Matemticas para la Computacin

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Matemáticas para la Computación
Solución del parcial de aritmética y combinatoria
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Aritmética
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• Se presentan 800 manuscritos en un concurso
  literario. Después de una primera selección, en
  la que se eliminan más de 300, se pretende
  almacenar los manuscritos seleccionados en cajas.
  En principio, se preparan cajas con capacidad
  para 6 manuscritos cada una, pero sobran 3 se
  agrandan las cajas para que contengan 7
  manuscritos cada una, pero sobran 5. Al final se
  almacenan en cajas con 11 libros cada uno.
  Cuántos manuscritos quedan en concurso después
  de la primer selección? (2.5pt)

x 3 (mod 6) x 5 (mod 7) x 0 (mod 11)
Paso 1.- Calculamos los qs q1 711 q2 611
Paso 2.- Calculamos los hs h1(7.11)-1(1.5)-1
5 en Z6 h2(6.11)-1 (6.4)-13-15en Z7
4
Paso 3.- Calculamos la solución general x
3.7.11.5 5.6.11.5 6.7.11k 2805462k
Paso 4.- solución menor que 500 x 2805462(-5)
495
5
2.- Encuentra un múltiplo de 60 mayor que 600
cuyas dos últimas cifras sean 40.
Hay que solucionar la ecuación 60x 40 100y,
es decir, 60x - 100y 40
Como mcd(60,100) 20 y 20 40, la ecuación tiene
solución
Dividiendo a izquierda y derecha entre 20, la
ecuación a resolver queda así
3x - 5y 2
Escribimos 1 en combinación de 3 y 5 3.2
5.1 1,
3.4 - 5.2 2
Multiplicando por 2 a izquierda y derecha
Solución particular de la ecuación es x0 4,
y0 2
Solución general x 4 5k, y 2 3k
6
Entonces tendremos que calcular k tal que 60(
4 5k ) gt600 240 300k gt 600 Con k2
240 300.2 840
7
3.- Halla 30 93128 125.47 55-1 en Z7 y
Z9. (2.5pt)
30 93128 125.47 55-1 en Z7 30 2 93
2 ? mcd(2,7)1 ?2?(7) 1 y ?(7) 6 ?2128 2
21.62 22 4 125 6 47 5 55 6 ? 55-1
6-1 6 Entonces 30 93128 125.47 55-1 2
4 6.5 6 0
8
30 93128 125.47 55-1 en Z9 30 3 93
3 ? 3128 32126 32 3126 0 125 8 47
2 55 1 ? 55-1 1 Entonces 30 93128
125.47 55-1 3 0 8.2 1 2
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Combinatoria
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1. Cuántos números de tres dígitos diferentes se
pueden formar con los seis números 2,3,4,5,7 y 9?
Cuántos de estos números son menores que
400?Cuántos son múltiplos de 5?
Cuántos números de tres dígitos diferentes se
pueden formar con los seis números 2,3,4,5,7 y 9?
6.5.4
Cuántos de estos números son menores que 400?
2.5.4
Cuántos son múltiplos de 5? 5.4
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2. Un grupo de debate está formado por 3 chicos y
3 chicas. Hallad el número de formas en que
pueden sentarse en fila si
Notación Bchico Gchica

• No pueden sentarse ni dos (o más) chicas juntas
  ni dos (o más) chicos juntos.

2 formas diferentes de sentarse BGBGBG, GBGBGB,
Formas de ordenarse las chicas 3! Formas de
ordenarse las chicas 3! TOTAL 2.3!.3!
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• No pueden sentarse dos (o más) chicos juntos.

4 formas diferentes de sentarse GBGBGB,
BGGBGB, BGBGGB, BGBGBG Formas de ordenarse las
chicas 3! Formas de ordenarse las chicas
3! TOTAL 4.3!.3!
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3. Un banco tiene que elegir 5 cargos
directivos director, subdirector, interventor,
tesorero, gerente entre 8 personas, de las cuales
3 son hombres A,E,O y 5 mujeres X,Y,Z,V,W.
Se pide calcular de cuántas formas puede hacerse
la elección si

• Los hombres A y E no pueden estar juntos en la
  misma elección.

Se pueden considerar tres casos

• Eliges A y no E

Maneras de elegir a las otras 4 personas.
Como los cargos son diferente, tendremos
elecciones.
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• Eliges E y no A

Maneras de elegir a las otras 4 personas.
elecciones.
Como los cargos son diferente, tendremos

• No eliges ni E ni A

Maneras de elegir a las otras 5 personas.
Al ser los cargos diferente, tendremos
elecciones.
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Resultado

• Entran al menos tres mujeres.

Se pueden considerar tres casos

• 3 y sólo 3 mujeres

Resultado

• 4 y sólo 4 mujeres

• 5 y sólo 5 mujeres

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• Si eliges 6 números diferentes del 1 al 10, al
  menos la suma de dos de ellos es impar. (1pt)

Vamos a repartir los números del 1 al 10 cuya
suma sea impar 1,2 3,4,5,6,7,8,9,10 C
omo hay 5 pares y escojo 6 números, elijo al
menos dos del mismo par.