Pr

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Métodos Directos para la resolución de Sistemas
de Ecuaciones Lineales
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Indice

• Aplicaciones de los Sistemas Lineales
• Método de eliminación de Gauss
• Limitaciones de los Métodos Directos

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Aplicaciones

• Una red eléctrica
• Leyes de Kirchhoff y Ohm
• Formulación algebraica
• Una red de calles
• Grafo dirigido
• Matriz de incidencia
• Formulación algebraica
• Expresión matricial
• La ecuación del calor

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Una red eléctrica
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Formulación algebraica Malla 1 R1 I1 R2 ( I1 -
I2 ) R4 I1 V Sistema de ecuaciones ( R1 R2
R4 ) I1 - R2 I2 V - R2 I1 ( R1 2R2 R4
) I2 - R2 I3 0 - R2 I2 ( R1 2R2 R4 )
I3 - R2 I4 0 - R2 I3 ( R1 R2 R3 R4 )
I4 0

• Leyes de Kirchhoff y Ohm
• Ley de los nudos
• Ibc I1 - I2
• Ley de las mallas
• Vab Vbc Vcd V
• Ley de Ohm
• Vbc R2 ( I1 - I2 )

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Una red de calles
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Grafo dirigido
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Formulación algebraica

• Sistema de ecuaciones lineales Forma
  matricial

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Matriz de incidencia
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Ecuación del Calor

• Matriz asociada

• Modelo matemático

T0 T1 T2 . . . Tn Tn1
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Resolución de Sistemas Lineales por Métodos
directos

• Teorema de Rouché-Frobenius
• Operaciones elementales
• Triangularización
• Sustitución regresiva
• Factorización LU
• Resolución de múltiples sistemas con la misma
  matriz
• Inversa por el método de Jordan-Gauss

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Teorema de Rouché-Frobenius

• El sistema Amnx b es compatible si y sólo si
• rank(A) rank(Ab)
• Un sistema compatible es determinado sii
• rank(A) n
• Un sistema compatible indeterminado tiene n -
  rank(A) variables libres
• Solución xc xp null(A)

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Operaciones elementales

• Eliminar fila i tomando la fila k como pivote
• lik aik / akk , aij aij - lik akj
• A(i,) A(i,) - L(i,k)A(k,)
• Escalar fila i dividiéndola por el pivote aii
• aij aij / aii
• A(i,) A(i,)/A(i,i)
• Permutar las filas i y j
• aij aji
• A(i,j,) A(j,i,)

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Fases de la eliminación

• Eliminación gaussiana
• Axb
• Triangularización
• Archivo triangul.m
• Uxc
• Sustitución regresiva
• Archivo regresiv.m
• xA-1b

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Factorización LU

• Sistema original
• Ax b
• LUx b

• Sistemas triangulares
• Ly b
• Ux y

• gtgt L,U lu(a)
• gtgt L,U,P lu(a)
• Resolución de múltiples sistemas con la misma
  matriz.
• Inversa por el método de Jordan-Gauss

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Limitaciones de los Métodos Directos

• Acumulación del error de redondeo
• Coste de la eliminación O(n3)
• Sensibilidad al error de redondeo
• Sistemas mal o bien condicionados
• Número de condición
• Estrategia de Pivotación Parcial
• Llenado de la matriz.
• Matrices dispersas

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Sensibilidad al error de redondeo

• Sistema mal condicionado
• un pequeño cambio la matriz causa un gran cambio
  en la solución.
• Sistema bien condicionado
• pequeños cambios en la matriz causan pequeños
  cambios en la solución.
• Condicionamiento de una matriz

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Número de condición de una matriz

• cond mide el mal condicionamiento
• cond(eye(n))1
• cond(matsingular) inf
• rcond mide el buen condicionamiento
• rcond(eye(n))1
• rcond(matsingular) 0
• malcon1\ti1, malcon2\ti1
• rcond y det

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Pivotación parcial

• Un algoritmo deficiente puede arruinar un sistema
  bien condicionado
• Matriz dosb
• Estrategia Elegir como pivote el elemento de
  mayor valor absoluto del resto de la columna
• Archivo pivparc.m
• Archivo resolver.m
• El operador \ para resolver Ax b

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Conclusión

• Los métodos directos son apropiados para matrices
  generales de tamaño moderado
• Es preciso aplicar una estrategia de pivotación
  para evitar que el error de redondeo crezca.
• Algunos sistemas son muy sensibles a estos
  errores mal condicionados.
• Los sistemas dispersos o estructurados merecen un
  tratamiento especial.