La hip

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La hipérbola

• Matemáticas Preuniversitarias
• Dra. Lourdes Palacios M.I.B. Norma Castañeda

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La hipérbola

• Una hipérbola es el conjunto de todos los
  puntos (x,y) en el plano, tales que la diferencia
  positiva entre las distancias de (x,y) a un par
  de puntos fijos distintos (los focos) es igual a
  una constante.

Representamos a los focos como F(c,0) y
F(-c,0) y a la constante como 2a. Si (x,y)
representa un punto de la hipérbola, que se
muestra a continuación
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(No Transcript)
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En el triángulo PCC de la figura anterior
Sea b2c2-a2
Entonces
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• El eje x que contiene dos puntos de la hipérbola
  se llama eje transversal el eje y, eje
  conjugado.
• Los puntos (?a,0) del eje transversal son los
  vértices, y el punto de intersección de los ejes
  (0,0), se llama centro.

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• Un punto (x,y) está en la hipérbola con vértices
  (?a,0) y focos (?c,0) si y solo si satisface la
  ecuación

• En la cual b2c2-a2.
• Para toda hipérbola existen dos líneas a las que
  la curva se acerca cada vez más en sus extremos.
  A estas rectas se les denomina asíntotas.
• Debemos decir que las parábolas no tienen
  asíntotas, por consiguiente , una hipérbola no
  es, como podría suponerse al ver diagramas mal
  trazados, un par de parábolas.

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La hipérbola representada por
, o,
Tiene asíntotas representadas por
y
Vamos a suponer que
Para valores positivos de x (primer cuadrante).
Para un valor dado de x veamos la diferencia d,
entre las ordenadas de los puntos de la hipérbola
y la recta.

• Multiplicamos el numerador y el denominador por
  y obtenemos

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• Ahora tenemos una constante en el numerador
  pero, cuando los valores positivos de x son
  grandes, ambos términos del denominador son
  grandes y positivos.
• Mientras mayor es el valor de x, mayor es el
  valor del denominador, y , por consiguiente d es
  menor. Sí d tiende a cero cuando aumenta x, lo
  cual demuestra que la recta es una asíntota de la
  hipérbola. En el caso de los otros tres
  cuadrantes se pueden emplear razonamientos
  semejantes para demostrar que sucede los mismo en
  ellos.

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• Una forma cómoda de trazar las asíntotas es
  graficar (?a,0) y (0, ?b) (aunque el segundo par
  de puntos no pertenece a la hipérbola) y trazar
  el rectángulo determinado por los puntos. Las
  diagonales de ese rectángulo son las asíntonas.
• En este caso hay dos lados rectos que contienen
  los focos y son perpendiculares al eje
  transversal.

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Propiedades de la hipérbola.

1. La curva es simétrica a ambos ejes, es decir, la
   recta focal y la mediatriz del segmento focal son
   ejes de simetría.
2. El punto de intersección de las dos rectas antes
   mencionadas es el centro de simetría de la curva,
   el cual se conoce como centro de la hipérbola.
3. Intersección con los ejes coordenados.

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Intersección con los ejes coordenados

• a)      Con el eje x
• Sea y0 entonces x2/a21 ? x? a
• A partir de este resultado se observa que en
  el eje focal existen dos puntos, V(-a,0), V(a,0)
  que se denominan vértices y equidistan una
  distancia a del centro.

b)     Con el eje y Sea x0 entonces
y2/b21, por lo tanto, y? bi. La
intersección con el eje y es imaginaria, por
tanto, no hay intersección con el eje real y la
hipérbola no corta su otro eje de simetría y se
le conoce como eje conjugado de la hipérbola.
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Interpretación geométrica de a, b y c

• Considere la figura que se muestra
• De la figura se observa que c2a2b2
• a es la distancia media entre los dos vértices de
  la hipérbola, semieje transverso.
• se define como eje conjugado, por tanto b
  representa la mitad de este eje.
• c se considera como una hipotenusa de un
  triángulo cuyos catetos son a y b, se define como
  la semidistancia focal,

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Excentricidad de la hipérbola

• Se conoce como excentricidad de la hipérbola a la
  relación que existe entre la distancia focal y la
  distancia entre los vértices.

donde egt1
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Asíntotas de la hipérbola

• Para una curva dada existe una recta que a medida
  que un punto de ella se aleja del origen, la
  distancia de ese punto a la recta decrece, es
  decir, tiende a cero a dicha recta se le
  denomina asíntota.

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En la figura se observa que las rectas
diagonales del rectángulo MNRS tienen por ecuación
Por otro lado, de la ecuación
Al despejar y de esta obtenemos
factorizando
En esta última ecuación, el valor de y para
valores muy grandes de x se reduce a
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Puesto que tiende a cero

sin embargo el radicando
siempre será menor a uno, por lo tanto
también será la raíz cuadrada. De aquí que el
valor

de la curva
siempre será menor que el valor de

, que corresponde a la
recta.
De lo anterior se puede concluir que las
diagonales y con ecuaciones
, son las asíntotas de la curva.
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Lado recto

• La longitud de la cuerda que pasa por el
  foco y es perpendicular a la recta focal se llama
  lado recto.

De la figura observamos que para obtener la
mitad del lado recto
Al sustituir el valor de x por c en la
ecuación
despejando y
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obteniendo
pero
sustituyendo
Si ahora sustituimos el valor de y en la
expresión, tenemos , pero el
lado recto es el segmento y
además por tanto,
por lo cual concluimos que el valor del lado
recto está dado por
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Recta directriz de la hipérbola

• Análogamente a la elipse las correspondientes
  rectas directrices están dadas por
• , o bien,
• es decir son simétricas

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Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en
el origen y eje focal paralelo al eje y

• Focos en el eje y equidistantes al origen

Ecuación de la hipérbola
Ecuaciones de las asíntotas
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Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro
fuera del origen y eje focal paralelo al eje x

• Hipérbola con centro fuera del origen y eje
  focal paralelo al eje x.

Ecuación de la hipérbola
Ecuaciones de las asíntotas
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Coordenadas de los elementos que la construyen
Vértices Focos Eje trans verso Eje con jugado Distancia focal Lado recto Excentricidad


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Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro
fuera del origen y eje focal paralelo al eje y

• Hipérbola con centro fuera del origen y eje
  focal paralelo al eje y.

Ecuación de la hipérbola
Ecuaciones de las asíntotas
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Coordenadas de los elementos que la construyen
Vértices Focos Eje trans verso Eje con jugado Distancia focal Lado recto Excentricidad


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Ecuación general de la hipérbola

• La ecuación general de la hipérbola cuyos
  ejes de simetría son paralelos a los ejes
  coordenados está dada por

, o bien,
en ella es condición necesaria que el producto
xy0, y que los coeficientes A y C de las
variables x y y sean de signos contrarios y
diferentes de cero.
A partir de su ecuación general, si se
completan cuadrados tenemos lo siguiente.
o bien,
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En cualquiera de las dos ecuaciones, el valor
del segundo miembro determina el lugar geométrico
que representa.
CASO 1


gt0, el lugar geométrico que representa
es la hipérbola.
gt0, o bien,
CASO 2

,se tendrá un punto en el plano.
, o bien,
CASO 3

lt0, no representa el lugar geométrico
llamado hipérbola.
lt0, o bien,
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Ejemplo

• De la ecuación general 9x2-4y290x1890.
  Determina la posición de su eje transversal y las
  coordenadas del centro.

Solución
Factorizamos términos comunes
9(x210x) -4y2-189
Completamos cuadrados
Factorizamos y simplificamos
9(x5) 2 -4y236
Multiplicamos por 1/36
Concluimos que su eje transversal es paralelo
al eje y. Las coordenadas del centro C(-5,0) por
tanto, se encuentra fuera del origen.