Constraints and Logic Programming

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Constraints and Logic Programming

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Why should one move towards Constraint Programming (CP), rather ... CLP(B) mantem as restri es numa forma resolvida, obtida atrav s da unifica o booleana. ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Constraints and Logic Programming

1
Constraints and Logic Programming

All problems involving finite domains (including
booleans, and sets) may be solved, in principle,
with logic programming (LP) alone.
(after all, finite domains are a subset of the
Herbrand Universe constants).
Why should one move towards Constraint
Programming (CP), rather than staying within LP?
Greater Efficiency
Most combinatorial problems are more easily
solved by constraint propagation than simple
generate and test implememted in LP.
Greater Expressiveness
Specific constraints are harder to express in LP
(e.g. conditional constraints, global
constraints).

2
Constraints and Logic Programming

If propagation of constraints is so important for
solving constraint (satisfaction / optimisation)
problems why not to abandon LP altogether and
move towards Constraint Logic Programming (CLP).
Modelling - Declarativeness
LP features such as unification (allowing
flexible input/output parameters) and
backtracking provide a declarative style of
programming where constraints can be very easily
expressed.
Natural extension
The semantics of LP already assume a special type
of constraint processing equality of Herbrand
terms.
All that CLP requires is an extension of this
constraint solving capabilities to other useful
domains.

3
Operational Semantics of CLP

The operational semantics of CLP (LP is a special
case) can be described as a transition system on
states.
The state of a constraint solving system can be
abstracted by a tuple
ltG, C, S gt
where
G is a set of constraints (goals) to solve
C is the set of active constraints
S is a set of passive constraints
Sets C, S are considered the Constraint Store.
A derivation is just a sequence of transitions.
A state that cannot be rewritten is a final
state.
An executor of CLP (LP) aims at finding
successful final states of derivations starting
with a query.

4
Operational Semantics of CLP

A derivation is failed if it is finite and its
final state is fail.
A derivation is successful if it is finite and
processes all the constraints, i.e. it ends in a
state with form
ltØ, C, S gt
The state transitions are the following
S(elect) Select a goal (constraint)
It is assumed that
A computation rule selects some goal g, among
those still to be considered.
This goal requires some constraint c to be solved
and/or further goals, G, to be considered

5
Operational Semantics of CLP

The other transition rules require the existence
of two functions, infer(C,S) and consistent(C),
adequate to the domains that are considered.
I(nfer) Process a constraint, inferring its
consequences
C(heck) Check teh consistency of the Store

6
Operational Semantics of CLP

In Logic Programming
Handling a goal g is simply checking whether
there is a clause h ? B whose head h matches the
goal. In this case, the equality constraint
between Herbrand terms gh is added to the
passive store.
Function infer(C,S) performs unification of the
terms included in g and h, after applying all
substitutions included in C
function infer(C, gh)
if unify(g?C,h?C, C) then infer(success, C)
else infer (fail,_)
end function
Checking consistency is simply checking whether
the previous unification has returned success or
failure (in practice the two functions are of
course merged).

7
Operational Semantics of CLP

For example, assuming that
C X / f(Z), Y / g(Z,W) a solved form
G includes goal p(Z,W)
there is a clause p(a,b) - B.
then the following transitions take place, when
goal p(Z,W) is called
lt G , X/f(Z), Y/g(Z,W), gt
?s goal selection
lt G\g?B, X/f(Z), Y/g(Z,W), p(Z,W)
p(a,b) gt
?i,c unification
lt G\g?B, X/f(a), Y/g(a,b), Z/a, W/b, gt

8
Operational Semantics of CLP

In Constraint Logic Programming
Handling a goal g is as before. Handling a
constraint in a certain domain, usually built-in,
simply places the constraint in set S.
.
Function infer(C,S) propagates the constraint to
the active store, by methods that depend on the
constraint system used. Tipically,
It attempts to reduce the values in the domains
of the variables or
obtain a new solved form (like in unification)
Checking consistency also depends on the
constraint system.
It checks whether a domain has become empty or
It was not possible to obtain a solved form.

9
Operational Semantics of CLP

A positive example
Assuming that variables A and B can take values
in 1..3, then the constraint store may be
represented as
C,S A in 1..3, B in 1..3,
Rule S If the constraint selected by rule S is A
gt B, then the store becomes
C,S A in 1..3, B in 1..3, A gt B
Rule I The Infer rule propagates this constraint
to the active store, which becomes
C,S A in 2..3, B in 1..2, A gt B,
Rule C The system does not find any inconsitency
in the active store, so the system does not
change..

10
Operational Semantics of CLP

A negative example
Assuming that variables A and B can take,
respectively values in the sets 1,3,5 and
2,4,6. The constraint store may be represented
as
C,S A in 1,3,5 B in 2,4,6,
Rule S If the constraint selected by rule S is A
B, the store becomes
C,S A in 1,3,5 B in 2,4,6 , A B
Rule I The rule propagates this constraint to
the active store. Since no values are common to A
and B, their domains become empty
C,S A in , B in ,
Rule C This rule finds the empty domains and
makes the transition to fail (signaling the
system to backtrack in order to find alternative
successful derivations).

11
(C)LP solutions

In LP and CLP, solutions are obtained, by
inspecting the constraint store of the final
state of a successful derivation.
In systems that maintain a solved form, (like LP,
but also constraint systems CLP(B) for booleans,
and CLP(Q), for rationals), solutions are
obtained by projection of the store to the
relevant variables.
For example if the initial goal was p(X,Y) and
the final store is
X/f(Z,a), Y/g(a,b), W/c
then the solution is the projection to variables
X and Y
X/f(Z,a), Y/g(a,b), W/c
In systems where a solved form is not
maintained, solutions require some form of
enumeration. For example, from
C X in 2..3, Y in 1..2, X gt Y,
the solutions ltX2Y1gt, ltX3Y1gt and
ltX3Y1gt, are obtained by enumeration.

12
Restrições Booleanas

O domínio dos Booleanos (ou variáveis 0/1) tem
especial aplicação em aplicações
Envolvendo circuitos digitais
Exemplo Circuito semi-somador
Em problemas envolvendo escolhas binárias
Exemplo Rainhas
Em problemas que envolvam conjuntos

13
Restrições Booleanas

Nas restrições booleanas (de igualdade) podem ser
utilizadas os habituais operadores (not, and,
or, nand, nor, xor, ...).
Modelo do semi-somador
C and(A,B)
S xor(A,B)

14
Restrições Booleanas

As restrições (correspondentes às variáveis
Booleanas) podem ser igualmente expressas com
esses operadores
Modelo das 4-rainhas
or(Q1, Q2, Q3, Q4) Linha 1
and(Q1,Q2) 0 Linha 1
....
and(Q1, Q6) 0 Diagonal

15
Restrições Booleanas

A satisfação de restrições booleanas pode ser
abordada de várias formas diferentes
Simbolicamente
Unificação booleana
SAT
Colocação de todas as restrições na forma clausal
Resolução construtiva (retrocesso) ou reparativa
(pesquisa local)
Domínios finitos
O domínio 0/1 é um domínio finito com 2 valores
Resolução comum aos domínios finitos

16
Restrições Booleanas

Para verificar a satisfação de restrições
booleanas de uma forma simbólica é conveniente
converter todas as restrições de forma a usar
apenas,
os operadores
(ou-exclusivo) e (conjunção),
constantes booleanas
0 e 1 ( e outras constantes, dependentes do
domínio)
variáveis
denotadas por letras maiúsculas
Isto é sempre possível, já que o conjunto 0, 1,
, é completo.

17
Restrições Booleanas

Com efeito, dados os termos arbitrários a e b,
todos os operadores e constantes podem ser
expressos através destes operadores
a ? b a b
a ? b a b a b
? a 1 a
a ? b 1 a a b
a ? b 1 a b
Termos arbitrários serão denotados por minúsculas

18
Restrições Booleanas

Mais formalmente, o tuplo lt A, 0, 1, , gt, em
que A é um qualquer domínio (contendo os
elementos 0 e 1), constitui um anel booleano se
se verificarem as seguintes propriedades
Associatividade
a(bc) (ab)c a(bc) (ab)c
Comutatividade
a b b a ab ba
Distribuição
a(bc) (ab)(ac) a(bc) abac
Elemento Neutro
a0 a a1 a
Exclusividade e Idempotência
aa 0 aa a
Elemento Absorvente
a0 0

19
Restrições Booleanas

As restrições booleanas que consideraremos
resumem-se à igualdade, já que todas as outras se
podem exprimir em função da igualdade.
Por exemplo, dada a equivalência
a ? b ? a ? b a ? a ? b b
a restrição de inclusão de conjuntos acima pode
ser reescrita em termos de igualdade como
a b ab b
? a b b ab b b
? a ab 0
? ab a

20
Restrições Booleanas

Conjuntos
A constante 1 corresponde ao conjunto U
(Universal)
A constante 0 corresponde ao conjunto Ø (Vazio)
O operador corresponde à União Exclusiva
O operador corresponde à Intersecção
De notar que no caso de conjuntos, uma vez
definido os elementos que contém o conjunto
universal, para além das constantes 0 e 1, o
domínio A contém todos os subconjuntos de U.

21
Restrições Booleanas

Circuitos digitais
A constante 1 corresponde ao H
A constante 0 corresponde ao L
O operador corresponde ao XOR
O operador corresponde ao AND

E A B AB
F 1 BC
G CD
H 1 EF
I 1 FG

22
Unificação Booleana

A implementação de CLP(B) mantem as restrições
numa forma resolvida, obtida através da
unificação booleana.
Uma restrição booleana tem a forma t1 t2 (em
que os dois termos Booleanos, t1 e t2 são
formados exclusivamente a partir dos operadores
e .
A restrição booleana t1 t2 pode ser satisfeita
sse existir um unificador booleano para os dois
termos t1 e t2.
Um unificador booleano é uma substituição de
variáveis por termos booleanos que garante que os
dois termos tomam o mesmo valor booleano.
Os unificadores booleanos serão designados
através de letras gregas.

23
Unificação Booleana

Exemplo Os termos t11A e t2 AB podem ser
unificados com o unificador
? A/1, B/0
Com efeito, denotando por t?? (ou simplesmente
t?) a aplicação da substituição ? ao termo t,
temos
t1?? (1A)?A/1, B/0 1 1 0
t2?? (AB)?A/1, B/0 1 0 0
o que garante a satisfação da restrição de
igualdade t1 t2.

24
Unificação Booleana

Em geral, dados dois termos Booleanos, t1 e t2,
pode haver mais do que um unificador mais geral.
Exemplo A unificação dos termos t1 1 AB e
t2 C D pode ser obtida por qualquer um dos
seguintes unificadores mais gerais
?1 C / 1 AB D
?2 D / 1 AB C
?3 A / 1 C D, B / 1
?4 A / 1, B / 1 C D
Com efeito,
t1? ?1 (1AB)?C/1ABD 1AB
t2? ?1 (CD)?C/1ABD(1ABD)D 1AB
e
t1? ?2 (1AB)?D/1ABC 1AB
t2? ?2 (CD)?D/1ABC C(1ABC) 1AB

25
Unificação Booleana

Existem outros unificadores (menos gerais) que
podem ser obtidos através de instâncias dos
anteriores, isto é, da composição de unificadores
mais gerais com outras substituições.
Por exemplo, a substituição ? obtida pela
composição de ?1 com a substituição A/0
? C/1ABD o A / 0
C/1D, A/0
ainda é um unificador dos termos t11AB e
t2CD
t1 ? ? (1AB) ? C/1D, A/0 10B 1
t2 ? ? (CD) ? C/1D, A/0 (1DD) 1

26
Algoritmo de Unificação Booleana

Tendo em atenção que a restrição t1 t2 é
equivalente a t1t20, a unificação dos termos t1
e t2 equivale a anular o termo t1t2.
As condições em que um termo t se pode anular,
podem ser analisadas através dos pontos
seguintes.
O anulamento de um termo constante t é
trivialmente verificável
se t 0 o termo já é nulo
se t 1 o termo não é anulável.
Dada a propriedade distributiva, um termo t, não
constante, pode sempre ser reescrito na forma
aUb (em que U é uma qualquer das variáveis que
ocorrem em t) pondo U em evidência.

27
Algoritmo de Unificação Booleana

3. Um termo t aU b só se pode anular, se
tivermos ou a 1 ou b 0 (na situação
contrária, em que fosse a 0 e b 1, teríamos
t 1 ? 0, independentemente do valor de U).
4. Essa condição (a 1 ou b 0) é garantida se
e só se anular o termo (1 a)b.
5. Uma vez garantida esta condição, constata-se
que
se a 0 (e b 0), então a variável U pode tomar
um valor arbitrário (pois 0 0U 0)
se a 1, então a variável U tem de tomar o valor
b (pois neste caso temos 0 1U b)

28
Algoritmo de Unificação Booleana

A atribuição de valores a U nestes termos pode
ser implementada com o recurso a uma nova
variável booleana, (isto é, que não ocorra em t).
Chamando _U a essa variável a condição anterior é
equivalente à substituição
U (1a)_U b
Com efeito,
se a 0 (e b 0 ) temos U _U, ou seja U pode
tomar um valor arbitrário, já que a variável _U,
sendo uma variável nova, não está associada a
quaisquer restrições
Se a 1 temos U (11)_U b, ou seja U b,
como pretendido.

29
Algoritmo de Unificação Booleana

Estas considerações podem ser materializadas no
predicado unif_bool, especificado abaixo.
O predicado recebe os termos t1 e t2 a unificar,
e sucede se o predicado anula suceder, retornando
a substituição ? retornada por este predicado.
predicado unif_bool(in t1, t2 out ?)
t ? t1 t2
unif_bool ? anula(t,?)
fim predicado.
Passemos agora à implementação do predicado anula.

30
Algoritmo de Unificação Booleana

predicado anula (in t out ?)
caso t 0 anula Verdade, ?
caso t 1 anula Falso
caso contrário
Au B ? t
s ? (1A)B
se anula(s,s) então
anula ? Verdade
? ? U/(1A)_UB o s
senão
anula Falso
fim se
fim caso
fim predicado.

31
Algoritmo de Unificação Booleana

? ? U/(1A)_UB o s
De notar que a substituição ? retornada pelo
predicado anula é obtida pela composição das
substituições U/(1A)UB e s obtida na chamada
recursiva do predicado (se este suceder).
Exemplo Satisfazer a restrição X XZ YZ 1
Unifica XXZ e YZ1
anula XXZYZ1
(1Z)XYZ1 AxXBx
anula (1(1Z))(YZ1) (1Ax)Bx
Z(YZ1)
ZYZ AyXBy
anula (1Z)Z (1Ay)By
0

32
Algoritmo de Unificação Booleana

Unifica XXZ e YZ1
anula XXZYZ1 (1Z)XYZ1
anula (1(1Z))(YZ1)ZYZ (1Ax)Bx
anula (1Z)Z 0 (1Ay)By
sz
sy Y/(1Ay)_YBy o sz
Y/(1Z) _YZ o
Y/(1Z) _YZ
sx X/(1Ax)_YBx o sy
X/(11Z)_X YZ1 o Y/(1Z)_YZ
X/ Z_X YZ1 o Y/(1Z)_YZ
X/ Z_X ((1Z)_YZ)Z1, Y/(1Z)_YZ
X/ Z_X Z1, Y/(1Z)_YZ
? X/ Z_X Z1, Y/(1Z)_YZ

33
Restrições Booleanas

Desta forma a restrição XXZ YZ1 é
satisfazível, já que a unificação dos termos
XXZ e YZ1 sucede retornando o unificador
booleano mais geral
? X/Z_X Z1, Y/(1Z)_YZ
Podemos confirmar este resultado, verificando que
(XXZ)? ? (Z_XZ1)(Z_XZ1)Z
(Z_XZ1)Z_X
Z1
e que
(YZ1)? ? ((1Z)_YZ)Z1)
Z1

34
Restrições Booleanas

? X/Z_X Z1, Y/(1Z)_YZ
Podemos pois concluir que a restrição X XZ
YZ 1 pode ser satisfeita independentemente do
valor da variável Z, dado que o unificador mais
geral ? não a menciona)
Numa análise mais pormenorizada
se Z0 então X 1 e Y _Y (i.e. Y pode tomar
qualquer valor)
se Z1 então X _X e Y 1 (i.e. X pode tomar
qualquer valor)
O unificador ? tem pois como instâncias fechadas
(ground), os unificadores
X/1, Y/0, Z/0,
X/1, Y/1, Z/0,
X/0, Y/1, Z/1,
X/1, Y/1, Z/1,

35
Aplicações

Um domínio de eleição para a utilização de
restrições booleanas é o domínio dos circuitos
digitais.
Exemplo
Modelar o circuito abaixo através de um conjunto
de restrições booleanas
Verificar em que condições a saída toma o valor
1.

R1 C 1 AB R2 D 1 AC R3 E 1
BC R4 F 1 DE
36
Aplicações

1. Restrições que modelam o circuito
R1 C 1 AB R2 D 1 AC
R3 E 1 BC R4 F 1 DE
Resolução das Restrições
R1 Resolvendo R1 obtemos a substituição ?1
C 1 AB ?1 C / 1 AB
R2 Aplicando ?1 temos
R2 R2 ? ?1 D (1AC)?C/1AB
D (1A(1AB))
D 1 A AB
Resolvendo esta restrição obtemos a substituição
?2 D / 1 A AB

37
Aplicações

Compondo ?2 com ?1 obtemos
?2 ?1 o ?2
C/1AB o D/1AAB
C/1AB, D/1AAB
R3 Aplicando ?2 temos
R3 R3 ? ?2 E (1BC)? D/1AAB,
C/1AB
E 1B(1AB)
E 1B(1AB)
Resolvendo R3 obtemos a substituição
?3 E/1BAB
Compondo ?3 com ?2 obtemos
?3 ?2 o ?3
E/1BAB o D/1AAB o C/1AB
E/1BAB, D/1AAB, C/1AB

38
Aplicações

R4 Aplicando ?3 temos
R4 R4? ?3
F (1DE)? E/1BAB, D/1AAB,
C/1AB
F 1(1AAB)(1BAB)
F 11BABAABABABABAB
F A B
Resolvendo R4 obtemos a substituição
?4 F/AB
Combinando ?4 com ?3 obtemos
?4 ?3 o ?4
E/1BAB, D/1AAB, C/1ABoF/AB
E/1BAB, D/1AAB, C/1AB, F/AB
Interpretando ?4 concluímos que o circuito com 4
portas nand implementa um ou-exclusivo, já que F
/ A B.

39
Aplicações

2. Que entradas impõe a saída igual a 1
Para representar esta situação acrescenta-se a
restrição R5 F 1.
R5 Aplicando ?4 temos
R5 R5 ? ?4
(F 1)? E/1BAB, D/1AAB, C/1AB,
F/AB
AB 1
Resolvendo R5 obtem-se a substituição ?5
A/1B. Compondo esta substituição ?5 com ?4
obtem-se
?5 ?4 o ?5
E/1BAB, D/1AAB, C/1AB,
F/ABoA/1B
E/1B, D/B, C/1, F/1, A/1B
De ?5, e em particular do par A/1B, conclui-se
que para o circuito ter uma saída 1, as suas
entradas devem ser complementares, i.e. ou A0 e
B1 ou A0 e B1

40
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Uma vez carregado o SICStus Prolog o módulo de
Restrições Booleanas, através da directiva
- use_module(library(clpb)).
As restrições Booleanas podem ser verificadas
através do predicado sat(E) , em que a igualdade
é representada por e os operadores e
através de e , respectivamente.
Exemplos
1. ?- sat(ABF).
sat(ABF)?
A restrição ABF é satisfazível, com a
substituição A/BF

41
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

2. ?- sat(AB1CD).
sat(A\CDB)?
A restrição AB1CD é satisfazível, com
substituição A/1CDB
3. ?- sat(AB1CD), sat(CDB).
sat(BCD),
sat(A\CDCD) ?
As restrições AB1CD e BCD são satisfeitas
com a substituição A/1CDCD, B/CD
Nota Atenção à notação das respostas.
A Exp corresponde a A / Exp
A\ Exp corresponde a A / 1 Exp

42
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Um exemplo mais completo, relativo ao circuito
anterior
- use_module(library(clpb)).
nand_gate(X,Y,Z)-
sat(XY 1Z).
circuit(A,B,C,D,E,F)-
nand_gate(A,B,C),
nand_gate(A,C,D),
nand_gate(B,C,E),
nand_gate(D,E,F).

43
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Alguma interacção com o sistema
?- circuit(A,B,C,D,E,1).
C 1,
E A,
sat(B\A),
sat(D\A) ?
Comparando-se esta resposta com ?5 anterior
?5 E/1B, D/B, C/1, F/1, A/1B
constata-se que são ambas variantes do
unificador mais geral.

44
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Outra interacção
?- circuit(A,B,C,D,E,F).
sat(C_AFF_A),
sat(A\_AF_BFF_A),
sat(B\_AF_BF_A),
sat(D\_BF),
sat(E\_BFF) ?
A comparação com ?4 anterior é um pouco menos
óbvia ...
?4 E/1BAB, D/1AAB, C/1AB, F/AB
1AB 1 (1_AF_BFF_A) (1_AF_BF_A)
1((1_AF_BF_A)F)(1_AF_BF_A)
1(1_AF_BF_A)(1_AF_BF_A)F
1 1_AF_BF_A F_AF_BF_AF
F_A_AF
C

45
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Padrões de Teste de Avarias (Stuck-at-0/1) num
semi-somador
Objectivo Obter uma saída diferente entre
o circuito correcto e
o circuito com falhas
Definir um predicado tp/2 que dado um conjunto de
falhas F indique as entradas que detectam essas
falhas
tp(F, I1, I2)

46
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Primeiro, convem definir o comportamento de cada
gate (sem falhas) por intermédio das
correspondentes restrições booleanas.
Uma gate sem falhas é representada por 3
argumentos
1. Tipo da gate Número de identificação da gate
no circuito
2. Lista de
3. Saída
gate(or, I1,I2,Z)-
sat(I1I2 Z).
gate(nor, I1,I2,Z)-
sat(I1I2 \ Z).
gate(xor, I1,I2,Z)-
sat(I1I2 Z).
gate(and, I1,I2,Z)-
sat(I1I2 Z).
gate(nand,I1,I2,Z)-
sat(I1I2 \ Z).
gate(not,I1,Z)-
sat(I1 \ Z).

47
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Em segundo lugar, é necessário especificar o
comportamento de uma gate, incluindo o caso em
que ela esteja avariada. Uma gate é representada
por 5 argumentos
1. Número de identificação da gate no circuito
2. Lista de falhas no circuito. Cada falha é
representada por um par N/B em que N é o
identificador da gate e B o tipo de falha
(stuck-at-0 ou stuck-at-1).
3. Tipo da gate
4. Lista de entradas da gate
5. Saída da gate
gate(N,F,_,_,0)- a saída é 0, se
member(N/0, F), !. a gate está stuck-at-0
gate(N,F,_,_,1)- a saída é 1,
se
member(N/1, F), !. a gate está stuck-at-1
gate(_,_,T,I,S)- caso contrário, a gate
gate(T,I,S). tem comportamento
normal

48
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Em terceiro lugar, há que definir o que é um
circuito Semi-somador em termos das suas
componentes, que podem naturalmente estar
avariadas.
semi_somador(F, I1,I2,S,C)- F é o
conjunto
gate(1, F, and, I1,I2, C), de falhas
gate(2, F, xor, I1,I2, S).
O predicado member/2 é o habitual.
member(H,H_).
member(H,_T)-
member(H,T).

49
Restrições Booleanas no SICStus Prolog

Finalmente, há que comparar um circuito com
falhas F e um circuito sem falhas, de forma a que
uma das saídas, pelo menos, seja diferente.
tp(F, I1, I2)-
semi_somador(,I1, I2, S1,C1),
semi_somador(F, I1, I2, S2,C2),
gate(xor, S1, S2, S),
gate(xor, C1, C2, C),
gate(or,S,C,1).

50
Restrições Booleanas no SICStus Prolog