Matemticas para Telecomunicaciones

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EL SIGLO XVIII
El Siglo de las Luces
Ing. Leonardo Favio Brito Criado Ing. Roberto
Fernando Huertas Torres Ing. Eugenio Moreno
Ruiz Ing. Jimmy William Ramirez Cano
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El Siglo Newtoniano

• Nace 1687 con la aparición de la principia de
  Newton (Mecánica, Astronomía y calculo
  infinitesimal)
• Los métodos infinitesimales de Newton y Leibniz
  se difundieron de manera muy lenta y eran muy
  pocos los capaces de aplicarlos.
• La familia de los Bernoulli, aporto matemáticos
  durante los siglos XVII, XVIII y XIX, de ellos
  sobresalen Jacob, Johann y Daniel.
• Jacob se dedico a los métodos infinitesimales y
  el calculo de probabilidades.

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El Siglo Newtoniano

• Resolución con demostración del problema de la
  Curva descensus aequabilis propuesto por
  Leibniz donde aparece la integral.
• Jacob propuso la ecuación que hoy se conoce como
  Bernoulli que fue resulta por Johann.
• Johann propuso el problema de la curva de tiempo
  mínimo(Braquistócrona) que fue resulta entre
  otros por Jacob.
• El problema de los isoperímetros , el de la
  braqistócrona, el de la superficie mínima de
  revolución y otros dieron origen al calculo de
  variaciones.

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El Siglo Newtoniano

• LA teoría de series y su aplicación en el calculo
  integral y las ecuaciones diferenciales.
• La cuadratura de funciones de la forma
• Los métodos del factor integrante y separación de
  variable en la integración.
• Un método de cuadratura por series expuesto en
  1694.
• Johann le impartía lecciones al marques de
  LHôpital quien las publico en 1696 en Analyse
  des infiniment petits pour Iintelligencedes
  lignes courbes. Que se le atribuyo 1715.

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El Siglo Newtoniano

• Las lecciones impartidas al Márquez se
  convirtieron en el primer tratado sobre calculo
  integral donde se resumían los conocimientos de
  la época.
• En el Anailyse. Aparece la regla comúnmente
  vinculada con el nombre de LHôpital para el
  calculo de limites indeterminados.
• Michel Role
• En Italia Riccati y fagnano
• Transformación e integración de ecuaciones
• Geometría en especial la del triangulo
• Rectificación de curvas.

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1. El siglo Newtoniano
Ehrenfried WalterAvon Tschirnhausen Alemán
único matemático que se ocupó de los nuevos
métodos conocido por el de transformación de
ecuaciones, con el que resolvió las de 2do, 3ro y
4to grado, pero sin éxito en las de grado
superior, lo cual había sido previsto por
Leibniz.
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1. El siglo Newtoniano

• Inglaterra
• Acontecimiento matemático más clamoroso según
  Cajori, fue la crítica que George Berkeley hizo a
  los nuevos métodos, la cual tuvo origen
  extramatemático y aparece en The Analyst de 1734
  en donde menciona al matemático infiel Edmund
  Halley (Astrónomo)
• Méritos
• Sufragar los gastos de impresión de los
  Principia de Newton,
• Se ocupo de matemática a él se deben
  restauraciones de Apolonio y la propiedad de la
  proporcionalidad de los logaritmos del mismo
  número en bases diferentes.

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1. El siglo Newtoniano

• Libre pensador activo, por lo cual Berkeley lo
  acusó de infiel, por ser un matemático y por ello
  un maestro de la razón utilizaba indebidamente su
  autoridad opinando y decidiendo sobre cuestiones
  ajenas a su incumbencia.
• Finalidad de Berkeley no es criticar los nuevos
  métodos como defender los misterios de la fe.
• Nuevos métodos forma
• Newton como matemáticos continentales se
  envolvían en principios oscuros, vagos y
  contradictorios.

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1. El siglo Newtoniano

• La crítica de Berkeley era inobjetable, lo
  objetable era la doctrina de compensación de
  errores, impresionado por el hecho de que
  fundándose sobre principios y demostraciones tan
  despreciables, los nuevos métodos lograran
  resultados exactos, comprobado con la mecánica
  Newtoniana.
• Punto de vista técnico importante del Analyst
  se plantean cuestiones acerca del cero y del
  infinito, divisibilidad infinita, carácter
  metafísico del tiempo, del espacio y del
  movimiento absolutos.
• La crítica de Berkeley la sintieron todos los
  matemáticos ingleses
• Abraham De Moivre Probabilidades, números
  combinatorios, suma de las potencias de N.
  Estudio de series recurrentes, descomposición en
  factores simples de las expresiones algebraicas.

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1. El siglo Newtoniano

• Cotes forma geométrica la descomposición de las
  ecuaciones trinomias en factores, se adelantó a
  Euler en la relación entre las funciones
  circulares y los exponentes imaginarios y
  completó la fórmula de Newton, sobre integración
  aproximada.
• Brook Taylor física y matemática, perspectiva,
  Methodus incrementorum directa e inversa de 1715
  uso sistemático de las diferencias finitas,
  partiendo de ellas se dan las series de Taylor,
  llega a la serie de Bernoulli partiendo de
  integración por partes.
• James Stirling diferencias finitas, Methodus
  differentialis sumas o series polinomios de
  factoriales de grado positivo o negativo, n!.

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1. El siglo Newtoniano

• Colin Maclaurin geometría, cálculo
  infinitesimal, física y astronomía vuelve a los
  clásicos métodos de los geómetras antiguos En
  Geometría orgánica de 1719 y De Linearum
  geometricarum propietatibus de 1720 propiedades
  de las curvas algebraicas las de 2do, 3ro y 4to
  grado En Algebra números positivos y negativos
  justificar regla de los signos En Treatise on
  fluxiones tratado sistemático del cálculo de las
  fluxiones con sus aplicaciones geométricas y
  mecánicas Lagrange menciona una obra maestra
  de geometría comparable con todo lo que
  Arquímedes nos dejó aparece integración
  aproximada y la fórmula sumatoria de una función
  mediante la integral y las derivadas.

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SIGLO XVIII LEONHARD EULER

• Siglo de aporte a la descripción de fenómenos
  naturales
• Carácter algorítmico a finales geometría.
• Siglo de la razón, símbolos algebráicos y
  algoritmos,
• Cálculo Infinitesimal, las ecuaciones siempre
  tienen solución, diferenciales siempre pueden
  integrarse y las series sumarse.
• Euler opera omnia 69 volúmenes proyectados.
• Formado en ambiente de los Bernoulli no fue
  profesor-

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SIGLO XVIII LEONHARD EULER

• Apoyado cortes de San Petersburgo y Berlín. Sus
• últimos años fueron más productivos CIEGO.
  Aportes
• Aritmética, teoría de números, álgebra y cálculo
  de probabilidades, cálculo infinitesimal y
  geometría, mecánica racional y aplicada,
  astronomía y física, geografía matemática,
  lettres à une princesse d Allemagne
  científicas.
• Generalizó problemas de Fermat y Diofanto. (n3 y
  n4).

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SIGLO XVIII LEONHARD EULER

• Análisis indeterminado de números perfectos y
  amigos, teoría de restos potenciales.
• Combinatoria y cuadrados mágicos Cuadrado
  Latino
• Teoría de números primos conjetura de Goldbach
  Todo número par es suma de dos números primos.
  Teorema sin demostrar.
• Sucesiones de números primos, Riemann
• Teoría analítica de números, aritmética y teoría
  de funciones analíticas.

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SIGLO XVIII LEONHARD EULER

• Álgebra en Fracciones parciales.
• Método de solución a problemas de 4º orden.
• Serie valor de raíces y estudio de simetría para
  Ec. Algebraicas.
• Mayores aportes en cálculo infinitesimal.
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive
  propietate gaudentes (1744). Introductio in
  analysis infinitorum (1748). Institutiones
  calculi diferentialis (1755). Institutiones
  calculi integrais (1768 1770) Tres volúmenes.

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SIGLO XVIII LEONHARD EULER

• Concepto de función y curva, log como
  exponente imaginario.
• La multiplicidad no se comprendió, discusiones
  por siglo
• Símbolo y límites infinitos como se
  conocen. Sumas de potencias exponenciales
  y fracciones continuas.
• Geometría plana, coordenadas polares y curvas.
  Suma de factoriales positivos y negativos.
  Distinción en derivadas parciales y ordinarias.
  Estudio de series, método de coeficientes y
  series divergentes.

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SIGLO XVIII LEONHARD EULER

• Fórmula de sumatoria números de Bernoulli,
  interpolación, formas indeterminadas.
• Todo se hizo en álgebra no se necesitan figuras,
  cuadraturas hasta integración, derivadas
  parciales, cálculo de variaciones.
• Primeros problemas de topología, rama de la
  matemática vislumbrada por Leibniz.
• Francés, Alexis Claude Clairaut, líneas de
  doble curvatura curvas alabeadas. Théorie de la
  figura de la terre tirée des principes de
  lHydrostatique.

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SIGLO XVIII ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT

• Fundamentos de la teoría de potencial basado en
  atracción de elipsoides por métodos de Maclaurín.
• Problemas de 3 cuerpos DAlembert, Euler y
  Lagrange.
• Ecuación de Clairaut, particular de Jean Le
  Rond DAlembert autor del Discurso preliminar y
  numerosos artículos matemáticos de la gran
  enciclopedia, fundamentos de cálculo
  infinitesimal.
• Ecuaciones con derivadas parciales problema de
  cuerdas vibrantes. En álgebra Bezóut métodos
  de eliminación, grado de ecuación resultante en
  un número cualquiera de ecuaciones.

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SIGLO XVIII EDWARD WARING

• Alexandre Théofhile Vandermonde teoría de
  sustituciones y teoría de determinantes.
• Edward Waring número par suma de dos primos e
  impar no primo suma de 3 primos. Descomposición
  de un número en suma de potencias. Transformación
  de ecuaciones, diferencia de raices que más tarde
  usará Lagrange. Separación de raices y
  aproximación a raices complejas. Fórmula de
  interpolación.
• Álgebra de curvas. Gabriel Cramer estudio de
  gráficas asociadas a ejes de referencia.

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SIGLO XVIII JOHANN HEINRICH LAMBERT

• Resolución general de sistemas lineales.
• Johann Heinrich Lambert, científico se dedicó a
  varias ramas del saber, perspectiva hasta
  simbolismo lógico. Funciones hiperbólicas.
  Irracionalidad de partiendo de fracción
  continua de .
• Cartografía, serie de raices de ecuación
  trinomial y serie de Lambert, cada coeficiente da
  el número de divisores del exponente, todas las
  potencias de exponente primo tienen coeficiente 2.

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Identidad para números primos
De la serie ? lim (1 1/ 2 1/3 ... 1/n
- log n) n??8 Se obtiene la función zeta de
Riemann, para s complejo.
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Las fórmulas de Euler

• Logaritmo de números negativos
• Para Leibniz Log (-1)Log raíz de (-1) es decir,
  algo inexistente.
• Para Bernoulli Log (-1)0, porque Log (x) Log
  (-x), ya que dx/x mantiene
• su valor cambiando de signo a la variable, además
  decía que si log(-1)h de la igualdad (-1)x
  x/(-1) se deducía h0.
• Euler demostró que h ?0 mediante combinaciones
  matemáticas , y para determinarlos llamó k al
  logaritmo de -1, de manera que para x -1 puede
  escribirse (1 k/n) n 1 0.
• En su Introductio Euler había demostrado que una
  suma de potencias de la forma pn qn tenian
  cono factor el trinomio

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Las fórmulas de Euler

• Como pn qn 0 la anulación del trinomio
  anterior daba
• Que aplicada al caso particular en que p1 k/n
  y q1, se obtiene
• Y finalmente para n infinito
• Y la multiplicidad del logaritmo quedaba probada.
• Mediante su expresión del logaritmo de -1 Euler
  dio mas tarde valores como el siguiente

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Una curva trascendente de Euler

• Ejemplo de una curva trascendente de Euler
  expresada en forma paramétrica parte de la
  ecuación
• Ecuación que transforma en primer lugar mediante
  la sustitución ytx, que da y
  luego con la nueva transformación t11/u que
• permite escribir su ecuación en la forma
  paramétrica

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Contribuciones de Euler

• Las dos integrales definidas función gama y
  función beta
• Constante de Euler-Mascherini (aparece en teoría
  de números).
• Serie de recíprocos de los números primos es
  equivalente a log.log n.
• Desarrollo en serie de 1/cos x, en cuyos
  coeficientes aparecen los
• llamados números de Euler
• Estudio del logaritmo integral ?dx/l.x
• Desarrollo en serie de las infinitas soluciones
  de la ecuación trascendente
• tg xx
• Demostración de la alineación de los puntos de
  intersección de las tres alturas, las tres
  medianas y las tres mediatrices de un triangulo
  (recta de Euler).
• Introducción de las coordenadas intrínsecas para
  el estudio de las curvas planas y curvatura de
  las secciones normales que pasan por un punto de
  una superficie.

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Contribuciones de Euler

• Generalizó la fórmula de Machin dio numerosos
  desarrollos en serie del número pi mediante la
  serie del arco tangente.
• Enunciado y demostración de la relación
  fundamental entre caras, vértices y aristas de un
  poliedro.
• Solución del problema del puente de Königssberg

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Ecuación de DAlembert

• En el problema de la cuerda vibrante
• En 1747. si ?u/?x p. ?u/?y q , se tendrá por
  un lado, dupdxqdy y por otro lado en virtud
  de la ecuación ?q/?y ?p/?x, dvq dxp dy
  será una diferencia exacta. En definitiva
  d(uv)(pq)d(xy)
• d(u-v)(p-q)d(x-y) o uv2F(xy) u-v
  2? (x-y), con F y ? funciones arbitrarias se
  deduce que
• uF(xat) ? (x-at), reconociendo
  DAlembert que las funciones arbitrarias se
  reducen a una sola si por las condiciones
  iniciales del problema u se anula para x0 y
  x1.