ACCIONES BASICAS DE CONTROL

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• Un controlador automático, compara el valor real
  de la salida de una planta con la entrada de
  referencia (el valor deseado), determina la
  desviación y produce una señal de control que
  reducirá la desviación a cero ó a un valor
  pequeño. La manera en la cual el controlador
  automático produce la señal de control se
  denomina acción de control.

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• Los controladores industriales se clasifican, de
  acuerdo con sus acciones de control
• Todo o nada (2 posiciones, on-off)
• Proporcional
• Proporcional Integral
• Proporcional Derivativo
• Proporcional Integral Derivativo (PID)

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• Configuración de un sistema de control
  automático en lazo cerrado.

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• Para ejemplificar las acciones de control, se
  usará el modelo de un motor de c.d.
• En donde
• es la velocidad en rad/sec
• es el voltaje de alimentación en volts

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• Para poder apreciar las acciones de control,
  analizaremos en lazo abierto el comportamiento
  del motor, alimentadolo con su voltaje máximo de
  20 volts.

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• Control Dos posiciones
• (Todo o nada, on-off, Bang-Bang)
• El dispositivo corrector final tiene solamente 2
  posiciones o estados de operación. Si la señal de
  error es positiva, el controlador envía el
  dispositivo corrector final a una de las 2
  posiciones. Si la señal de error es negativa, el
  controlador envía el dispositivo corrector final
  a la otra posición.

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• Supongamos que la señal de salida del
  controlador es u(t) y que la señal de error es
  e(t).
• Si U1-U2, y U1U0, entonces

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• Aplicando un control Todo Nada para mantener la
  velocidad del motor en

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• Se observa que la velocidad llega al valor
  deseado y se conserva ahí, al igual que el error
  se conserva en cero. Pero el voltaje de control
  para lograr esto presenta unas oscilaciones de
  frecuencia infinita, la cual no puede ser
  implementada por ningún actuador ó dispositivo
  corrector final. Ahora se verá un dispositivo
  corrector final que pueda implementar un
  frecuencia finita.

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• Para ello, es necesario saber que todos los
  actuadores todo o nada tienen una pequeña zona de
  actuación o brecha diferencial, la cual está
  definida como el más pequeño rango de valores
  medidos que debe atravesar para hacer que el
  actuador vaya de una posición a la otra

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• El actuador que consideraremos será una
  configuración de transistores que servirán para
  manipular el voltaje alimentado al motor. Como se
  sabe, el transistor requiere de un cierto voltaje
  en su base para poder ser encendido, por lo
  tanto, la señal de error tendrá que superar este
  nivel para poder encender los transistores
  adecuados. Suponiendo que se necesita 1V para la
  base.

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• Concluciones
• El control todo nada sólo sirve para manejar
  actuadores de dos posiciones.
• La desventaja es que los actuadores se desgastan
  muy rápido.
• En la realidad con este controlador siempre se
  obtienen pequeñas oscilaciones alrededor del
  valor deseado.

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• En general, cuando el sitio de conmutación de la
  variable dependiente depende no solo del valor de
  variable independiente, sino también de su
  dirección de aproximación, decimos que existe
  histéresis.

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• Control Proporcional
• El dispositivo corrector final no es forzado a
  tomar una de dos posiciones disponibles. En lugar
  de esto, tiene un rango continuo de posiciones
  posibles. La posición exacta que toma es
  proporcional a la señal de error. En otras
  palabras, la salida de bloque controlador es
  proporcional a su entrada.

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• Para un controlador con acción de control
  proporcional, la relación entre la salida del
  controlador u(t) y la señal de error e(t) es
• o en Laplace

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• Del diagrama en lazo cerrado obtenemos

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• Desde el punto de vista del error de estado
  estable, la planta con controlador en lazo
  abierto no tiene integradores, por lo tanto,
  presentará un error finito. Esto indica que con
  el control proporcional siempre habrá un offset.
• Desde el punto de vista del controlador,
  porque el error no es cero?
• Analizando el límite del error en el infinito

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• El error queda definido como
• Escogiendo un valor arbitrario de Kp10.

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• Haciendo zoom para apreciar el offset

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• Se observa que se cumple aproximadamente con los
  propósitos del control con altas ganancias. Por
  otro lado, en un instante de tiempo, el voltaje
  llega a ser de 100 volts, en donde el voltaje
  máximo es de 20 volts, para esto se dispone de un
  bloque de saturación para limitar la salida, tal
  y como sería en la realidad.

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• El control proporcional tiene una ventaja
  importante sobre el control todo o nada. Elimina
  la constante oscilación alrededor del valor de
  referencia. Con esto proporciona un control de la
  planta más preciso, y reduce el desgaste y rotura
  de actuadores mecánicos.
• Pero la desventaja es que si la planta no posee
  integradores, siempre habrá un offset.

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• Proporcional Integral
• Este controlador es la suma de una acción
  proporcional y una integral. Se ha visto que la
  acción proporcional nos acerca al valor deseado,
  y la acción integral nos lleva exactamente al
  valor deseado.
• Entonces para que combinar ambas acciones, y no
  sólo usar una acción integral?

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• Para ver las diferencias, se simula la planta
  con un integrador con ganancia de 10.

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• Se observa que la respuesta del integrador es
  relativamente lenta, es decir, se alcanza el
  estado estable muy lentamente. Además se
  presentan pequeñas oscilaciones que en algunas
  plantas no serian deseables.
• Por otro lado, la respuesta proporcional, aunque
  sólo se acerca a la referencia, su respuesta es
  rápida y no presenta oscilaciones.

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• Es por eso que se combinan ambas acciones para
  tener los beneficios de una respuesta rápida sin
  oscilaciones de una acción proporcional y una
  respuesta que nos lleve exactamente al valor
  deseado de una acción integral.
• A este controlador también se le conoce como
  proporcional-reposicionador.

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• Esta acción se define como
• cuya función de transferencia es

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• en donde Ti es el tiempo integral. El inverso de
  Ti se conoce como velocidad de reajuste, la cual
  nos da la cantidad de veces por minuto que se
  duplica la parte proporcional de la acción de
  control.
• Diagrama a bloques del controlador PI

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• con Ti0.1

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• Se aprecia una respuesta rápida sin oscilaciones
  y que alcanza el valor deseado.
• Pero esto es el caso ideal, hay que agregar el
  efecto de los actuadores (transistores) agregando
  un elemento de saturación con límites de 20 y
  -20.

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• Proporcional derivativo
• La acción de control de un controlador
  proporcional-derivativa (PD) se define
• y la función de transferencia es

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• Td es la constante de tiempo derivativo. La
  acción de control derivativa se le llama aveces
  como control de velocidad. Td es el intervalo de
  tiempo durante el cual la acción de velocidad
  hace avanzar el efecto de la acción proporcional.
  La acción derivativa tiene la ventaja de ser de
  previsión, pero amplifica las señales de ruido.
  Nunca se usa sola, y es útil sólo en los
  transistorios.

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• Para Td0.5

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• Se observa que debido a que el error es en un
  inicio relativamente muy alto, el control,
  practicamente se dispara debido a la acción
  derivativa. Después el error decae suavemente, y
  el efecto derivativo decae también. Al final
  queda el efecto proporcional que sólo se aproxima
  a la referencia.
• Agregando el efecto de saturación.

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• Se observa que se presenta prácticamente el
  mismo comportamiento anterior, sólo que con más
  transitorios notorios debidos a la acción
  derivativa.

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PID

• Proporcional Integral Derivativo
• Aún cuando el control proporcional-integral es
  adecuado para la mayoría de las situaciones de
  control, no es adecuado para todas las
  situaciones. Hay algunos procesos que presentan
  problemas de control muy difíciles que no pueden
  manejarse con un control PI.

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PID

• Específicamente, hay dos características de
  procesos, para los cuales no es suficiente un PI
• Cambios muy rápidos en la carga
• Retardos de tiempo grandes entre la aplicación de
  la acción correctora y el aparecimiento de los
  resultados de dicha acción en la variable medida.

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PID

• En los procesos en que se presente alguno de
  estos casos, la mejor solución puede ser un
  control PID.
• Esta acción combinada tiene las ventajas de cada
  una de las tres acciones de control individuales.
• La ecuación de un PID está dada por

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PID

• la función de transferencia es
• y su diagrama a bloques es

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PID

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PID

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PID

• Observamos que en general el control PID cumple
  con los objetivos deseados, aunque este se
  apreciaría mejor en un una planta con dinámicas
  de retardos y cambios rápidos.
• A continuación se agrega el efecto de saturación
  del dispositivo corrector final.

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PID

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PID