EPS-UAM Curso de doctorado

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Redes libres de escala

• EPS-UAM Curso de doctorado
• Modelos de Conectividad
• 2005-2006

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Concepto scale-free

• No hay longitud característica
• Distribución por ley de potencias
• Existencia de cutoff

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Redes en el mundo real

• Muy comunes en el mundo real internet, redes
  sociales, redes biológicas
• Existencia de hubs
• Robustas frente a ataques aleatorios
• Frágiles frente a ataques calculados

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Modelo Barabási y Albert (1999)

• Importancia de dinámica de la red
• Crecimiento
• Conexión preferencial (preferential attachement)
• Topología es subproducto de dinámica de red

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Crecimiento

• Grafos aleatorios y de mundo pequeño parten de
  número fijo de nodos
• Grafos libres de escala parten de un número
  pequeño de nodos y se van añadiendo a la red
• Mecanismo común en redes de mundo real

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Conexión preferencial

• Probabilidad de conexión en grafos aleatorios y
  de mundo pequeño independiente de grado del nodo
• En mundo real, nodos muy conectados tienden a
  atraer a los nuevos nodos probabilidad depende
  del grado

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Algoritmo (I)

• Se parte de número pequeño de nodos m0
• En cada paso de tiempo, se añade un nodo con m
  (lt m0) ramas
• Probabilidad de conexión a un nodo según su grado

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Algoritmo (II)

• Probabilidad de conexión
• En tiempo t, Ntm0 nodos y mt ramas
• Exponente a3, independiente de m

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Modelos teóricos

• Intentan reproducir resultados numéricos, y del
  mundo real, del algoritmo de conexión
  preferencial
• Modelo continuo
• Ecuación maestra
• Rate-equation

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Modelo teórico continuo (I)

• Barabási, Albert, Jeong (1999)
• Evolución temporal de grado de un nodo
• Distribución de los grados

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Modelo teórico continuo (II)

• Distribución de grados de los nodos independiente
  del tiempo y del tamaño de la red
• Estado estacionario de red libre de escala
• El menos plausible, por ser redes discretas

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Análisis según ecuación maestra (I)

• Dogorotsev, Mendes, Samukhin (2000)
• Estudio de probabilidad de que un nodo
  introducido en ti tenga grado k en t
• Ecuación maestra

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Análisis según ecuación maestra (II)

• Distribución de grados
• Similar a modelo continuo

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Rate-equation

• Krapivsky, Redner, Leyvraz (2000)
• Estudio de número medio de nodos con grado k en
  tiempo t
• Equivalente a estudio según ecuación maestra

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Crecimiento y conexión preferencial

• Son necesarias ambas características para generar
  una red libre de escala
• Si se elimina alguna de los dos, la red
  resultante no se parece a una red libre de escala

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Redes con crecimiento, sin conexión preferencial

• Probabilidad independiente del grado del nodo
• Distribución de grados con decrecimiento
  exponencial

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Redes sin crecimiento, con conexión preferencial

• Ley de potencias no es estacionaria
• Distribución de grados evoluciona desde una ley
  de potencias hacia una gaussiana

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Propiedades

• Distribución de grados con cola de ley de
  potencias
• Longitud de camino media
• Correlaciones
• Coeficiente de agrupamiento
• Espectro

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Longitud de camino media l

• Menor que para un grafo aleatorio
• Heterogéneo vence a homogéneo
• Logarítmico con tamaño de red
• Topología diferente de red aleatoria con
  distribución de grados de ley de potencia

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Correlaciones en grado de nodos

• Grados de nodos de grafo aleatorio sin
  correlación
• Estudio de número de pares de nodos conectados,
  con grados k y l
• Existencia de correlación en grado de los nodos
  en redes libres de escala

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Coeficiente de agrupamiento C

• Mayor que para red aleatoria
• Decrece con tamaño de red, N
• Diferente de redes de mundo pequeño, con C
  independiente de N
• No muy ajustado a algunas redes reales

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Espectro

• Forma triangular, con decaimiento según ley de
  potencias
• Diferente de forma semicircular de red aleatoria
• Comportamiento de mayor autovalor sugiere también
  correlaciones
• Crecimiento de número de ciclos con tamaño N

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Ejercicios

1. Realizar un programa que genere redes libres de
   escala según el modelo de Barabási y Albert

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Ejercicios

• Sean dos conjuntos Aai y Bbi, algunos de
  cuyos elementos se relacionan, ai,bj. Se
  genera una red en B de forma que existe la rama
  (bk,bl) si existe un am que se ha relacionado con
  los dos, am,bk, am,bl. Estudiar las
  propiedades del grafo resultante (scale-free, l,
  C, ...) variando la distribución de probabilidad
  (uniforme, gaussiana) al generar los pares
  ai,bj