GRAFOS

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GRAFOS

• HUGO ARAYA CARRASCO

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GRAFOS

• Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto
  (llamado conjunto de vértices o nodos) y E un
  subconjunto de VxV (conjunto de aristas).
• Gráficamente representaremos los vértices por
  puntos y las aristas por líneas que los unen.
• Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda
  arista debe unir exactamente 2 vértices.
• Llamaremos orden de un grafo a su número de
  vértices, V.
• Si V es finito se dice que el grafo es finito.
• Toda arista une dos vértices distintos

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ARISTAS y VERTICES

• Si la arista carece de dirección se denota
  indistintamente a,b o b,a, siendo a y b los
  vértices que une.
• Si a,b es una arista, a los vértices a y b se
  les llama sus extremos.
• Dos vértices v, w se dice que son adyacentes si
  v,w?V (o sea, si existe una arista entre ellos)
• Llamaremos grado de un vértice al número de
  aristas de las que es extremo. Se dice que un
  vértice es par o impar según lo sea su
  grado.

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CAMINOS

• Sean x, y ? V, se dice que hay un camino en G de
  x a y si existe una sucesión finita no vacía de
  aristas x,v1, v1,v2,..., vn,y. En este
  caso.
• x e y se llaman los extremos del camino
• El número de aristas del camino se llama la
  longitud del camino
• Si los vértices no se repiten el camino se dice
  propio o simple.
• Si hay un camino no simple entre 2 vértices,
  también habrá un camino simple entre ellos
• Cuando los dos extremos de un camino son iguales,
  el camino se llama circuito o camino cerrado o
  ciclo (sin aristas repetidas).
• Llamaremos ciclo a un circuito simple (no existen
  vertices repetidos excepto el primero y el
  ultimo)
• Un vértice a se dice accesible desde el vértice b
  si existe un camino entre ellos. Todo vértice es
  accesible respecto a si mismo

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EJEMPLOS DE GRAFOS

• Grafo regular Aquel con el mismo grado en todos
  los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos
  k-regular.

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EJEMPLOS DE GRAFOS

• Grafo bipartito Es aquel con cuyos vértices
  pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo
  que no haya adyacencias entre vértices
  pertenecientes al mismo conjunto

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EJEMPLO DE GRAFOS

• Grafo completo Aquel con una arista entre cada
  par de vértices. Un grafo completo con n vértices
  se denota Kn.

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EJEMPLOS DE GRAFOS

• Todo grafo completo es regular porque cada
  vértice tiene grado V-1 al estar conectado con
  todos los otros vértices.
• Un grafo regular no tiene por qué ser completo
• Un grafo bipartido regular se denota Km,n donde
  m, n es el grado de cada conjunto disjunto de
  vértices.
• A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3,
  y K2,5

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MATRIZ DE ADYACENCIA

• La suma de los grados de los vértices es igual al
  doble del número de aristas
• Sea G un grafo de orden n. Llamaremos matriz de
  adyacencia de G a la matriz nxn que llamaremos A
  (aij) donde aij 1 si i,j?A y aij 0 en
  otro caso.
• La matriz de adyacencia siempre es simétrica
  porque aij aji

v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 1 1 0 0 v2 1 0 1 1 0 v3 1
1 0 1 1 v4 0 1 1 0 0 v5 0 0 1 0 0
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GRAFOS

• Sea G un grafo de n vértices con n gt 1 y sea A su
  matriz de adyacencia. Se cumple que el valor del
  coeficiente ai,j de la matriz Ak es igual al
  número de caminos de longitud k con extremos vi y
  vj
• Si existe un camino de longitud m (m ? n) entre 2
  vértices cualquiera, entonces existe un camino de
  longitud ? n-1 entre esos dos vértices.
• Un grafo G se dice conexo si cada par de vértices
  está unido al menos por un camino.
• Una arista de un grafo G se dice de separación si
  G es conexo pero al suprimir la arista se divide
  en dos componentes conexos

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GRAFOS

• Un método para comprobar si un grafo es conexo es
  el siguiente
• Se halla la matriz de adyacencia y se eleva a la
  (n-1)-ésima potencia
• Se calcula la suma de las potencias de A hasta
  An-1
• Si todos sus elementos son ? 0, el grafo es
  conexo.
• Dados dos grafos G (V, E) y G (V, E), se
  denomina isomorfismo entre G y G a cualquier
  aplicación biyectiva fG ? G tal que si a, b ?
  V, entonces a,b?E ? f(a),f(b)?E.

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Grafos Eulerianos y Hamiltonianos

• Llamaremos camino euleriano a un camino que
  contiene a todas las aristas del grafo,
  apareciendo cada una exactamente una vez.
• Un ciclo euleriano es un camino euleriano que
  comienza y acaba en el mismo vértice.
• Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos
  que es un grafo euleriano.

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Grafos Eulerrianos y Hamiltonianos

• Si un grafo está formado por dos subgrafos
  eulerianos unidos al menos por un vértice y sin
  aristas en común, entonces es euleriano.
• Un grafo conexo G(V,A) es euleriano ? todo
  vértice tiene grado par.
• Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano
  ? tiene exactamente dos vértices de grado impar.

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Puentes de Konigsberg

• El problema consiste en partir de cualquier lugar
  , caminar sobre cada puente exactamente una vez y
  luego regresar a la posición inicial.

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Algoritmo de Fleury

• Si G es un grafo euleriano siempre es posible
  seguir la siguiente construcción de un circuito
  euleriano. Se empieza por un vértice arbitrario y
  se recorren las aristas arbitrariamente sometida
  a dos condiciones
• Se borran las aristas a medida que son
  atravesadas
• Solo se recorre una arista de separación si no
  queda otra alternativa

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Caminos Hamiltonianos

• Un camino hamiltoniano es un camino que recorre
  todos los vértices de un grafo sin pasar dos
  veces por el mismo vértice.
• Si el camino es cerrado se dice un ciclo
  hamiltoniano
• Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo
  hamiltoniano.
• A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una
  caracterización de cuando un grafo tiene un ciclo
  o un camino hamiltoniano.
• Si un grafo es conexo con V?3 y para cada par
  de vértices la suma de sus grados es mayor o
  igual que el número de vértices entonces es
  hamiltoniano.

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Problema del Vendedor Viajero

• En un grafo G con pesos se pretende encontrar un
  ciclo que pase por todos los vértices de forma
  que la suma de los pesos de las aristas escogidas
  para formar el ciclo sea lo menor posible.

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Ruta mas corta

• Un grafo con pesos es un grafo en el cual se
  asignan valores a las aristas y que la longitud
  de un camino en un grafo con pesos es la suma de
  los pesos de las aristas en el camino. Con
  frecuencia se desea determinar la ruta mas corta
  entre dos vértices dados. Dijkstra escribió el
  algoritmo que resuelve este problema.

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Algoritmo de Dijkstra

• Suponemos que los pesos son números positivos.
• Se desea determinar el camino mas corto de a
  hasta z.
• El grafo es conexo.
• Sea L(v) la etiqueta del vértice v.
• En algún momento algunos vértices tienen
  etiquetas temporales y otros permanentes.
• Sea T el conjunto de tienen etiquetas temporales.
• En principio todos los vértices tienen etiquetas
  temporales.
• En cada iteración el algoritmo modifica el estado
  de una etiqueta de temporal a permanente.
• El algoritmo concluye cuando z recibe una
  etiqueta permanente, L(z) proporciona la longitud
  mínima de a hasta z.
• El peso de la arista (i,j) es w(i,j)

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Algoritmo de Dijkstra

• Procedure dijkstra(w, a, z, L)
• L(a)0
• For todos los vértices x ! a do
• L(x) infinito
• T conjunto de todos los vértices
• // T es el conjunto de vértices cuya distancia
  mas corta a a no ha sido determinada
• While z pertenece T do
• elegir v en T con L(v) mínimo
• T T-v
• for cada x en T adyacente a v do
• L(x) minL(x),L(v) w(v,x)
• end
• end

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ARBOLES

• Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene
  ciclos.
• Los primeros dos grafos son árboles

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ARBOLES

• Por tanto, un grafo es un árbol ? entre cada par
  de vértices existe un camino y sólo uno.
• Un grafo se dice un bosque si sus componentes
  conexas son árboles.
• Teorema.- Sea G(V,E) un grafo. Son equivalentes
• a) G es un árbol
• b) Cada par de vértices distintos de V esta
  conectado por un único camino.
• c) G es conexo y toda arista de G es de
  separación
• d) G no tiene ciclos y V E 1
• e) G es conexo y V E 1
• f) G no tiene ciclos pero al añadirle una arista
  a G se crea un único circuito

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ARBOL GENERADOR

• Definición.- Sea G un grafo, un árbol generador
  de G es un subgrafo conexo de G que tiene los
  mismos vértices que G y no tiene circuitos.

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ARBOL GENERADOR

• Supongamos que a cada arista se le asocia un
  número positivo (su peso). Un árbol generador se
  dice de peso mínimo si la suma de los pesos de
  las aristas que lo componen es lo menor posible
• Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2
  algoritmos
• Kruskal Se van escogiendo las aristas de menor
  peso hasta conseguir un árbol de peso mínimo
• Prim Consiste en ir borrando las aristas de
  mayor peso posible y que no sean aristas de
  separación.
• Puede haber más de un árbol generador de peso
  mínimo, pero todos deben tener el mismo peso.

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ALGORITMO DE PRIM

• La idea básica consiste en añadir, en cada paso,
  una arista de peso mínimo a un árbol previamente
  construido. Más explícitamente
• Paso 1. Se elige un vértice u de G y se considera
  el árbol Su
• Paso 2. Se considera la arista e de mínimo peso
  que une un vértice de S y un vértice que no es de
  S, y se hace SSe
• Paso 3. Si el nº de aristas de T es n-1 el
  algoritmo termina. En caso contrario se vuelve al
  paso 2

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ALGORITMO DE PRIM
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ALGORITMO DE PRIM
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ALGORITMO DE KRUSKAL

• La idea básica consiste en elegir sucesivamente
  las aristas de mínimo peso sin formar ciclos.
• Paso 1. Se elige la arista de mínimo peso e y se
  considera Se.
• Paso 2. Sea e la arista de mínimo peso tal que
  eÏS y Se' es un grafo acíclico. Se hace SSe'.
• Paso 3. Si S tiene n-1 aristas, el algoritmo
  termina. En caso contrario se vuelve al paso 2.

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ALGORITMO DE KRUSKAL
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ALGORITMO DE KRUSKAL