Tesis Doctoral

1
Técnicas Geoestadísticas Espectrales. Análisis de
la Estacionariedad e Independencia
Emilio Porcu, Pablo Juan, Jorge Mateu
2
Índice General

• 1. Fundamentos básicos de la metodología
  geoestadística
• 2. Teoría espectral de procesos espaciales
• 3 Análisis de la estimación de la densidad
  espectral y
• de las estimaciones de los
• parámetros espaciales
• estudio de simulación
• 4. Comparación
• espacial espectral
• 5. Tests
• 5.1 Independencia
• 5.2 Estacionariedad
• 6. Aplicación
• 7. Conclusiones y futuras investigaciones

Geoestadística
3
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones

• Descripción de la dependencia espacial
• Kriging, predicción e interpolación

4
1.1 Descripción de la dependencia espacial
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 1.1 Descripción de la
dependencia espacial 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones

• Consideramos un proceso estocástico Z(u), u ?
  D, donde D es un subconjunto de Rd (d 2)

• El proceso Z se dice que es estrictamente
  estacionario si la correspondiente distribución
  de (Z(u1), Z(u2),..., Z(uk)) es la misma que la
  del vector (Z(u1 h),..., Z(uk h)), a
  condición de que cualquiera de los vectores u1,
  u2,..., uk, u1 h, u2h,..., uk h caiga dentro
  del dominio de D

• El proceso Z se dice que es estacionario de
  segundo orden ( estacionariamente débil ) si ?(u)
  ? ? y covZ(u1), Z(u2) C(u1 - u2), para todos
  u1 ? D, u2 ? D

5
1.1 Descripción de la dependencia espacial
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 1.1 Descripción de la
dependencia espacial 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones
Variograma (Matheron, 1971) 2?(u1-
u2) varZ(u1) - Z(u2)
Isotropía ?(h) ?0(h )
Sill Máximo valor que alcanza el
semivariograma Rango El límite de la
dependencia espacial Nugget Define la
variabilidad intrínseca
6
1.1.1 Modelos paramétricos
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 1.1 Descripción de la
dependencia espacial 1.1.1 Modelos
paramétricos 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones

• Algunos modelos paramétricos son
• Exponencial
• Esférico
• Gaussiano
• Lineal
• Potencial
• Matérn

7
1.1.1.1 Modelos paramétricos. Familia de Matérn
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 1.1 Descripción de la
dependencia espacial 1.1.1 Modelos
paramétricos 1.1.1.1
Familia de Matérn 2.
Teoría espectral de procesos espaciales 3.
Análisis de la estimación de la densidad
espectral y de las estimaciones de los
parámetros espaciales estudio de
simulación 4. Comparación espacial
espectral 5. Tests de independencia y
estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
Si nos centramos en el modelo de la familia de
Matérn (Matérn, 1960), tendremos la siguiente
expresión para la covarianza
8
1.2 Kriging, predicción e interpolación
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 1.1 Descripción de la
dependencia espacial 1.2 Kriging,
predicción e interpolación 2.
Teoría espectral de procesos espaciales 3.
Análisis de la estimación de la densidad
espectral y de las estimaciones de los
parámetros espaciales estudio de
simulación 4. Comparación espacial
espectral 5. Tests de independencia y
estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
El concepto de Kriging (en reconocimiento de los
trabajos pioneros de Daniel Krige (1951), y que
fue finalmente formulado por Matheron en 1963)
Los krigings tienen como objetivo minimizar la
varianza de error (?2E)
9
1.2 Kriging, predicción e interpolación
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 1.1 Descripción de la
dependencia espacial 1.2 Kriging,
predicción e interpolación 2.
Teoría espectral de procesos espaciales 3.
Análisis de la estimación de la densidad
espectral y de las estimaciones de los
parámetros espaciales estudio de
simulación 4. Comparación espacial
espectral 5. Tests de independencia y
estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
Los distintos tipos de kriging más utilizados
son

• Kriging simple
• Kriging ordinario
• Kriging universal

4. Cokriging 5. Kriging con factor externo
Validación de los resultados a posteriori
Validación Cruzada
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2. Teoría espectral de procesos espaciales
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones
Teorema de Bochner (Bochner y Martin, 1949). Una
función de variable compleja C sobre Rd es la
función de autocovarianza de un campo aleatorio
estacionario complejo en Rd y continuo en media
cuadrática, sí y solo sí puede ser representado
de la forma
para d2 y donde F es una medida finita no
negativa
11
2.1 Representación espectral de un proceso
estacionario
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso
estacionario 3. Análisis de la estimación de la
densidad espectral y de las estimaciones de
los parámetros espaciales estudio de
simulación 4. Comparación espacial
espectral 5. Tests de independencia y
estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
Representación espectral de un proceso aleatorio
Z(x) se interpreta en forma de superposición de
ondas de senos y cosenos de diferentes
frecuencias ?. Puede ser representado a través de
la siguiente integral de Fourier-Stieltjes
(Yaglom, 1987)
con Y funciones aleatorias con incrementos no
correlacionados, que nos lleva a
12
2.2 Representación espectral de un proceso no
estacionario
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 3. Análisis de la estimación de la
densidad espectral y de las estimaciones de
los parámetros espaciales estudio de
simulación 4. Comparación espacial
espectral 5. Tests de independencia y
estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
Z puede ser escrito como una media ponderada de
procesos estacionarios locales ortogonales Zi
para i1,,k, con cov(Zi(x),Zj(y))0 para i ? j
La representación espectral de Z es
con
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2.3 Densidad espectral
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 3.
Análisis de la estimación de la densidad
espectral y de las estimaciones de los
parámetros espaciales estudio de
simulación 4. Comparación espacial
espectral 5. Tests de independencia y
estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
La densidad espectral para un proceso
estacionario
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2.3.1 Densidad espectral de Matérn
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral
2.3.1 Densidad espectral de Matérn 3.
Análisis de la estimación de la densidad
espectral y de las estimaciones de los
parámetros espaciales estudio de
simulación 4. Comparación espacial
espectral 5. Tests de independencia y
estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
La densidad espectral para la familia de Matérn,
viene dada por
con ?gt 0, agt 0, ? gt 0 (? ?2 a2 ?) y d la
dimensión del proceso espacial Z. El vector de
parámetros de covarianza es ? (?, a, ?)
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2.3.1 Densidad espectral de Matérn
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral
2.3.1 Densidad espectral de Matérn 3.
Análisis de la estimación de la densidad
espectral y de las estimaciones de los
parámetros espaciales estudio de
simulación 4. Comparación espacial
espectral 5. Tests de independencia y
estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
Ventajas de la utilización de la familia de
Matérn

• Versatilidad de su uso
• Facilidad de paso de unos modelos a otros con
  el cambio de sus parámetros
• Gran utilidad en el campo espectral

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2.4 Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 2.4
Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de
las estimaciones de los parámetros
espaciales estudio de simulación 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Sea un proceso estacionario espacial Z(.) con
vector de parámetros de covarianza ?. Observamos
el proceso en N localizaciones igualmente
espaciadas en una malla regular D (n1 ? n2),
donde N n1n2. Definimos el periodograma IN(?)
como,
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2.4 Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 2.4
Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de
las estimaciones de los parámetros
espaciales estudio de simulación 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Teorema (Kim y Fuentes, 2000). Consideramos un
proceso estacionario Gaussiano Z con densidad
espectral f(?) en una malla D. Z observado en
D(n1?n2), donde Nn1n2, y el espaciado es ?.
Asumiendo n1??, n1/n2 ??, para una constante ?gt0,
tenemos a) El valor de la esperanza del
periodograma, IN(?) tiende
asintóticamente a f?(?) b) La varianza
asintótica del IN(?) es f2?(?) c) El valor del
periodograma IN(?) y IN(?) para ? ? ?, son
asintóticamente independientes
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2.4 Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 2.4
Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de
las estimaciones de los parámetros
espaciales estudio de simulación 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Si la densidad espectral es suavizada en una
vecindad ?0 , el IN(?0) será aproximadamente un
estimador insesgado para f(?0) El tapering es
una técnica que reduce los puntos subsidiarios
asociados con la ventana espectral, aunque
perdemos información
Los distintos tipos de data taper que vamos a
utilizar serán Rounded y Multiplicativo
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2.4 Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 2.4
Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de
las estimaciones de los parámetros
espaciales estudio de simulación 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Formamos el producto h(x)Z(x) para cada valor de
x(x1x2), donde h(x) es el data taper (Fuentes
y Smith, 2001)
El data taper tradicional es el multiplicativo,
producto tensorial de los dos data taper
unidimensionales, hM(j)h1(j1)h2(j2), donde
j(j1,j2), 1? j1? n1 y 1?j2?n2
20
2.4 Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 2.4
Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de
las estimaciones de los parámetros
espaciales estudio de simulación 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
El data taper multiplicativo define un rectángulo
incluido en la malla, y da menor peso (cercano a
0) a las observaciones en el borde de la malla,
peso 1 a las observaciones dentro del rectángulo,
y peso hM(.) que suaviza de 0 a 1 entre el
rectángulo y el borde de la malla. Por ejemplo,
h1(.), como para h2(.), podría ser un taper
m-coseno donde
21
2.4 Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 2.4
Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de
las estimaciones de los parámetros
espaciales estudio de simulación 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Siguiendo Fuentes (2002, 2004) y Fuentes y Smith
(2001) podemos definir el rounded taper. El
parámetro ? ? 0,n/2, con nmín(n1,n2), y el
parámetro ? ? 0,n/2. En primer lugar se definen
las nuevas coordenadas (r1,r2) ? -n1/2,n2/2 en
términos de (x1,x2) ? 1,n1? 1,n2
22
2.4 Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 2.4
Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de
las estimaciones de los parámetros
espaciales estudio de simulación 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Representamos la función de los pesos, hR(.), que
definen el rounded data taper, como
23
2.4 Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 2.1 Representación
espectral de un proceso estacionario 2.2
Representación espectral de un proceso no
estacionario 2.3 Densidad espectral 2.4
Estimación no paramétrica de la densidad
espectral, el periodograma 3. Análisis de la
estimación de la densidad espectral y de
las estimaciones de los parámetros
espaciales estudio de simulación 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Distribución de las zonas en el rounded taper
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3. Análisis de la estimación de la densidad
espectral y de las estimaciones de los parámetros
espaciales
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones

• Objetivos
• Análisis del estimador de la densidad espectral a
  través del periodograma
• Análisis de la estimación de los parámetros de
  dependencia espacial a través de los algoritmos
  espectrales

25
3.1 Estimación de la densidad espectral y
estimación de los parámetros
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 3.1 Estimación de la
densidad espectral y
estimación de los parámetros 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Proceso espacial bidimensional estacionario Z
medido en N n1? n2 datos regularmente espaciados
Expresión de la densidad espectral de Matérn para
altas frecuencias,
Considerando f0 la densidad espectral real del
proceso y f1 la seleccionada, si f0/f1 1,
cuando ? ?, todos los predictores
lineales bajo la densidad f1 son uniforme y
asintóticamente correctos (Stein, 1999)
26
3.1 Estimación de la densidad espectral y
estimación de los parámetros
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 3.1 Estimación de la
densidad espectral y
estimación de los parámetros 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Trabajando ahora en escala logarítmica, podemos
obtener el siguiente modelo lineal,
donde, ß0 log (?) y ß1 -2(?
d/2)
27
3.1 Estimación de la densidad espectral y
estimación de los parámetros
Si representamos log(IN(?)) frente a log(?),
obtendremos la relación lineal antes comentada
Rounded taper
No taper
Taper multiplicativo
28
3.1 Estimación de la densidad espectral y
estimación de los parámetros
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 3.1 Estimación de la
densidad espectral y
estimación de los parámetros 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Perspectiva de las densidades espectrales para un
conjunto de frecuencias de Fourier (?1, ?2)
Periodograma estimado usando rounded taper con
e d 3
Densidad de Matérn teórica con ? 0.02, a 0.10
y ? 1
29
3.1 Estimación de la densidad espectral y
estimación de los parámetros
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 3.1 Estimación de la
densidad espectral y
estimación de los parámetros 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones

• El impacto del número de puntos de la malla
• El uso de un particular data taper y su
  repercusión en la calidad de la densidad
  espectral y los parámetros estimados
• El papel de los parámetros que controlan la
  cantidad de tapering
• El impacto de los valores de la combinación de
  los parámetros rango y el sill en la calidad de
  la densidad espectral y los parámetros estimados

30
3.1 Estimación de la densidad espectral y
estimación de los parámetros
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 3.1 Estimación de la
densidad espectral y
estimación de los parámetros 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Simulamos procesos espaciales Matérn sobre una
malla regular de Nn1 n2 definido en el cuadrado
de lados n1 y n2
31
3.1 Estimación de la densidad espectral y
estimación de los parámetros
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 3.1 Estimación de la
densidad espectral y
estimación de los parámetros 4.
Comparación espacial espectral 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Se calcula sobre un grupo de frecuencias de
Fourier 2pf/n, donde f/n (f1/n1, f2/n2) ? JN
donde ?u ? denota el más grande de los enteros
menores o iguales que u
32
3.1.1 Análisis de la influencia de N
Representamos los p-valores de Observados frente
Esperados bajo Ho (no diferencias) y Ha
(diferencias reales) en el caso donde los datos
son observados en una malla regular de N2020,
1010, 55 , para ?0.5
33
3.1.2 Análisis de los estimadores de ? y ?

• Valores estimados del parámetro ? obtenidos a
  través de 1000 repeticiones, fijando 2020 y los
  escenarios definidos anteriormente

Rango 10, 166, 300 Sill 2.0, 2.9 ? 0.5,
1.0, 1.5, 2.0 e 10
34
3.1.2 Análisis de los estimadores de ? y ?
Valores estimados de obtenidos a
través de 1000 repeticiones, fijando 2020 y los
escenarios definidos anteriormente
Rango 10 Sill 2.0 ? 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
35
3.1 Estimación de la densidad espectral y
estimación de los parámetros
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 3.1 Estimación de la
densidad espectral y estimación
de los parámetros 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones

• El aumento de N mejora la detección de
  diferencias
• El uso de data taper, mejora la estimación de los
  parámetros espaciales. En particular, el rounded
  taper mejora el multiplicativo en algunas
  situaciones donde el parámetro de suavizamiento
  es mayor o igual a uno
• En la estimación de ?, los mejores resultados se
  obtienen si el parámetro del taper es 3. Pero
  para parámetros de tapering más grandes (gt5)
  aportan desviaciones relativas mayores y así
  peores estimaciones

36
4. Comparación espacial espectral
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones

• Para la comparación utilizaremos la familia de
  covarianzas de Matérn pero utilizando todas las
  frecuencias

• Los métodos de estimación utilizados son, MCP
  espacial y MCP, MCO y ML espectrales

37
4. Comparación espacial espectral
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 7. Conclusiones
y futuras investigaciones

• Mínimos cuadrados ponderados espaciales
• Método de Máxima Verosimilitud en la escala
  espectral (Crujeiras y González-Manteiga, 2005)
• Método mínimos cuadrados ordinarios (MCO) en la
  escala espectral
• Método mínimos cuadrados ponderados (MCP) en la
  escala espectral

38
4.1 Dependencia del periodograma para datos
regularmente espaciados
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 4.1 Dependencia del
periodograma para datos
regularmente espaciados 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones

• Tendremos cuatro proposiciones (Porcu et al.,
  2005)

Proposición 1 Tomamos ZSRF(?,C(h)), observado
en una malla regular n1?n2 y Nn1n2. Tomamos
IN(.) como el periodograma sin taper. Supongamos
que C(h) es tal que
Entonces,
39
4.1 Dependencia del periodograma para datos
regularmente espaciados
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 4.1 Dependencia del
periodograma para datos
regularmente espaciados 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Proposición 2 Tomamos ZSRF(?,C(h)), observado
en una malla regular n1?n2 y Nn1n2. Tomamos
ITN(.) como el periodograma con taper. Supongamos
que C(h) es tal que
Entonces,
40
4.1 Dependencia del periodograma para datos
regularmente espaciados
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 4.1 Dependencia del
periodograma para datos
regularmente espaciados 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Proposición 3 Tomamos ZSRF(0,C(h)), observado
en una malla regular n1?n2 y Nn1n2. Tomamos
IN(.) como el periodograma sin taper. La
estructura de la covarianza asociada al
IN(.),vendrá dada por,
41
4.1 Dependencia del periodograma para datos
regularmente espaciados
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 4.1 Dependencia del
periodograma para datos
regularmente espaciados 5. Tests
de independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Proposición 4 Tomamos ZSRF(0,C(h)), observado
en una malla regular n1?n2 y Nn1n2. Tomamos
ITN(.) como el periodograma tapered. La
estructura de la covarianza asociada al ITN(.)
vendrá dada por,
42
4.2 Estudio comparativo de las estimaciones de
los parámetros
Supongamos que los datos espaciales vienen
definidos por un modelo de Matérn observado sobre
una malla regular Nn1 n2, en el cuadrado unidad
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 4.1 Dependencia del
periodograma para datos
regularmente espaciados 4.2
Estudio comparativo de las estimaciones
del los parámetros 5. Tests de
independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
43
4.2 Estudio comparativo de las estimaciones de
los parámetros
Sill
Rango
?
44
4.2 Estudio comparativo de las estimaciones de
los parámetros
2020
3030
5050
4040
45
4.2 Estudio comparativo de las estimaciones de
los parámetros
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 4.1 Dependencia del
periodograma para datos
regularmente espaciados 4.2
Estudio comparativo de las estimaciones
del los parámetros 5. Tests de
independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Comparación del tipo de taper utilizado
46
4.2 Estudio comparativo de las estimaciones de
los parámetros

• El aumento de malla, mejora la estimación en
  todos los casos
• La estimación del sill suele mejorar con el
  aumento de ? hasta 1.5. Respecto al rango, se
  observa que con el aumento de éste, aumenta la
  dispersión en general. Sólo en casos concretos,
  como la estimación con el método
  MCO-espectral y tapering del tipo rounded (3,3),
  aparecen estimaciones coherentes
• En general, la dispersión de la estimación del
  parámetro ? aumenta con su valor

1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 4.1 Dependencia del
periodograma para datos
regularmente espaciados 4.2
Estudio comparativo de las estimaciones
del los parámetros 5. Tests de
independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
47
4.2 Estudio comparativo de las estimaciones de
los parámetros

• El periodograma es un estimador sesgado de la
  densidad espectral. El sesgo depende de la
  función taper a utilizar. Por tanto, las
  estimaciones obtenidas de los distintos métodos
  utilizados, tienen de forma intrínseca un sesgo
  asociado
• La combinación de taper en los parámetros e y d
  , reduce dicho sesgo para obtener mejores
  estimaciones
• Con respecto a la incorrelación entre valores del
  periodograma en diferentes frecuencias, hay que
  hacer notar que según las ecuaciones vistas en
  este capítulo, la correlación no es nula, fijado
  el valor de N (sabemos que sí lo es bajo
  condiciones límite)
• La existencia de esta correlación, provoca
  nuevamente sesgo en las estimaciones. En
  particular, hace que la estimación por regresión
  lineal (propuesta por Fuentes, 2000), no sea la
  más adecuada. Evidentemente esto provocan ciertos
  sesgos de importancia en el conjunto de
  estimaciones

1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 4.1 Dependencia del
periodograma para datos
regularmente espaciados 4.2
Estudio comparativo de las estimaciones
del los parámetros 5. Tests de
independencia y estacionariedad 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
48
5. Tests de independencia y de estacionariedad
5.1 Test de independencia
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de
independencia 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones

• Utilizaremos la familia de Matérn para altas
  frecuencias, siendo así ? y ? los parámetros
  críticos
• Si trabamos en escala logarítmica, podemos
  obtener el siguiente modelo

donde ß0 log(?) y ß1 - ? - 1
49
5.1 Test de independencia
La hipótesis nula densidad espectral es
constante o, equivalentemente, la no existencia
de dependencia lineal entre las variables
aleatorias log(f(?)) y log(?2) La hipótesis
alternativa existencia de dependencia espacial
bajo un proceso espacial proviene de la clase de
Matérn
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de
independencia 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
El test estadístico contrasta la nulidad del
coeficiente de correlación (Kendall) y se define
como,
50
5.1 Test de independencia
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de
independencia 6. Aplicación 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
Proceso de Matérn
Proceso de Ruido blanco
51
5.1.1 Estudio de las propiedades del test de
independencia bajo simulación
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de independencia
5.1.1 Estudio de las
propiedades del test 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Estudio completo de simulación para analizar el
nivel de significación y la potencia del test
planteado bajo una amplia variedad de escenarios
prácticos
Evaluación del nivel de significación del test
con nugget 2 y ? 1
52
5.1.1 Estudio de las propiedades del test de
independencia bajo simulación
Evaluación del nivel de significación del test
con nugget 2 y ? 10
Evaluación de la potencia del test con nugget
2 y ? 1 , 10
53
5.1.1 Estudio de las propiedades del test de
independencia bajo simulación
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de independencia
5.1.1 Estudio de las
propiedades del test 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones

• El nivel de significación del test funciona bien
  en general para cualquier tipo de taper usado,
  obteniéndose valores menores que el 10
• El taper multiplicativo, nos da el mejor
  resultado mostrando los niveles de significación
  más bajos
• El tapering produce resultados razonables si el
  parámetro e es bajo. En particular, e 10
  muestra mayores valores del nivel de
  significación
• En general, en presencia de efecto nugget, hay
  claro incremento en los niveles de significación

54
5.1.1Estudio de las propiedades del test de
independencia bajo simulación
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de independencia
5.1.1 Estudio de las
propiedades del test 6.
Aplicación 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Respecto a la potencia, cerca del 100 si no hay
nugget, sin depender del tipo de taper
Como conclusión, podemos afirmar que el test
presenta una muy razonable potencia, siendo capaz
de detectar la dependencia espacial existente en
los datos En presencia de un efecto nugget, el
test tiene que ser cuidadosamente utilizado
55
5.2 Test de estacionariedad
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de independencia
5.2 Test de estacionariedad 6. Aplicación 7.
Conclusiones y futuras investigaciones
donde, ß0 log (?) y ß1 -2(? d/2)
Consideramos el siguiente test para la igualdad
de ecuaciones de regresión (Rao, 1973)
El test se basa en el análisis clásico de la
varianza
56
5.2 Test de estacionariedad

• Seleccionar un número de subregiones, con igual
  tamaño si es posible
• Para cada subregión, estimar la densidad
  espectral sobre un rango de frecuencias de
  Fourier por medio del periodograma. Seleccionar
  un data taper
• Estimar la ordenada en el origen y la pendiente
  de la correspondiente ecuación de regresión
• Evaluar el test estadístico para ver si aparecen
  diferencias espaciales, por ejemplo debido a un
  comportamiento local diferente del proceso
  espacial

1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de independencia
5.2 Test de estacionariedad 6. Aplicación 7.
Conclusiones y futuras investigaciones
57
5.2 Test de estacionariedad
Presentamos un estudio de simulación para evaluar
? y 1-? del test propuesto Consideramos un
proceso Z medido sobre N 2020, 1010 y 55
bajo varios valores de rango y sill. Además el
proceso se supone proveniente de una familia de
Matérn con ? fijo igual a 1
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de independencia
5.2 Test de estacionariedad 6. Aplicación 7.
Conclusiones y futuras investigaciones
Nivel de significación del test
Potencia del test
58
5.2 Test de estacionariedad
Funciona correctamente con mallas de gran
tamaño Útil para detectar diferencias espaciales
cuando están presentes y detectar estacionariedad
cuando no hay diferencias espaciales Procedimient
o para detectar la no estacionariedad basado en
la representación espectral de un proceso no
estacionario en el caso particular de la familia
de Matérn de densidades espectrales
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 5.1 Test de independencia
5.2 Test de estacionariedad 6. Aplicación 7.
Conclusiones y futuras investigaciones
59
6. Aplicación
6.1 Variables y zona de estudio
Variables de estudio (datos tomados por el CIDE)
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 6.1 Variables
y zona de estudio 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
60
6.1 Variables y zona de estudio
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 6.1 Variables
y zona de estudio 7. Conclusiones y
futuras investigaciones
61
6.2 Mapas de predicción
Mapas de predicción de kriging obtenidos
Error estándar del simple kriging de CE
Simple kriging de CE
62
6.2 Mapas de predicción
Error estándar del kriging ordinario de CE
Kriging ordinario de CE
63
6.2 Mapas de predicción
Error estándar del cokriging de CE con arcillas
Cokriging de CE con arcillas
64
6.2 Mapas de predicción
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 6.1 Variables
y zona de estudio 6.2 Mapas de
predicción 7. Conclusiones y futuras
investigaciones
Hay que buscar un equilibrio entre todas las
variables, el mapa de error, el mapa de
predicción propiamente dicha, el método de
predicción y los resultados de la validación
cruzada, que harán que nos permitan elegir la
mejor opción, que en este caso concreto podría
ser la utilización del mapa de cokriging de la
variable CE con la materia orgánica
65
6.3 Análisis espectral
Dividiremos la región en cuatro zonas
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 6.1 Variables
y zona de estudio 6.2 Mapas de
predicción 6.3 Análisis espectral 7.
Conclusiones y futuras investigaciones
66
6.3 Análisis espectral
Como disponemos de tanta casuística, analizamos
el periodograma bajo los siguientes casos Matérn
teórico, no taper, rounded taper y taper
multiplicativo (data taper con parámetros 1, 3,
5, 10)
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 6.1 Variables
y zona de estudio 6.2 Mapas de
predicción 6.3 Análisis espectral 7.
Conclusiones y futuras investigaciones
67
6.3 Análisis espectral

• Respecto al contraste de dependencia espacial,
  los pasos a seguir son
• Definimos el conjunto de frecuencias y evaluamos
  el periodograma
• Calculamos la correlación entre el log(IN(?)) y
  log (?2)
• Calculamos el test estadístico
• Analizamos el resultado del test para ver si se
  rechaza la hipótesis de independencia espacial
• (Rechazaremos si t ? (-2, 2))

1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 6.1 Variables
y zona de estudio 6.2 Mapas de
predicción 6.3 Análisis espectral 7.
Conclusiones y futuras investigaciones
68
6.3 Análisis espectral
1. Fundamentos básicos de la metodología
geoestadística 2. Teoría espectral de
procesos espaciales 3. Análisis de la estimación
de la densidad espectral y de las
estimaciones de los parámetros espaciales
estudio de simulación 4. Comparación
espacial espectral 5. Tests de independencia
y estacionariedad 6. Aplicación 6.1 Variables
y zona de estudio 6.2 Mapas de
predicción 6.3 Análisis espectral 7.
Conclusiones y futuras investigaciones
Finalmente, analizamos el test de
estacionariedad, observando posibles diferencias
entre las cuatro subregiones Obtendremos los
distintos periodogramas (distintos para cada
subregión) y mostraremos los ajustes para log
(IN(?)) y log (?) (también distintos para cada
subregión)
69
6.3 Análisis espectral
p 0.02
70
7. Conclusiones y futuras investigaciones

• Utilización de los métodos espectrales en la
  modelización espacial
• El tapering es una operación que reemplaza la
  ventana espectral del periodograma consiguiendo
  mejores propiedades en picos subsidiarios, lo que
  lleva a una reducción de la desviación y el sesgo
• En la comparación entre los métodos de
  estimación, es de destacar que no siempre el
  MCP-espacial es el más robusto frente a los
  métodos espectrales, que suponen una muy buena y
  adecuada alternativa
• La creación, aplicación y análisis de los dos
  tests planteados de estacionariedad e
  independencia

71
7. Conclusiones y futuras investigaciones

• Contraste de hipótesis sobre los modelos
  espectrales no han sido considerados
• Posibilidad de estudiar la variable temporal
  mediante técnicas espectrales espacio-temporales
• En recientes trabajos, han aparecido contrastes
  sobre la separabilidad en espacio-tiempo bajo
  técnicas espectrales
• Finalmente, utilizar otras variables no
  analizadas en este trabajo como complemento de
  las analizadas y ampliar la zona de estudio

72
(No Transcript)