?? 5 4 ??
106 52 60 10 6
36
Continua

• Números complejos Es aquel que tiene una parte
  real y una parte imaginaria el cual se expresa en
  la forma
• ??????
• Donde a y b son números reales e i es la unidad
  de la parte imaginaria por tanto a es la parte
  real del complejo y bi la parte imaginaria del
  complejo. Que es un numero imaginario puro, un
  numero complejo se representa con la letra z.

??35??
Parte imaginaria
Parte real
CR u i C ?? ?? ???
37
Continua

• Modulo
• El modulo de un numero complejo ?????? se define
  como ?? ???? ?? 2 ?? 2 , el modulo de
  un numero complejo es un valor real, el cual se
  puede definir como la distancia del origen a un
  punto.
• Ejemplo
• 3 4?? 3 2 4 2
• 916
• 25
• 5

4??
??5
3??
2??
??
1
2
3
38
Continua

• Conjugado
• El conjugado de un numero complejo ???????? es
  ?? ??-????, se representa como ?? el
  conjugado de un numero complejo representa a un
  punto simétrico respecto al eje de las abscisas.
• Ejemplo
• ??53??
• ?? 5-3??

53??
5-3??
39
Continua

• Opuesto
• El opuesto de un numero complejo ???????? es
  ?? -??-????, este representa un punto simétrico
  respecto al origen.
• Ejemplo
• ??53??
• ?? -5-3??

53??
-5-3??