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Lógica Temporal. Tablas semánticas.

• Beatriz Pérez Sánchez
• Lógica Computacional
• Curso 2005-2006
• Departamento de Computación

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Lógica Temporal Proposicional (PTL). Introducción.

• Además de los operadores del cálculo
  proposicional (?,?,,?),
• existen tres operadores unarios temporales
• always, denotado por ?, para cualquier instante
  t en el futuro,
• eventually, denotado por ?, para algún instante
  t en el futuro,
• next, denotado por ?, en el instante siguiente.

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PTL. Sintaxis y Semántica (I).

• La semántica de PTL da una interpretación, para
  las proposiciones y el tiempo.
• Define un conjunto de estados. Cada uno contiene
  una interpretación de las proposiciones.
• El tiempo se representa mediante transiciones
  entre estados.
• Una interpretación PTL se dibuja como un diagrama
  de transición de estados.

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PTL. Sintaxis y Semántica (II).

• Se da una demostración de cómo el valor cierto de
  la fórmula temporal
• A ?p v ?q se determina para cada estado s
  en la figura anterior.
• A es cierto en s0
• A es falso en s1
• A es cierto en s2
• A es falso en s3

s1
P q
P q
P q
s2
s0
P q
s3
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PTL. Sintaxis y Semántica (III).

• Una interpretación I para una fórmula PTL es un
  par (s,?) donde Ss1,s2,,sn es un conjunto de
  estados cada uno de los cuales es una asignación
  de valores T a las proposiciones atómicas de A y
  ? es una relación binaria entre estados.
• Una fórmula en PTL es satisfacible ssi existe una
  interpretación I (s, ?) y un estado s?S tal que
  ?s(A) T (el valor de A en s es T). Si I,s A
  para algún s?S entonces I se denomina modelo para
  A. Una fórmula A en PTL es válida si y sólo si
  para toda interpretación I de A y para todos los
  estados s?S, I,s A.
• El análisis hecho para la fórmula A ?p v ?q y
  la interpretación I puede repetirse utilizando la
  definición formal de interpretación.
• ? (s0) s1,s2 y además s1 q y s2 q ,
  concluimos que I, s0 ?q . Entonces I, s0 ?p
  v ?q por interpretación de la disyunción.

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PTL. Tablas Semánticas (I).

• El método de tablas semánticas se puede utilizar
  para obtener un proceso de decisión para la
  satisfacibilidad en PTL. Se añaden las siguientes
  reglas a las a- y ß-reglas del cálculo
  proposicional.

• Las a- y ß-reglas son exactas a las reglas del
• cálculo proposicional aplicadas a fórmulas
• temporales.

a a1 a2
?A A ??A
?A A ??A

• Las X-reglas tienen un estatus diferente.

ß ß1 ß2
?A A ??A
?A A ??A
X X1
?A A
?A A
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PTL. Tablas Semánticas (II).

• Tabla obtenida para la fórmula A(pvq) ?
  (pq) al aplicar a- y ß-reglas.

p q
s1
s0
p
s1
p q
s0
q
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PTL. Tablas Semánticas(III). Ejemplo.
A (? (pq) ? ? p)
s1
s2
s0
p q
p q
p q
. . .
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PTL. Tablas Semánticas (IV).

• Input Una fórmula PTL (A).
• Output Tabla semántica T para A.
• Cada nodo se etiqueta con un conjunto de
  fórmulas. Inicialmente T consta de
• un nodo simple, la raíz etiquetada con A.

• Elegir una hoja l que no esté marcada. l se
  etiqueta con un conjunto de fórmulas U(l).
• Si U(l) es un conjunto de literales, se comprueba
  si existe un par complementario de literales, en
  tal caso la rama se cierra. En caso contrario
  queda abierta.
• Si U(l) no es un conjunto de literales, elegir un
  A ? U(l)
• Si es una a-fórmula, crear un nuevo nodo l como
  hijo de l y etiquetarlo con U(l) (U(l)-A) U
  a1, a 2.
• Si es una ß-fórmula, crear dos nuevos nodos l y
  l como hijos de l y
• etiquetar con U(l) (U(l)-A) U ß1 y
  U(l) (U(l)-A) U ß2.
• Si U(l) consta sólo de literales y fórmulas next.
  Crear un nuevo nodo l como hijo de l y
  U(l)A1,,Am,Am1,,An. Si U(l)U(l) para
  l un antecesor de l, entonces no crear l , en
  su lugar conectar l a l.

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Lógica Temporal. Tablas Semánticas (V).
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Lógica Temporal. Tablas Semánticas (VI).

• El siguiente paso es construir una estructura a
  partir de una tabla completa y probar que se
  cumplen las condiciones para una estructura de
  Hintikka.
• Una estructura es una tripla H(s,?,t) donde
  Ss1,s2,,sn es un conjunto de estados, ?
  u1,u2,,un es un conjunto de conjuntos de
  fórmulas y t es una relación binaria entre
  estados.
• Para construir una estructura a partir de una
  tabla hay que tomar los X nodos como estados y
  definir s ? t(s) si existe un camino en la tabla
  desde s a s que no pase a través de otro estado.
  El conjunto de fórmulas asociadas con s es la
  unión de las etiquetas de los nodos de dicho
  camino.
• State path es un camino (l1, .., lk) en una tabla
  , tal que l1 es el nodo raíz, mientras que el
  resto ninguno es un X-nodo. Es posible que l1lk.

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Lógica Temporal. Tablas Semánticas (VII).

• Sea T una tabla semántica abierta la estructura H
  que se construye es
• S es el conjunto de X-nodos
• Sea si lk, un estado y l l1, .., lk si un
  state path que termina en lk.
• Entonces Uil U(l2) U U U(lk). Si l1 es
  la raíz añadir U(l1) a la unión.
• s ? t (s) si y sólo si s l1, .., lk s es
  un state path.
• Estructura construida para la tabla semántica del
  ejemplo, donde s0 es l3 y s1 es l4.

• Dicha estructura ha de ser una Hintikka
  structure.
• Pero además ha de ser una Linear Fulfilling
  Hintikka structure para A, (A es satisfacible).

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Lógica Temporal. Tablas Semánticas (VIII).

• Un grafo puede representarse como un grafo de
  componentes
• (Even, S. (1979) , Graph Algorithms,
  Computer Science Press, Potomac, MD).
• Bajo ciertas condiciones una estructura de
  Hintikka puede ser considerada como un grafo.
• Algoritmo que permite la construcción de
  fulfilling Hintikka structure Input
  Hintikka structure H.
• Ouput a) Fulfilling Hintikka structure en H,
  
• o b) informa de que no
  existe tal estructura.
• El algoritmo termina con un grafo vacío si y solo
  si no existe una linear fulfilling Hintikka
  structure en H.

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Lógica Temporal. Tablas Semánticas (IX).

• Teorema
• El método de tablas semánticas es un proceso
  de decisión acerca de la satisfacibility en
  PTL.

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Lógica Temporal. Tablas Semánticas (X).

• Resumiendo,
• Se construye la tabla semántica para la fórmula
  A. Si la tabla es cerrada, entonces A no es
  satisfacible. En otro caso hay que construir a
  partir de dicha tabla abierta la Hintikka
  structure.
• Obtenida la estructura se aplica el algoritmo
  que dada Hintikka structure obtiene fulfilling
  Hintikka structure en H, o bien informa de que no
  existe tal estructura.
• Si el grafo resultante es vacío, A no es
  satisfacible. En otro caso se obtiene del grafo,
  linear fulfilling Hintikka structure.
• Si H es una linear fulfilling Hintikka structure
  para A, se puede construir un modelo para A, es
  decir A se satisface.

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Bibliografía consultada

• Mordechai Ben-Ari. Mathematic Logic for Computer
  Science (second edition), cap. 11, (2003).