Programacin Lineal III

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Programación Lineal III

• IO Emp 2000-01
• Prof. José Niño Mora

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Contenido

• Cómo resolver un PL? Método Simplex
• Estructura de soluciones óptimas
• Condiciones de optimalidad
• Análisis de sensibilidad

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Cómo resolver un PL?

• Las restricciones de un PL definen una región
  factible - es un poliedro.
• Si podemos calcular todos los vértices del
  poliedro, entonces podemos calcular el valor
  objetivo en esos puntos, y tomar el mejor como
  soluc. óptima
• El Método Simplex se mueve de vértice a vértice
  adyacente hasta que reconoce un vértice óptimo

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Tenazas (1,000)
L Demanda
30
Solución Óptima
25
Acero
20
T Demanda
15
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
30
15
0
Método Simplex - Geometría
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Solución óptima de este modelo de PL definida
por las restricciones disponibilidad de acero y
máquina de moldeado i.e., se calcula
resolviendo 1.5 L T 27 L
T 21 L 12 T 9 BENEFICIO 13012
1009 2,460
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Método Simplex - Álgebra

• 1. Excel Solver usa método Simplex para
  resolver PLs.
• 2. Simplex realiza una serie de pivotajes.
  Cada pivotaje comienza en un vértice y, o bien
  calcula un vértice adyacente mejor, o bien
  concluye que el vértice actual es el mejor
  posible.
• 3. En cada pivotaje, Simplex resuelve un
  sistema de n ecuaciones en n variables (las var.
  de decisión)
• 4. El número de pivotajes necesarios es aprox.
  proporcional al número m de restricciones en el
  modelo. Así, cuantas más variables de decisión, y
  más restricciones haya, más tiempo empleará el
  ordenador en resolverlo

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Preguntas

• Qué son los vertices en un PL general?
• Cómo reconocer un vértice óptimo?
• Cuál es el efecto de cambiar los datos?
• Respuestas
• Estructura de soluciones
• Condiciones de optimalidad, PL dual
• Análisis de sensibilidad

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Ejemplo

• Qué y cuánto zumo producir?
• Producción de dos tipos de zumo zumo 1 y zumo 2
• Datos del problema
• Zumo 1 Zumo 2
• Benefic./litro E 1,20 E 1,00
• Recursos Cantidad requerida (kgs)/litro
• Zumo A Zumo B Disponible (kgs)
• Naranjas 4 0 400
• Uvas 8 4 1000
• Piñas 0 1 120

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Ejemplo Formulación PL

• A Variables de decisión
• B Objetivo a optimizar (max beneficio/litr)
• C Restricciones (no exceder recursos)

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Ejemplo Restricciones

• C Restricciones (no exceder recursos)

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PL en Formato Estándar

• Def un PL en formato estándar es

• con las m restricciones linealmente indep.

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De PL a PL en formato estándar

• Todo PL se puede transformar en un PL equivalente
  en formato estándar
• Ej Si aparece restricción de la forma
• introducir variable de holgura

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Ejemplo PL estándar
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Vértice Solución Básica Factible (para PL en
formato estándar)

• Def. La Solución Básica correspondiente a las m
  variables con
  columnas correspondientes
• linealmente independientes es la sol. de
• Si la sol. tiene
• entonces
  es solución básica factible, o vértice (región
  factible)

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Ej solución básica factible

• Solución básica correspondiente a variables
• resulta de resolver
• es factible

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Ej solución básica factible

• Solución básica correspondiente a variables
• resulta de resolver
• factible

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Ej solución básica factible

• Solución básica correspondiente a variables
• resulta de resolver
• factible

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Solución Básica Factible Óptima (PL en formato
estándar)

• Cuántas variables han de ser positivas en una
  solución óptima?
• Teorema Si un PL en formato estándar tiene
  solución óptima, entonces existe una solución
  básica factible que es óptima
• Luego basta con m variables positivas
• Nota Para un PL general acotado con m
  restricciones y n variables, hay una solución
  óptima con no más de min(m, n) var. gt 0

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Condiciones de Optimalidad

• 1. Sea
  solución básica factible. Cómo saber si es
  óptima?
• Necesitamos condiciones/test de optimalidad
• Las condiciones de optimalidad de PL se basan en
  el análisis del PL dual
• PL dual Variable Primal -gt Restr. Dual
• Restr. Primal -gt Var. Dual

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Dual del PL en formato estándar

• Problema dual del PL en formato estándar
• Interpretación representa el precio
  sombra de la restricción/recurso i

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PL dual Ejemplo
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PL dual interpretación

• Consideremos la restricción dual
• Qué es ?
• El valor de los recursos para producir una unidad
  de actividad j
• Qué es ? El beneficio por unidad de
  actividad j

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Dualidad débil

• Teorema de Dualidad Débil
• Sean
• soluciones factibles para los PLs primal y dual
  anteriores. Entonces,
• Interpretación beneficio factible lt valor de
  recursos
• Corolario x e y óptimas si y sólo si

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Dualidad débil demostración
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Holgura Complementaria (Def.)

• Sean and
• soluciones factibles de los PL primal y dual.
• Decimos que
• satisfacen Holgura Complementaria si
• Interpretación económica

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Holgura complementaria

• Sean and
• soluciones factibles primal y dual
• Teorema de holgura complementaria
• las soluciones son óptimas
• si y sólo si cumplen Holgura Complementaria
• Interpr coste reducido/coste de oportunidad de
  invertir en actividad j es

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Teor. Holgura Complementaria Demostración
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Dualidad Fuerte

• Teorema de Dualidad Fuerte
• a) si los PLs primal y dual tienen soluciones
  óptimas, sus valores coinciden
• b) si el primal es no-acotado, el dual es
  no-factible
• c) si el dual es no-acotado, el primal es
  no-factible

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Condiciones de Optimalidad (formato estándar)

• 1. Sea
  solución básica factible. Es óptima?
• 2. Supongamos que
• es sol. dual factible con
• 3. Holgura Complementaria
• Entonces x, y son soluciones óptimas

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Qué solución dual usar?

• Elección natural soluc. del sistema m x m

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Ej solución básica factible

• Solución básica correspondiente a variables
• resulta de resolver
• es factible

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Ej Sol. Dual correspondiente

• Resolver sistema
• Es dual factible luego sol. Primal y dual son
  óptimas

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Análisis de Sensibilidad Cambios en el Objetivo

• Sean x, y soluciones óptimas (primal/dual) para
  PL en formato estándar
• Sustituyamos el beneficio para una
  variable no-básica (act. no-rentable) por
• Siguen siendo x, y óptimas?
• 1. x primal factible? Sí
• 2. y dual factible?

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An. Sens Cambios Objetivo II

• (2,3). Holgura Complementaria? y dual
  factible? Si ocurre

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Coste Reducido de una Actividad

• Def. El Coste Reducido de una actividad j es el
  coste marginal de oportunidad de invertir
  recursos en ella
• Cómo interpretar su signo? Por el contexto del
  modelo

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Análisis de Sensibilidad Cambios en los Recursos

• Sean x, y soluciones óptimas (primal/dual) para
  PL en formato estándar
• Sustituyamos el recurso por
• Siguen siendo x, y óptimas?
• 1. x primal factible? No necesariamente
• Sólo dentro de ciertos márgenes para
• 2. y dual factible/Holgura Compl.? Sí