Title: Matemticas para Telecomunicaciones
1EL SIGLO XVIII
El Siglo de las Luces
Ing. Leonardo Favio Brito Criado Ing. Roberto
Fernando Huertas Torres Ing. Eugenio Moreno
Ruiz Ing. Jimmy William Ramirez Cano
2El Siglo Newtoniano
- Nace 1687 con la aparición de la principia de
Newton (Mecánica, Astronomía y calculo
infinitesimal) - Los métodos infinitesimales de Newton y Leibniz
se difundieron de manera muy lenta y eran muy
pocos los capaces de aplicarlos. - La familia de los Bernoulli, aporto matemáticos
durante los siglos XVII, XVIII y XIX, de ellos
sobresalen Jacob, Johann y Daniel. - Jacob se dedico a los métodos infinitesimales y
el calculo de probabilidades.
3El Siglo Newtoniano
- Resolución con demostración del problema de la
Curva descensus aequabilis propuesto por
Leibniz donde aparece la integral. - Jacob propuso la ecuación que hoy se conoce como
Bernoulli que fue resulta por Johann. - Johann propuso el problema de la curva de tiempo
mínimo(Braquistócrona) que fue resulta entre
otros por Jacob. - El problema de los isoperímetros , el de la
braqistócrona, el de la superficie mínima de
revolución y otros dieron origen al calculo de
variaciones.
4El Siglo Newtoniano
- LA teoría de series y su aplicación en el calculo
integral y las ecuaciones diferenciales. - La cuadratura de funciones de la forma
- Los métodos del factor integrante y separación de
variable en la integración. - Un método de cuadratura por series expuesto en
1694. - Johann le impartía lecciones al marques de
LHôpital quien las publico en 1696 en Analyse
des infiniment petits pour Iintelligencedes
lignes courbes. Que se le atribuyo 1715.
5El Siglo Newtoniano
- Las lecciones impartidas al Márquez se
convirtieron en el primer tratado sobre calculo
integral donde se resumían los conocimientos de
la época. - En el Anailyse. Aparece la regla comúnmente
vinculada con el nombre de LHôpital para el
calculo de limites indeterminados. - Michel Role
- En Italia Riccati y fagnano
- Transformación e integración de ecuaciones
- Geometría en especial la del triangulo
- Rectificación de curvas.
61. El siglo Newtoniano
Ehrenfried WalterAvon Tschirnhausen Alemán
único matemático que se ocupó de los nuevos
métodos conocido por el de transformación de
ecuaciones, con el que resolvió las de 2do, 3ro y
4to grado, pero sin éxito en las de grado
superior, lo cual había sido previsto por
Leibniz.
71. El siglo Newtoniano
- Inglaterra
- Acontecimiento matemático más clamoroso según
Cajori, fue la crítica que George Berkeley hizo a
los nuevos métodos, la cual tuvo origen
extramatemático y aparece en The Analyst de 1734
en donde menciona al matemático infiel Edmund
Halley (Astrónomo) - Méritos
- Sufragar los gastos de impresión de los
Principia de Newton, - Se ocupo de matemática a él se deben
restauraciones de Apolonio y la propiedad de la
proporcionalidad de los logaritmos del mismo
número en bases diferentes. -
81. El siglo Newtoniano
- Libre pensador activo, por lo cual Berkeley lo
acusó de infiel, por ser un matemático y por ello
un maestro de la razón utilizaba indebidamente su
autoridad opinando y decidiendo sobre cuestiones
ajenas a su incumbencia. - Finalidad de Berkeley no es criticar los nuevos
métodos como defender los misterios de la fe. - Nuevos métodos forma
- Newton como matemáticos continentales se
envolvían en principios oscuros, vagos y
contradictorios.
91. El siglo Newtoniano
- La crítica de Berkeley era inobjetable, lo
objetable era la doctrina de compensación de
errores, impresionado por el hecho de que
fundándose sobre principios y demostraciones tan
despreciables, los nuevos métodos lograran
resultados exactos, comprobado con la mecánica
Newtoniana. - Punto de vista técnico importante del Analyst
se plantean cuestiones acerca del cero y del
infinito, divisibilidad infinita, carácter
metafísico del tiempo, del espacio y del
movimiento absolutos. - La crítica de Berkeley la sintieron todos los
matemáticos ingleses - Abraham De Moivre Probabilidades, números
combinatorios, suma de las potencias de N.
Estudio de series recurrentes, descomposición en
factores simples de las expresiones algebraicas.
101. El siglo Newtoniano
- Cotes forma geométrica la descomposición de las
ecuaciones trinomias en factores, se adelantó a
Euler en la relación entre las funciones
circulares y los exponentes imaginarios y
completó la fórmula de Newton, sobre integración
aproximada. - Brook Taylor física y matemática, perspectiva,
Methodus incrementorum directa e inversa de 1715
uso sistemático de las diferencias finitas,
partiendo de ellas se dan las series de Taylor,
llega a la serie de Bernoulli partiendo de
integración por partes. - James Stirling diferencias finitas, Methodus
differentialis sumas o series polinomios de
factoriales de grado positivo o negativo, n!.
111. El siglo Newtoniano
- Colin Maclaurin geometría, cálculo
infinitesimal, física y astronomía vuelve a los
clásicos métodos de los geómetras antiguos En
Geometría orgánica de 1719 y De Linearum
geometricarum propietatibus de 1720 propiedades
de las curvas algebraicas las de 2do, 3ro y 4to
grado En Algebra números positivos y negativos
justificar regla de los signos En Treatise on
fluxiones tratado sistemático del cálculo de las
fluxiones con sus aplicaciones geométricas y
mecánicas Lagrange menciona una obra maestra
de geometría comparable con todo lo que
Arquímedes nos dejó aparece integración
aproximada y la fórmula sumatoria de una función
mediante la integral y las derivadas.
12SIGLO XVIII LEONHARD EULER
- Siglo de aporte a la descripción de fenómenos
naturales - Carácter algorítmico a finales geometría.
- Siglo de la razón, símbolos algebráicos y
algoritmos, - Cálculo Infinitesimal, las ecuaciones siempre
tienen solución, diferenciales siempre pueden
integrarse y las series sumarse. - Euler opera omnia 69 volúmenes proyectados.
- Formado en ambiente de los Bernoulli no fue
profesor-
13SIGLO XVIII LEONHARD EULER
- Apoyado cortes de San Petersburgo y Berlín. Sus
- últimos años fueron más productivos CIEGO.
Aportes - Aritmética, teoría de números, álgebra y cálculo
de probabilidades, cálculo infinitesimal y
geometría, mecánica racional y aplicada,
astronomía y física, geografía matemática,
lettres à une princesse d Allemagne
científicas. - Generalizó problemas de Fermat y Diofanto. (n3 y
n4).
14SIGLO XVIII LEONHARD EULER
- Análisis indeterminado de números perfectos y
amigos, teoría de restos potenciales. - Combinatoria y cuadrados mágicos Cuadrado
Latino - Teoría de números primos conjetura de Goldbach
Todo número par es suma de dos números primos.
Teorema sin demostrar. - Sucesiones de números primos, Riemann
- Teoría analítica de números, aritmética y teoría
de funciones analíticas.
15SIGLO XVIII LEONHARD EULER
- Álgebra en Fracciones parciales.
- Método de solución a problemas de 4º orden.
- Serie valor de raíces y estudio de simetría para
Ec. Algebraicas. - Mayores aportes en cálculo infinitesimal.
- Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive
propietate gaudentes (1744). Introductio in
analysis infinitorum (1748). Institutiones
calculi diferentialis (1755). Institutiones
calculi integrais (1768 1770) Tres volúmenes.
16SIGLO XVIII LEONHARD EULER
- Concepto de función y curva, log como
exponente imaginario. - La multiplicidad no se comprendió, discusiones
por siglo - Símbolo y límites infinitos como se
conocen. Sumas de potencias exponenciales
y fracciones continuas. - Geometría plana, coordenadas polares y curvas.
Suma de factoriales positivos y negativos.
Distinción en derivadas parciales y ordinarias.
Estudio de series, método de coeficientes y
series divergentes.
17SIGLO XVIII LEONHARD EULER
- Fórmula de sumatoria números de Bernoulli,
interpolación, formas indeterminadas. - Todo se hizo en álgebra no se necesitan figuras,
cuadraturas hasta integración, derivadas
parciales, cálculo de variaciones. - Primeros problemas de topología, rama de la
matemática vislumbrada por Leibniz. - Francés, Alexis Claude Clairaut, líneas de
doble curvatura curvas alabeadas. Théorie de la
figura de la terre tirée des principes de
lHydrostatique.
18SIGLO XVIII ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT
- Fundamentos de la teoría de potencial basado en
atracción de elipsoides por métodos de Maclaurín. - Problemas de 3 cuerpos DAlembert, Euler y
Lagrange. - Ecuación de Clairaut, particular de Jean Le
Rond DAlembert autor del Discurso preliminar y
numerosos artículos matemáticos de la gran
enciclopedia, fundamentos de cálculo
infinitesimal. - Ecuaciones con derivadas parciales problema de
cuerdas vibrantes. En álgebra Bezóut métodos
de eliminación, grado de ecuación resultante en
un número cualquiera de ecuaciones.
19SIGLO XVIII EDWARD WARING
- Alexandre Théofhile Vandermonde teoría de
sustituciones y teoría de determinantes. - Edward Waring número par suma de dos primos e
impar no primo suma de 3 primos. Descomposición
de un número en suma de potencias. Transformación
de ecuaciones, diferencia de raices que más tarde
usará Lagrange. Separación de raices y
aproximación a raices complejas. Fórmula de
interpolación. - Álgebra de curvas. Gabriel Cramer estudio de
gráficas asociadas a ejes de referencia.
20SIGLO XVIII JOHANN HEINRICH LAMBERT
- Resolución general de sistemas lineales.
- Johann Heinrich Lambert, científico se dedicó a
varias ramas del saber, perspectiva hasta
simbolismo lógico. Funciones hiperbólicas.
Irracionalidad de partiendo de fracción
continua de . - Cartografía, serie de raices de ecuación
trinomial y serie de Lambert, cada coeficiente da
el número de divisores del exponente, todas las
potencias de exponente primo tienen coeficiente 2.
21Identidad para números primos
De la serie ? lim (1 1/ 2 1/3 ... 1/n
- log n) n??8 Se obtiene la función zeta de
Riemann, para s complejo.
22Las fórmulas de Euler
- Logaritmo de números negativos
- Para Leibniz Log (-1)Log raíz de (-1) es decir,
algo inexistente. - Para Bernoulli Log (-1)0, porque Log (x) Log
(-x), ya que dx/x mantiene - su valor cambiando de signo a la variable, además
decía que si log(-1)h de la igualdad (-1)x
x/(-1) se deducía h0. - Euler demostró que h ?0 mediante combinaciones
matemáticas , y para determinarlos llamó k al
logaritmo de -1, de manera que para x -1 puede
escribirse (1 k/n) n 1 0. - En su Introductio Euler había demostrado que una
suma de potencias de la forma pn qn tenian
cono factor el trinomio
23Las fórmulas de Euler
- Como pn qn 0 la anulación del trinomio
anterior daba - Que aplicada al caso particular en que p1 k/n
y q1, se obtiene - Y finalmente para n infinito
- Y la multiplicidad del logaritmo quedaba probada.
- Mediante su expresión del logaritmo de -1 Euler
dio mas tarde valores como el siguiente
24Una curva trascendente de Euler
- Ejemplo de una curva trascendente de Euler
expresada en forma paramétrica parte de la
ecuación - Ecuación que transforma en primer lugar mediante
la sustitución ytx, que da y
luego con la nueva transformación t11/u que - permite escribir su ecuación en la forma
paramétrica
25Contribuciones de Euler
- Las dos integrales definidas función gama y
función beta - Constante de Euler-Mascherini (aparece en teoría
de números). - Serie de recíprocos de los números primos es
equivalente a log.log n. - Desarrollo en serie de 1/cos x, en cuyos
coeficientes aparecen los - llamados números de Euler
- Estudio del logaritmo integral ?dx/l.x
- Desarrollo en serie de las infinitas soluciones
de la ecuación trascendente - tg xx
- Demostración de la alineación de los puntos de
intersección de las tres alturas, las tres
medianas y las tres mediatrices de un triangulo
(recta de Euler). - Introducción de las coordenadas intrínsecas para
el estudio de las curvas planas y curvatura de
las secciones normales que pasan por un punto de
una superficie.
26Contribuciones de Euler
- Generalizó la fórmula de Machin dio numerosos
desarrollos en serie del número pi mediante la
serie del arco tangente. - Enunciado y demostración de la relación
fundamental entre caras, vértices y aristas de un
poliedro. - Solución del problema del puente de Königssberg
27Ecuación de DAlembert
- En el problema de la cuerda vibrante
- En 1747. si ?u/?x p. ?u/?y q , se tendrá por
un lado, dupdxqdy y por otro lado en virtud
de la ecuación ?q/?y ?p/?x, dvq dxp dy
será una diferencia exacta. En definitiva
d(uv)(pq)d(xy) - d(u-v)(p-q)d(x-y) o uv2F(xy) u-v
2? (x-y), con F y ? funciones arbitrarias se
deduce que - uF(xat) ? (x-at), reconociendo
DAlembert que las funciones arbitrarias se
reducen a una sola si por las condiciones
iniciales del problema u se anula para x0 y
x1.