III Jornadas de Matemtica UAI

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III Jornadas de Matemática - UAI
Sistemas Dinámicos y Atractores Matemáticos
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Agenda
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Primera Parte - Aspectos Teóricos y Definiciones
Sistemas Dinámicos Teoría del
CaosAtractores Relaciónes con la Geometría
Fractal -----------------------------------------
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-------- Segunda Parte - Ejemplos de Atractores
Extraños Mapa LogísticoAtractor de LorenzOtros
Atractores Control del Caos ---------------------
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---------------------------- Tercera Parte
Aplicaciones Trabajos de investigación en
Virología Lineamientos en tratamientos contra el
Cancer Nuevas tendencias en Neurociencias --------
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Apendix Código en C para testear las órbitas
de la ecuación logísticaCódigo en Mathematica
para explorar el Atractor de LorenzConcepto de
Iteración - Repaso
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Concepto de Dinámica La dinámica de
cualquier situación se refiere a como el estado
de la mencionada situación planteada, evoluciona
a lo largo del tiempo. Definición de
Sistema Grupo interrelacionado de elementos
independientes que forman un todo más complejo
y persigue un determinado fin. Por ejemplo, el
cuerpo humano o una red de computadores. Definic
ión Informal de Sistemas Dinámicos Llamamos
Sistemas Dinámicos a aquellos que, mediante una
regla, pueden serdefinidos por un conjunto de
variables cuyos valores cambian a lo largo del
tiempo. - Dichas variables se denominan
variables de estado - Ellas determinan el
estado del sistema en un momento dado - Ellas
trazan una trayectoria determinando el espacio
de estado Nota No confundir la evolución en
el tiempo de las variables de una ecuación con la
evolución de los parámetros de la misma.
Conceptos básicos
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No todos los Sistemas Dinámicos evolucionan a
lo largo del tiempo de la misma manera. Vamos a
categorizarlos de dos maneras generales.
Caracterización de Sistemas Dinámicos
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Atractores
Definición Informal de Atractor Es el conjunto,
o espacio de fases, al que un sistema dinámico
tiende a lo largo del tiempo. Clasificación de
Atractores

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Atractores
Clasificación de Atractores

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Atractores Extraños
Características de los Atractores
Son la base de la Teoría del Caos Se construyen
iterando ecuaciones que modelan un sistema, ya
sea continuo (Ec. Diferenciales) o discreto
(mapas) Pueden reconstruirse mediante diversas
técnicasa partir de mediciones o series de
tiempo. Poseen Estructura Fractal
Muestra de Fractalidad y Autosimilitud en el Mapa
Logístico
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Mapa Logístico
0  lt x0 lt 1 0 lt  r lt  4
A partir de r 3.54 las órbitas comienzan a
oscilar entre 4, 16, 32, 64 valores. Cada vez
se encuentran más juntos los valores de r en los
cuales se producen las bifurcaciones (tener en
cuenta decimales!) A partir de 3.57 las órbitas
son totalmente caóticas y no pueden verse
oscilaciones. A pesar de ellos, aún hay valores
aislados que si las presenta. Ej 3.83
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Mapa Logístico
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Atractor de Lorenz


s es el número de Prandtl ? es el número
de Rayleigh  x Razón de rotación del
anillo.  y Gradiente de temperatura  z
Desviación de la temperatura respecto a su
valor de equilibrio. s, ?, ß  gt 0
Se genera al iterar el siguiente sistema de
Ecuaciones Diferenciales
Si bien los 3 parámetros son siempre positivos,
suele estudiarse s  10 ß  8/3 ? se va
variando En este caso ? 28
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Atractor de Lorenz


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Reconstrucción de un Atractor


Hasta el momento se presentaron atractores que
fueron generados a partir de modelos,ya sean
ecuaciones diferenciales o mapas. Pero, qué
pasa cuando tenemos observaciones, datos, pero no
tenemos ningún modelo? Por ejemplo, series de
tiempo provenientes de mediciones
electrofisiológicas como EEG.Las series de
tiempo son sistemas dinámicos por
excelencia. Aquí surge el concepto de
RECONSTRUCCIÓN de un Atractor. El cual
presenta diversos métodos y herramientas que
permiten inferir o justamentereconstruir la
geometría y topología de un atractor tomando
datos provenientes de observaciones
experimentales. Las nociones más importantes se
presentan en los Teoremas de Embebimiento de
Takens y Whitney
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Control del Caos

• La teoría del Control del Caos se basa en las
  siguientes ideas
• Todos los Atractores contienen infinitas órbitas
  inestables.
• La dinámica caótica presenta movimientos en los
  que el estado del sistema se desplaza por las
  vecindades de dichas órbitas, puede pasar a otras
  más estables hasta volver a caer en otra
  inestable nuevamente y así siguiendo.
• El Control del Caos tiene justamente esa meta
  estabilizar determinadas órbitas para convertir
  el sistema más predecible en el tiempo y con una
  dinámica más estable.
• Esa estabilización se logra a través de pequeñas
  perturbaciones.
• Las técnicas más utilizadas de control de Caos
  son
• OGY (Ott, Grebogi and Yorke)
• Pyragas
• Sincronización del Caos
• Las mayores experiencias de Control de Caos se
  están dando en las áreas de Física e Ingeniería.

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Virología Dinámica


El libro Virus Dynamics - Mathematical
Principles of Immunology and Virology Los papers
The Mathematical Biology of Human Infections
Virus dynamics and drug therapy
Presenta el siguiente modelo de Dinámica
Viral
Tres variables dependientes del tiempo x
Cantidad de células sanasy Cantidad de células
infectadasv Cantidad de partículas virales
libres
? Tasa en que x es producida ?xv Tasa en la que
v infecta a x Ky Tasa en la que y produce v
- Ni el libro mencionado, ni los dos papers
citados emplean las técnicas de solución mediante
iteración. Ni la búsqueda de patrones en
Atractores extraños - Es inevitable la
comparación entre este sistema de ecuaciones
diferenciales que modela la dinámica viral,
con la del Atractor de Lorenz.- De conseguir
generar un atractor, con valores de los
parámetros médicamente relevantes , podría
llevarse al sistema a órbitas estables u
ordenadas, impidiendo
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Cancer Dynamics


En el paper A Mathematical Model of Chaotic
Attractor in Tumor Growth and Decay Se sugiere
que para modelar el crecimiento de un tumor, debe
emplearse patrones fractales.El cálculo de la
dimensión fractal lo realizan a través del
algoritmo de Box Counting Method. Presentan el
siguiente modelo de Ecuaciones Diferenciales
n densidad celular del tumor f concentración
MM m concentración MDE c concentración de
oxígeno
En este trabajo se testear diferentes valores de
las variables y parámetros mencionados y arriban
a un atractor de iguales características que el
Atractor de Lorenz. Si bien no habla de un
método específico de Control del Caos, propone
combinar estos descubrimientos dinámicos, con
los métodos actuales de tratamiento. Existe una
demostración en el sitio de Wolfram
http//demonstrations.wolfram.com/ChaoticAttract
orInTumorGrowth/
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Sistemas Dinámicos y Neurociencias


El libro Dynamical Systems in Neuroscience Public
ado por el M.I.T. Press en el año 2007 Presenta
las siguientes ideas y modernos conceptos -
Pretende entender y modelar a las neuronas no
solo teniendo en cuenta su morfología y su
estado inhibido o excitado sino también su
dinámica. - Si dos neuronas en la misma región
del sistema nervioso que procesan
características electrofisiológicos similares y
que además reciben los MISMOS inputs pueden
producir un output TOTALMENTE DIFERENTE.
Los puntos anteriores contradicenlos modelos
históricos de conexiones neuronales
Estos conceptos también son directamente
aplicables a la Inteligencia Artificial y
su modelado de redes neuronales
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Conceptos Finales


No confundir Caos con Desorden El Caos posee
un complejo estado de Orden No confundir Caos
con Azar Por más compleja que sea la dinámica de
un sistema, la Teoría del Caos busca yestudia
los patrones dentro de ella.Aunque en
determinados sistemas se presenten órbitas que
parecen mostrar un comportamiento azaroso sin
dejar descubrir un patrón, no implica que así lo
sea.Es un tema ampliamente comentado en
Criptografía Moderna. No confundir Caos con
Sistemas No Deterministicos El Caos es
determinístico, al menos los sistemas aquí
estudiados.Todos parten de una regla, ley o
ecuación.Se presenta la dualidad que por más
deterministico que sea un sistema caótico, a
veces es muy difícil o hasta imposible su
predicción.
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Código en C para testear órbitas de la Ecuación
Logística
includeltiostreamgt includeltconio.hgt using
namespace std int main() float x0 int
i float r long int f cout ltlt"\n Ingrese el
valor inicial Xo " cin gtgt x0 cout ltlt"\n
Ingrese el valor de r " cin gtgt r cout ltlt"\n
Ingrese la cantidad de iteraciones a realizar
" cin gtgt f for (i0 iltf i) x0x0r(1-x0)
cout ltlt i ltlt") " ltlt x0 ltlt "\n" getch() re
turn 0

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Código en Mathematica para explorar el Atractor
de Lorenz

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Concepto de iteración
Xn1 Xn a Siempre se plantea la ecuación y
se
determina el Xo
X2 X1 aX3 X2 aX4 X3 aX5 X4 a
La sucesión formada por X0,X1,X2,X3XnSe
denomina la ORBITA de X0 Las órbitas pueden
converger o diverger.
Ejemplo Xo 0 a 1 X1 0 1 1X2 1
1 2 X3 2 1 3
Xn1 Xn a
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III Jornadas de Matemática - UAI
Sistemas Dinámicos y Atractores Matemáticos
Juan Pablo Braña juan.brana_at_gmail.com