Sistemas de ayuda a la decisin

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias Tema 3. Preferencias y utilidad
Indice 1) Motivación. Criterio EMV. Paradoja SP
2) Preferencias sobre loterías. Simples y
compuestas 3) Teoría de la utilidad. Axiomas.
Equivalencia estratégica 4) Construcción de
modelos de preferencias. Funciones de
utilidad. Sesgos. Paradoja de Allais. 5) Actitud
frente al riesgo. Prima de riesgo. Aficción,
aversión y neutralidad. Medida de Pratt. 6)
Utilidad multiatributo. Independencia en
utilidad, mutua independencia en utilidad,
independencia aditiva. Exisistencia de
utilidad aditiva y multiplicativa para dos
atributos. Asignación multiatributo
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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Actitud frente al riesgo
• Muchos factores
• (nivel de riqueza, necesidades, aspiraciones,
  estado de ánimo,
• Suponemos más es mejor, es decir, utilidades
  us crecientes
• La forma de u representa la actitud frente al
  riesgo del decisor
• l ltp,a1-p,bgt y Cpa(1-p)bEMV

neutro
Aficción
aversión
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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Actitud frente al riesgo
• Neutro lC, elegimos con EMV (recta)
• Averso C gt l, ? pu(a)(1-p)u(b) lt u(C)
• Aficcionado l gt C, ? pu(a) (1-p)u(b) gt u(C)
• Prima al rieso de l es ? C-xs
• (xs equivalente en certidumbre)
• que es 0, gt 0, lt 0 respectivamente

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Actitud frente al riesgo
• 2) Comparar la actitud frente al riesgo de dos
  individuos
• Mayor concavidad ? mayor aversión?, No, u cóncava
  w?u? con ?gt1 es
• aún más cóncava y son estrategicamente
  equivalentes
• Aversion local al riesgo en x Pratt64 r(x)
  -u/u
• No le afectan las transformaciones afines
  positivas.
• r(x) lt 0 ? aficción al riesgo
• r(x) 0 ? neutralidad al riesgo
• r(x) gt 0 ? aversión al riesgo
• r1(x) gt r2(x), ?x ? ?1 gt ?2 (1º más averso que
  2º), Teorema
• Local r1(x)gtr2(x) para a x b ? ?1 gt ?2
  para cada lotería con
• premios en el rango a x b

El signo de r indica actitud
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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Actitud frente al riesgo
• Cambios en la actitud ante cambios en sus bienes
  
• Individuo con riqueza s y funcion u1()
• s aumenta en t unidades st cambia a u2(), (el
  valor del dinero cambia)
• Tomaríamos u2(x) u1(xt), recibir un premio de
  x euros después del
• aumento de fortuna equivale a recibir xt antes
  del aumento
• Supuesto r1(x) decreciente. Aumenta la riqueza en
  t unidades
• r2(x) r1(xt) lt r1(x), ? ?1 gt ?2 (por el
  teorema) ?
• al enriquecerse reduce la aversión al riesgo
  (típico)
• u(x) ab(exp(-cx)-kexp(lx)), (b,c,k,lgt0), r(x)
  decreciente
• u(x) -exp(-cx), (cgt0), constante
• u(x) ax2bxc ? creciente (apropiada?)

Ajuste de parámetros
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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Utilidad biatributo
• Consecuencias vector de niveles de atributos
  (x,y)
• Capturar las interacciones entre atributos y las
  actitudes frente al riesgo
• marginales y conjuntas
• Suponemos u(x1,y1) 1 y u(x0,y0) 0
• Asignación directa, por ejemplo con metodo
  equivalencia en probabilidad
• Buscar p / ltp,(x0,y0),1-p,(x1,y1)gt ? u(xs,ys)
  p.
• ? Demasiados puntos a asignar, imposible en
  muchas dimensiones

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Utilidad biatributo
• Facilitar la asignación buscando condiciones para
  tener formas funcionales
• de u separables u(x,y) f(ux(x),uy(y))
• u(x,y) c1 c2ux(x)c3uy(y)c4ux(x)uy(y)
• Asignación individual más estructura de la
  agregación de utilidades
• Independencia preferencial
• Y es peferencialmente independiente de X si las
  prefrencias por valores
• específicos de Y NO dependen del nivel del
  atributo X
• EJ Y duración de un proyecto, X coste, Y 5
  días gt Y 10 días con coste 100,
• ó 200 ó, sin importar el coste
• Mutua además preferimos coste barato sin
  importar el tiempo Y
• No siempre se da X domicilio (x1ciudad,x2selva
  ) preferen.independiente de
• Y coche(y1turismo,y24x4) Y no es
  preferencialmente independiente de X
• Esta condición no basta no tiene en cuenta
  resultados inciertos

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Utilidad biatributo
• Independencia en utilidad
• (Y independiente en utilidad de X ? Y
  preferencialmente independiente de X)
• Y es independiente en utilidad de X si las
  preferencias por loterías con cambios
• En los valores de Y No dependen del nivel fijado
  del atributo X
• EJ Y duración de un proyecto, X coste (x,ys)
  lt0.5,(x,5)0.5,(x,10)gt
• ?Ys sale el mismo independientemente del valor x
  de X
• Dependencia en utilidad
• l1lt1/2,(20,40)1/2,(60,40)gt, l2lt1/2,(30,40)1/2,
  (40,40)gt,
• l3lt1/2,(20,50)1/2,(60,50)gt, l4lt1/2,(30,50)1/2,
  (40,50)gt,
• l1 gt l2 ? l3 gt l4 X independiente e utilidad
  de Y, podría ser l2gtl1 y l3gtl4
• Y independiente en utilidad de X ? u(x0,) y
  u(x,) son estrategicamente
• equivalentes ? u(x,y) ?(x) ?(x)u(x0,y), con
  ?() gt ?x,y

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Utilidad biatributo
• x es preferencialmente independiente de y
• se proponene comparaciones
• por pares con un atributo y el otro fijo (en el
  nivel de referencia o el nivel inferior)
• Observamos si las prefrencias cambian al cambiar
  ese nivel
• x es independiente en utilidad de y
• idem, comparando loterías con premios del
  atributo
• X e Y independientes en utilidad mutuamente ( X
  i.u. Y e Y i.u. X) ?
• u(x,y) kxux(x) kyuy(y)(1-kx-ky)yx(x)uy(y)
  función multineal
• u(x,y) u(x,y0) u(x0,y) ku(x,y0)u(x0,y),
  donde
• (i) ux(x) es una función de utilidad sobre X
  normalizada por ux(x0)0 y ux(x1)1
• (ii) uy(y) es una función de utilidad sobre Y
  normalizada por uy(y0)0 y uy(y1)1
• (iii) kx u(x1,Y0) y
• (iv) ky u(x0,y1)

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Utilidad biatributo
• El producto uxuy modeliza interacciones entre
  atributos
• Las funciones ux, uy son funciones de utilidad
  condicionadas,
• y se asignan con el otro atributo fijo en un
  cierto nivel
• ?) Tenemos i.u. por ejemplo Y de X
• u(x?,y) kxux(x?) ky(1-kx-ky)ux(x?)uy(y)
• u(x?,y) kxux(x?) ky(1-kx-ky)ux(x?)uy(y)
• La forma bilineal tiene una representación
  estrategicamente
• equivalente cuando k/0
• u(x,y) kxux(x) kyuy(y) kkxkyux(x)uy(y)
• 1ku(x,y) 1kkxux(x)1kkyuy(y),
  mutiplicativa, donde
• k(1-kx-ky)/(kxky), que es la solución de
  1k1kkx1kky

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Utilidad biatributo
• Independencia aditiva
• X e Y son independientes aditivamente si ? x, x
  ? X, y, y ? Y
• Alt0.5,(x,y)0.5,(x,y)gt Blt0.5,(x,y)0.5,(x,
  y)gt, condición aditiva
• Al valorar resultados inciertos sobre ambos
  atributos, sólo hay que centrarse
• en un atributo cada vez, sin importar el valor
  del otro
• Mirando sólo un atributo para X tenemos en ambas
  50-50 para x, x y
• para Y, 50-50 para y, y (AB)
• No se da siempre compra coche, con xservicio
  malo, x servicio excelente,
• ypoca fiabilidad, ymucha fiabilidad, pero B gt
  A (atributos sustitutos)

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Utilidad biatributo
• X, Y son independientes aditivamente
• u(x,y) kxux(x)(1-kx)uy(y)
• u(x,y) u(x,y0) u(x0,y), con (i)-(iv) u(x,y) ?
  sólo asignar ux,uy, kx
• Es un caso particular de multilineal
• Bajo independencia en utilidad mutua, para saber
  si es multiplicativa o aditiva
• y para algún x2, x3 ? X, y2, y3 ? Y / (x2,y2)
  / (x2,y3) y (x2,y2) / (x3,y3)
• lt0.5,(x2,y2)0.5,(x3,y3)gt lt0.5,(x2,y3)0.5,(x3,y
  2)gt
• entonces u es aditiva, en otro caso es
  multiplicativa

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Utilidad biatributo
• Cómo interpretar la interacción entre atributos,
  es decir, el término
• (1-kx-ky)ux(x)uy(y)? Si x gt x, ygt y y las
  preferencias son crecientes en
• cada atributo
• (1-kx-ky) gt 0 ? los atributos son complementarios
  ? A gt B
• en condiciones de aditividad
• Valores preferidos de X e Y dan valores altos de
  ux y uy, y u también.
• Van en la misma dirección trabajan juntos para
  aumentar u
• EJ dos frentes, derrota en uno o los dos el
  éxito es la victoria en los dos
• (1-kx-ky) lt 0 ? los atributos son sustitutos ? A
  lt B
• en condiciones de aditividad
• Valores preferidos de X e Y dan valores altos de
  ux y uy, pero resta en u.
• Los valores preferidos se oponen, la resta se
  minimiza pues la correlación es -.
• EJ dos tiendas, éxito si al menos una tiene
  beneficios altos
• (1-kx-ky) 0 ?no hay interacción ? A B en
  condiciones de aditividad

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias
EJEMPLO normalizadas, más peor u(x,y)
kxux(x)kyuy(y)(1-kx-ky)ux(x)uy(y) ux(x)
10.375(1-exp(x/7.692)) uy(y)
12.033(1-exp(y/25)) kx0.72, ky0.13 ? 1-kx-ky
0.15, (kxky lt 1), x e Y son complementarios
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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Tres atributos
• El caso más general frente al más restrictivo
• Multilineal si X1, X2 y X3 son independientes en
  utilidad de sus complementarios
• u(x1,x2,x3) ? kiui(xi) ?(iltj)
  kijkikjui(xi)uj(xj) k123?kiui(xi)
• donde
• (i) ui(xi) es la función de utilidad normalizada
  ui(xi0)0, ui(xi1)1
• (ii) ki u(x10,,xi1,,xn0)
• (iii) kij u(x10,,xi1,,xj1,,xn0) - ? ki
• (iv) kijl . - ? ki - ? kij
• La independencia en utilidad mutua todo
  subconjunto es independiente en
• utilidad con su complementario
• Multiplicativa si X1 es independiente en
  utilidad de X1,X2, y X2,X3 y X1,X3
• son preferencialmente independientes de X3 y X2,
  respectivamente
• ? Todos son independientes en utilidad mutuamente

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias
Tres atributos u(x1,x2,x3) ? kiui(xi)
k?(iltj) kikjui(xi)uj(xj) k2?kiui(xi) Si
? ki ? 1? k ? 0, iku(x1,x2,x3)
?(1kkiu(xi)), -1 lt k lt ? (i), (ii) (iii) k
es solución de la ecuación 1 k ?(1kki) Si ?
ki 1 ? k 0, aditiva Si ? ki gt 1 ? -1 lt k lt
0, multiplicativa Si ? ki lt 1 ? k gt 0 ,
multiplicativa (raiz, cálculo numérico)
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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Tres atributos
• Aditiva X1, X2 y X3 son independientes
  aditivamente (es decir, las preferencias
• sobre loterías en X,1 X2, y X3 dependen sólo de
  sus distribuciones de
• probabilidad marginales y no de su distribución
  de probabilidad conjunta ?
• u(x1,x2,x3) ? kiui(xi)
• donde, idem (i), (ii)
• Bajo independencia en utilidad mutua, para saber
  si multiplicativa o aditiva
• y para algún x1, x1 ? X1, x2, x2 ? X2 y x3
  fijo
• lt0.5,(x1,x2,x3)0.5,(x1,x2,x3)gt
  lt0.5,(x1,x2,x3)0.5,(x1,x2,x3)gt
• Entonces u es aditiva, y multiplicativa en otro
  caso.

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias
Resumen Algún atributo Xj es independiente en
utilidad del complementario y Xj, Xi es
preferencialmente independendiente del
complementario ?i? Todos independientes en
utilidad muamente. SI Los atributos son
aditivamente independientes? SI Aditiva NO
Multiplicativa NO Cada atributo Xi es
independiente en utilidad del complementario? Si
Multilineal NO Otras formas
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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias
Asignación de utilidad multiatributo (5
pasos) 1.- Introducir terminología e ideas, para
familiriazar al decisor Identificar objetivos y
atributos (árbol) y consecuencias a considerar,
rango y escala de cada atributo y dirección de
incremento de preferencia en cada uno 2.-
Comprobar condiciones de independencia
relevantes independencia aditiva, independencia
en utilidad, para saber el tipo de función de
utilitidad multiatributo (aditiva,
multiplicativa, multilineal) 3.- Asignar
funciones de utilidad componentes ui
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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Asignación de utilidad multiatributo
• 4.- Asignar pesos o factores de escala
  establecer tantas relaciones de
• indiferencia entre pares de alternativas como
  constantes haya
• (supuesto aditiva o multiplicativa) preguntar por
  pi al decisor
• ltpi,(xi1)1-pi,(xi0)gt lt1,(x10,,xi,,xn0)0,-gt,
  xi un valor cualquiera
• piu(xi1)(1-pi)u(xi0) u(x10,,xi,,xn0) ? ki
  pi/u(xi),
• Si xixi1 ? piki,
• Si xi y xj / ltx10,,xi,,xn0gtlt x10,,xj,,xn0 gt
  ? kiui(xi) kjuji(xj)
• 5.- Chequeo de la consistencia, para detectar
  errores en u (no representa sus
• preferencias al contrastar con ejemplos
  hipóteticos). En general
• ll? ? comprobar Eul gt Eul
• Si no, repetir proceso de asignación para obtener
  preferencias consistentes

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Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de
las Preferencias

• Y en otros casos
• Asignación directa
• Transformar atributos desde los originales, para
  tener independencia
• X,Y no son independientes
• Defino SXY, TX-Y,
• que son independientes aditivamente con
  u(s,t)s2t
• ? u(x,y) u(s(x,y),t(x,y)) (xy)2(x-y)
  x2y22xy-x-y
• Usar ideas anteriores en las áreas en que si se
  tengan las condiciones de
• independencia ajustando escalas y origen
• Considerar condiciones de dependencia (Farquhar y
  Fishburn)
• Usar hipótesis más complicadas que implican
  utilidades más generales