Numeriska berkningar i Naturvetenskap och Teknik

1
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik

• Solving equations

2
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Discretization
3
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Error propagation
4
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Discretization and error propagation
5
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
An example using graphs
6
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
A numerical exemple gtgt bisection method
Sign change
Half of the interval...
again...
and again...
7
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Bisection
8
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Bisection method A clear limitation of the
method is that the new approximation does not
take into account the value of the function for
the latest x-value it was calculated
at. compare which gives So, we have
stepped two times but are hardly any closer to
the solution than we were two steps earlier(the
sign has changed though) How can we use the
knowledge we have of the value of the function in
order to guess a new better value?
9
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Secant method
Sekantens ekvation
Root
x2, approximation
Iteration formula!
10
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
The secant method
Code example for the secant method in the diff.
equation section
11
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Newton-Raphsons method
Let the step between xn and xn-1 tend to zero...
or the eq. of the tangent
12
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Iteration principle
1-point method
2-point method
13
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Our exemple once more
Solve for the root
i.e.
is a possibility. Are there others?
yes, infinitely many!
14
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
15
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
The mean value theorem
but
i.e.
or
16
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
The relative error between two iterations
If G(?) is less than 1 the iteration will
converge If xn och xn1 are close to a then ? is
also an approximation for a, i.e. if G(?)lt1
around the root a, the iteration will
converge. The convergence is quicker the smaler
G is in the surrounding of a
How can this be used in order to optimize how we
write the iteration formula?
17
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Let us rewrite f(x)0
that is
Assume that the start value is a good
approximation for the root
which leads to
18
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Newton Raphsons modified method
Our exemples
Applying Newton Raphsons modified method
19
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
20
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Kodexempel, Newton Raphsons modifierade metod etc.