Analisa Numerik

1
Analisa Numerik

• Sistem Persamaan Non-Linear 2

2
Secant

• Algoritma 3.4 Secant
• f(x), x-1 a, x0 b
• for n 0, 1, 2, ... until satisfied do
• xn1 f(xn)xn-1 f(xn-1)xn / f(xn)
  f(xn-1)
• end for
• Perhatikan f(xn) f(xn-1) dpt. 0 ? round off
  error
• Ubah penulisan xn1 f(xn)xn-1 f(xn-1)xn /
  f(xn) f(xn-1) menjadi

Metoda Newton, cukup 1 ttk. x0
3
Iterasi Titik Tetap

• Iterasi titik tetap (fixed-point iteration)
• Cari
• Cara f(x) 0 ? x g(x)
• Pembentukan x g(x)
• Cari interval I a, b di mana utk. setiap x ?
  I, g(x) terdefinisi dan g(x) ? I.
• Cari g(x) yg. kontinu pada I a, b.
• g(x) harus differensiabel pada I, dan ada K lt 1
  yg. memenuhi g(x) K utk. semua x ? I.

4
Contoh
5
Contoh

• Contoh
• f(x) x 2 sin x 0 ? x 2 sin x
• Jd. g(x) 2 sin x.
• Ada akar antara ?/3 dan 2?/3
• Jk. ?/3 x 2?/3, mk. v3 g(x) 2
• Jk. ?/3 x v3 dan 2 b 2?/3, mk. syarat 1
  dan 2 dipenuhi.
• g(x) 2 cos x, turun dari 1 ke 1 pada saat
  naik dari ?/3 ke 2?/3. Jd. syarat 3 dipenuhi.
• Jd. iterasi konvergen pada I ?/3, 2?/3 jk. x0
  ? (?/3, 2?/3)

6
Newton

• dimana adalah vektor berukuran N (?
  RN).
• Algoritma 5.3
• Diberikan
• taksiran harga
• For m 0, 1, 2, ... until satisfied do
• end do

7
Newton

• Perhatikan
• ? SPL
• Algoritma 5.31
• Diberikan , taksiran awal
• For m 0, 1, 2, ... until satisfied do
• Dekomposisi
• Cari
• end do
• Contoh

8
Kelemahan Metoda Newton

• Kelemahan Metoda Newton
• Taksiran awal dapat buruk.
• Mendapatkan yang benar.
• Metoda Damped Newton
• Tolak jk. residu (kesalahan) naik
• ( )
• Cari
  dimana residunya lebih kecil dari

9
Damped Newton

• Algoritma
• Diberikan , taksiran awal
• For M 0, 1, 2, ... until satisfied do
• end do
• Dlm. implementasi
• jk. i tdk. ada then error exit
• di mana jmax diberikan oleh user, misal jmax
  ?