Title: Funciones de Variables Aleatorias
1CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y
Función Generadora de Momentos
EstadÃstica Computacional
2Funciones de Variables Aleatorias
- Sea X v.a. con función de densidad (cuantÃa)
fX. Sea Y g(x). Entonces - X es v.a. discreta y g continua ?
Y g o X es v.a. discreta - X es v.a. continua y g continua ? Y
g o X sea v.a. continua
3Transformación de Variables
P(C) P x ? RX H(x) ? C P s ? ?
H(X(s)) ? C
4Transformación de Variables
Sea X una v.a. discreta con función de cuantÃa
f(xij)
f(x11) f(x31) f(xn1)
f(x12) f(xn2)
f(x13) f(xn3)
f(x1j) f(xnj)
Sea H(xij) yj una función que tiene la
propiedad de asignar un valor yj
a todo xij ?j ? J para i 1, 2, 3 ,... j
1, 2,...
5Transformación de Variables
Sea X v.a. con función de densidad (cuantÃa)
fX(x) Sea Y H(x) también es una variable
aleatoria. Entonces
Si H(x) continua
Si H(x) discreta
Y H( X) es v.a. discreta
Y H( X) es v.a. discreta
discreta
X es v.a.
Y H( X) es v.a. continua
Y H( X) es v.a. discreta
continua
6Funciones de Variables Aleatorias
X ? R ? g D R Y g(X)
v.a.
v.a.c.
fu continua, estrictamente monótona, derivable y
con derivada no nula en A ? D
Entonces
7Transformación de V.A. Continuas
G(y) P(Y ? y) P(3X 1 ? y)
8Funciones de Variables Aleatorias
Ejemplo fX(x) I?0,1?(x) g(x) ln x Sea
Y g o X ln X. Encontrar la densidad de Y
ln X
9Funciones de Variables Aleatorias
Solución Sea A ?0,1? ? D R Además g es
derivable y con derivada no nula en A
Entonces
10Caso X ? U (0,1) H(X) ln X
Sea X U(0,1) f(x) 1 0 lt x lt
1 Y H(X) ? Y ln X X H-1(Y) ?
X eY encontrar g(y)
G(y) P(Y ? y) P(ln X ?
y) P(X ? ey )
F(ey)
11Funciones de Variables Aleatorias
Solución Además, algunas propiedades de Y
son
12Un método operativo
X ? U (0,1) Y ln X derivando con respecto a
y tenemos
13Un método operativo
En general, sea X v.a.c. ? Y
X2 Consideremos X ? N(0,1), sea Y X2,
luego Y ? ?2(1)
14Ejercicio
Sea X ln Y ? N ( ? , ?2 ) Encontrar la
distribución de Y Nota Y se conoce como
distribución Log-normal.
15Distribución Log-Normal
Función de Densidad LN( 0, ?2)
16Función Generadora de Momentos
Definición Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad o
cuantÃa fX. Se llama función generadora de
momentos a ? D ? R R / ?X(t) E
etX t ?X(t) X
v.a.d. X v.a.c.
17Función Generadora de Momentos
- Observaciones
- Tal serie o integral pude no existir siempre ?
t ? D. - Sin embargo, t 0 existe siempre, y vale 1.
- Deseamos que exista V(0,?)?D y que además sea
derivable k-veces. - Cuando ?X(t)EetX no exista, podemos usar
?X(t)E?eitX? llamada función caracterÃstica.
18Función Generadora de Momentos
X ?X(t)
U(a,b)
P(?)
Exp(?)
N(?,?2)
19Función Generadora de Momentos
X ?X(t)
?(?,?)
B(n,p)
20Función Generadora de Momentos
Usando el desarrollo en serie de Maclaurin ?X(t)
?X(0) EX ?X(0) EX2
21Función Generadora de Momentos
En general, bajo condiciones de
regularidad ?nX(0) EXn
Finalmente Si Y ?X ? ? ?Y(t) e?t
?X(?t) Z X Y X ? Y ? ?Z(t) ?X(t)
?Y(t)
22Distribución Log-Normal
Función de Densidad LN( 0, ?2)
23Caso X ? U (0,1) H(X) e-X
Sea X U(0,1) f(x) 1 0 lt x lt 1
Y H(X) ? Y e-X X H-1(Y) ? X
- ln Y encontrar g(y)
G(y) P(Y ? y) P(e-X ? y)
P(- X ? ln y ) P(X ?? - ln y )
1 F(ln y)
24Transformación de V.A. Continuas
X ? ?X ? H ?X ?Y
Y H(X) v.a.
v.a.c.
H() continua, estrictamente
monótona, derivable y con derivada no
nula en A ? ?Y
Entonces
25Caso X ? U (0,1) H(X) X2
26Sea X N(m,s2) f(x) e
-? lt x lt ? Y H(X) ? Y X H-1(Y)
? X sY m encontrar g(y)
X m s
27Caso X ? N (m,s2) H(X) ln X
Sea X N(m,s2) f(x) e -? lt
x lt ? Y H(X) ? Y ln X X H-1(Y)
? X eY encontrar g(y)
28Caso X ? N (m,s2) H(X) eX
Sea X N(m,s2) f(x) e -? lt x
lt ? Y H(X) ? Y eX X H-1(Y) ?
X lnY encontrar g(y)
29Distribución LogNormal (0,1)
- Fenómenos aleatorios representados por variables
aleatorias con esta distribución - Diámetro de pequeñas partÃculas después de un
- proceso de chancado
- El tamaño de un organismo sujeto a un número
- pequeño de impulsos
- Rentas de familias consumo de electricidad
ventas en pesos etc. - Tiempo de vida de ciertos Ãtems
- Análisis de riesgo financiero en el cálculo del
VAN
30Distribución LogNormal (m, s2)
ln x - m s
2
_
x-1
e
f(x)
s
p
2
F(x)
No tiene expresión analÃtica.
2
EX em s /2 VX e2m s (es 1)
2
2
31Caso X ? N(0,1) H(X) X2
Sea X N(0,1) f(x) e -? lt
x lt ? Y H(X) ? Y X2 X H-1(Y) ? X
? Y . ó X - ?
Y encontrar g(y)
x
2
- ½
32DesafÃos ...
Sea X U(1, 3) H(X) 3X 1 J(X)
eX
Sea f(x) 2x 0 lt x lt 1 H(X) 3X
1 J(X) e-X
Sea f(x) e-x x gt 0 H(X) X3
J(X)
Sea f(x) ½ -1 lt x lt 1 H(X) 4
x2 J(X) ln X
3 (X 1)2
33x
n
-
-
1
e
x
2
2
x gt 0
)
f(
x
n
G
n
2
2
2