INTRODUCCION A LA CRITICALIDAD AUTO-ORGANIZADA

1
INTRODUCCION A LA CRITICALIDAD AUTO-ORGANIZADA

• Raúl Sánchez

Universidad Carlos III de Madrid
2
Por qué SOC ha despertado tanto interés?

• Porque es el primer mecanismo dinámico que podría
  quizás explicar la exagerada ocurrencia de
  autosimilaridad que encontramos en la naturaleza.
• Porque SOC no requiere la existencia de ninguna
  simetría para producir autosimilaridad (que si
  exigen los demás mecanismos conocidos), siendo
  esta la situación más común en la naturaleza.
• Porque parece natural pensar que este paradigma,
  en caso de ser correcto, podría usarse para
  encontrar maneras de controlar aquellos sistemas
  que muestran este tipo de comportamiento.

3
En qué consiste la autosimilaridad?

• Intuitivamente
• Un sistema es autosimilar si magnificando una
  parte del mismo se recupera el sistema completo.

La autosimilaridad puede ser
exacta/aproximada continua/discreta absoluta/estad
ística
4
Formas frecuentes de autosimilaridad en la
naturaleza

• Fractales
• Forma de ríos, costas, paisajes montañosos,
  entramados neuronales o capilares, frente de
  propagación de fuego, fenómenos de crecimiento,
  procesos de percolación....

Leyes de Potencia PDF de los tamaños y/o
duraciones de terremotos , estallidos solares,
emisiones de rayos-X de agujeros negros, guerras,
epidemias, transporte de vortices en
superconductores, fuegos forestales...
transporte turbulento en plasmas de fusión?
5
EJEMPLO FRACTALES
Algoritmo
Resultado Paisaje montañoso
6
LEY DE POTENCIA GUTENBERG-RICHTER
Terremotos de magnitud 4 o superior acaecidos
durante 1995 (magnitud logE- liberada)
7
EJEMPLO Autosimilaridad aproximada y discreta
Conjunto de Mandelbrot
8
EJEMPLO Autosimilaridad exacta y discreta
Koch Flake
9
EJEMPLO Autosimilaridad exacta y
continua(despreciando rotaciones)
Espiral Logarítmica
10
Definición matemática de autosimilaridad y
autoafinidad

• Si los exponentes a, b, ... son iguales, se dice
  que la función es autosimilar.
• Si los exponentes a, b,... son diferentes, se
  dice que la función es autoafín.
• Toda ley de potencia verifica esta propiedad.

11
FINITE-SIZE SCALING

• Normalmente, todo sistema real tiene tamaño
  finito, L
• Si el sistema es autosimilar, se esperaría que
  sus propiedades escalasen de alguna manera con su
  tamaño

12
Autosimilaridad y autoafinidad estadísticas

• Donde

• Ejemplo sistemas dinámicos fuera del equilibrio.

13
Cómo es un sistema cuya dinámica exhibe leyes de
potencia?
.
Puesto que las leyes de potencia permanecen
invariantes bajo cambios de escala, en un
sistema tal no puede haber escalas
características, sino que todas las escalas
participan en la dinámica. En el caso de los
terremotos, su frecuencia es inversamente
proporcional a su tamaño. Por ello, hay siempre
una probabilidad diferente de cero de que suceda
un terremoto de cualquier tamaño. Sin embargo,
estas escalas están relacionadas entre sí si
tiene lugar un terremoto de una magnitud
concreta, lo probabilidad de que el siguiente sea
mayor se reduce mientras que es más probable que
sea menor. Y la sucesion de muchos pequeños, hace
más probable uno grande.
14
AUTOSIMILARIDAD Y CORRELACIONES
De esta manera, cada escala controla la
intervención en la dinámica tanto de escalas
mayores como menores. El que esta interrelación
entre escalas sea igual para cualquier escala
de referencia es, por tanto la causa de la
autosimilaridad del sistema.
Puesto que cualquier escala depende por tanto de
todas las demás en el sistema, existirán
correlaciones entre todas las escalas. Si nos
fijamos en las escalas espaciales, esto implica
que la longitud de correlación tiene que hacerse
del orden del máximo tamaño permitido por el
sistema. Y si el tamaño del sistema tiende a
infinito, la longitud de correlación diverge.
15
SOC exige estar fuera del equilibrio!
En sistemas en equilibrio, las correlaciones
permanece finita salvo durante las transiciones
de fase, en que divergen. Además, la transición
solo se alcanza ajustando externa y
cuidadosamente los parámetros del sistema ( fine
tuning ).
Por tanto, solamente sistemas fuera del
equilibrio serán capaces de auto-organizarse para
exhibir la autosimilaridad (estadística) descrita
anteriormente. Por tanto, el sistema estará
necesariamente perturbado por una fuente externa
y será abierto, para poder alcanzar un regimen
estacionario cuando las pérdidas compensen el
forzado externo.
16
INGREDIENTE ESENCIAL
Pero no todo sistema abierto y fuera del
equilibrio puede exhibir auto-similaridad (al
menos, en ausencia de simetrías). Para ello es
también necesario que el intervalo de tiempo
característico entre dos perturbaciones
consecutivas del sistema por parte de la fuente
externa sea mucho mayor que el tiempo
característico necesario para que las distintas
escalas se re-organizen entre sí. Si esta
condición se cumple, el sistema permanecerá, en
promedio, en un estado estacionario
estadísticamente autosimilar, pudiendo exhibir
leyes de potencia y fractales.
17
MI DEFINICIÓN DE SOC
Se dice que un sistema exhibe criticalidad
auto-organizada si es abierto, es mantenido
fuera del equilibrio por una fuente externa, y
evoluciona desde cualquier estado inicial y de
manera natural hacia un estado estacionario que
presenta propiedades de autosimilaridad similares
a un punto crítico.
Para ello, la única condición es que el sistema
sea perturbado muy lentamente, a intervalos que
en promedio sean mucho mayores que el tiempo
característico de respuesta del sistema.
18
EJEMPLOS DE SISTEMAS SOC
Sistemas con umbrales locales de
inestabilidad En ellos, tras llegar al estado
estacionario, la fuente externa incrementa la
energía almacenada hasta superar localmente dicho
umbral. Para recuperar la estabilidad, el exceso
de energía se transporta a una posición
adyacente. La distancia entre ambas establece la
menor escala del sistema. El tamaño del sistema ,
la más grande. Si la nueva posición se torna
inestable, comienza una avalancha. Estas pueden
tener cualquier tamaño permitido en el sistema.
Sin embargo, si una de un cierto tamaño tiene
lugar, condiciona la probabilidad del tamaño de
la(s) siguientes, mecanismo que como vimos,
mantiene la autosimilaridad del estado crítico.
19
Propiedades

• El estado estacionario presenta un perfil que,
  en promedio, está por debajo del crítico y sin
  embargo, es capaz de transportar energía fuera
  del sistema.
• Las avalanchas responsables del transporte del
  sistema presentan leyes de potencias cuando se
  construyen las PDF de sus duraciones o tamaños.
• El sistema exhibe correlaciones temporales y
  espaciales de muy largo alcance.

20
MONTON DE ARENA
21
AVALANCHAS DE TODOS LOS TAMAÑOS Y DURACIONES
r
time
22
LEYES DE POTENCIA EN EL MONTON DE ARENA
PDF de las duraciones de las avalanchas
23
TRANSPORTE
Transporte promedio no nulo, aunque el sistema
esté en promedio por debajo del gradiente
crítico.
24
AUTOSIMILARIDAD
25
SISTEMAS SOC TERREMOTOS
Fuente externa los movimientos relativos de las
placas. Escala mínima una placa
tectónica Energía la tensión acumulada entre las
mismas. Umbral tensión máxima acumulable sin que
se produzca un terremoto Avalancha
desplazamiento violento de placas para relajar
un exceso de tensión. Tamaño de la avalancha
numero de placas implicadas. Movimiento de
placas (años) mucho más lento que el terremoto
(segundos)
26
LEY DE POTENCIA GUTENBERG-RICHTER
Terremotos de magnitud 4 o superior acaecidos
durante 1995 (magnitud logE- liberada)
27
MODELO SOC PARA TERREMOTOS
28
ES EL TRANSPORTE TURBULENTO DE PLASMA UN
FENOMENO SOC?
Fuente externa fluctuaciones debidas al
calentamiento. Escala mínima remolinos
turbulentos (eddies). Energía presión, densidad
o temperatura local.... Umbral presión crítica
(ballooning/intercambio), hi crítica
(ITG)... Avalancha transporte turbulento al
siguiente remolino . Tamaño numero de remolinos
implicados. Es el tiempo promedio necesario en
superar umbrales debido a las fluctuaciones o el
ruido mucho más lento que el transporte local de
partículas ?
29
Porqué se piensa que podría ser?

• SOC podría proporcionar un marco donde entender
• Bohm vs. Gyro-Bohm scalings al acceder a modos
  de confinamiento mejorado
• Perfiles canónicos
• Transporte medido cuando perfiles parecen
  subcríticos
• Importancia del borde en el transporte ----
  ELMs?

• Evidencias Experimentales
• Autosimilaridad de fluctuaciones electrostáticas
  en el borde
• del plasma (JET, W7-AS, TJ-Iu, LHD, ATF, ASDEX)
• Evidencia de transporte radial por avalanchas
  (DIII-D)