Repaso de conceptos bsicos de matemticas necesarios para establecer balances

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Repaso de conceptos básicos de matemáticas
necesarios para establecer balances

• Jesús Carrera
• IJA Ciencias de La Tierra
• CSIC

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Motivación

• Para actuar sobre el territorio es necesario
  cuantificar.
• Para ello
• Compresión del fenómeno (peculiaridades)
• Principios generales (Conservación de masa,
  energía, etc)
• Esto se puede hacer de muchas maneras y a muchas
  escalas.
• Escala integrada (cajas)
• Distribuida (mecánica de medios continuos,
  estadística, molecular o cuántica)
• El lenguaje que se emplea es el de las
  matemáticas, pero el dialecto depende de la
  escala

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Contenido

• Niveles de descripción de la naturaleza
• Balances de masa integrados (cajas)
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Balances de masa distribuidos en espacio
• Campos definiciones y conceptos básicos
• Operadores diferenciales gradiente y tal
• Teoremas integrales Gauss, Stokes, etc
• Ecuaciones diferenciales de balance conceptos y
  soluciones

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La naturaleza se puede describir a muchas escalas

• Los modelos agregados tratan los sistemas cajas
  y los describen a través de los valores medios de
  sus variables de estado, que reflejan los
  procesos internos y la interacción con otros
  sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido,
  temperatura media de un lago).

En ambos casos T(t)
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• Ejemplo 1
• Un lago que recibía un caudal de entrada de 110
  L/s con una salinidad (TDS) de 100 mg/L. Del
  mismo salía un arroyuelo de 10 L/s. Estudiar la
  salinización del lago al ponerse en marcha un
  proyecto de regadío.
• Como la cartografía es mala, deduce la superficie
  y volumen históricos del lago a partir de la
  observación de que se evapora 1 m/año y que el
  vaso del lago es cónico con pendiente lateral del
  1
• Deduce la concentración histórica del lago.
• Al ponerse en marcha el regadío, se derivan 70
  L/s del lago, de los que 10 vuelven como retorno
  de regadío, presumiblemente trayendo todas las
  sales que llevaba el agua de riego. Repite el
  balance de agua del apartado 1 para deducir la
  superficie y volumen a que tenderá el lago.
• Repite también el balance de sales para calcular
  el valor al que tenderá la nueva salinidad del
  lago.
• Sorprendido por el resultado del cálculo
  anterior, Eugenio analiza la situación y se da
  cuenta que dejarán de salir los 10 L/s del
  arroyuelo, por lo que te pide que recalcules como
  evolucionará en el tiempo la salinidad con esta
  nueva hipótesis.
• Sugiere una manera de reducir el impacto del
  secado del arroyuelo.
• (El lago es una CAJA)

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La naturaleza se puede describir a muchas escalas

• Los modelos agregados tratan los sistemas cajas
  y los describen a través de los valores medios de
  sus variables de estado, que reflejan los
  procesos internos y la interacción con otros
  sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido,
  temperatura media de un lago).
• La mecánica de medios continuos describe el medio
  mediante variables de estado, definidas sobre el
  continuo en el Espacio Geométrico Ordinario (EGO)
  y el tiempo, que se rigen por leyes macroscópicas
  (p.ej., la Ley de Hooke y la elasticidad, o la de
  Newton y la mecánica de fluidos)

En ambos casos, ahora T(x,t)
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• EJEMPLO 2
• Se produce accidentalmente una liberación
  desastrosa de 1 kg de un gas extremadamente
  tóxico a una altura de 200 m en un momento en que
  la velocidad del viento es de 10 km/h y se dan
  unas condiciones de estabilidad atmosférica de
  Pasquill tipo B. A una distancia de 2 km a
  sotavento se encuentra un pueblo. La cuestión es
  cuál es la concentración máxima que se llegará a
  alcanzar en el pueblo, cuándo ocurrirá y cuál
  será la extensión de la zona contaminada.

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Se pueden necesitar escalas mas detalladas
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La naturaleza se puede describir a muchas escalas

• Los modelos agregados tratan los sistemas cajas
  y los describen a través de los valores medios de
  sus variables de estado, que reflejan los
  procesos internos y la interacción con otros
  sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido,
  temperatura media de un lago).
• La mecánica de medios continuos describe el medio
  mediante variables de estado, definidas sobre el
  continuo en el Espacio Geométrico Ordinario (EGO)
  y el tiempo, que se rigen por leyes macroscópicas
  (p.ej., la Ley de Hooke y la elasticidad, o la de
  Newton y la mecánica de fluidos)
• La mecánica estadística describe el
  comportamiento de sistemas macroscópicos a partir
  del de partículas que obedecen leyes de la
  mecánica clásica (o de la cuántica). Para la
  agregación se utilizan herramientas estadística.
• La dinámica molecular estudia sistemas
  moleculares complejos mediante simulación
  numérica en la que se permite que átomos y
  moléculas interactúen bajo las leyes de la
  física. Se utiliza para estudiar el
  comportamiento de moléculas con las que no es
  fácil experimentar.
• La mecánica cuántica describe el comportamiento
  de átomos, moléculas y partículas elementales y
  sus interacciones sobre la base de cuantización,
  dualidad onda-partícula y descripción
  probabilística (inc. ppio de incertidumbre).

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Modelos agregados

• El estado del sistema se define por una (o
  varias) variables de estado, que (normalmente)
  evolucionan en el tiempo.
• Esta evolución está controlada por algún
  principio de conservación (masa, energía,
  cantidad de movimiento). Nosotros tenderemos a
  llamarlo balance (de masas o energía).
• Al escribir este principio de conservación, suele
  resultar una Ecuación Diferencial Ordinaria
  (EDO), que se ha de resolver.

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Planteamiento del Balance de masas escalar

• Balance Var. Almac. Entradas Salidas
• Permite evaluar la evolución temporal
• En estacionario Entradas Salidas
• Ejemplo
• Entradas Q, Ce
• Definición del medio (lago, reactor, rio, ) V,
  C
• Procesos que ocurren en el medio l
• Salidas Sale con la concentración media
• Concentración inicial C0
• Planteamiento del Balance

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Discusión del planteamiento

• Acotar y definir bien el medio suele ser una de
  las primeras tareas. Su geometría suele tomarse
  invariante, pero puede variar con el tiempo.
• Las entradas suelen ser un dato, aunque, en la
  realidad, se puede actuar sobre ellas (p.ej.
  Reducir Ce)
• Tiempo medio de residencia
• Procesos
• Contienen la chicha del fenómeno
• Pueden ser complejos

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Ejemplo

• Q 2 m3/dia Caudal
• V 80 m3 Volumen
• C017 g/m3 Conc. Inic
• l 0,1 dia-1 Const. Degradación
• Ce1000 g/m3 Concentración Entrada

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Solución estacionaria
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Evolución temporal

• Dos posibilidades
• Numérica
• Analítica
• Solución numérica
• Inicializar k0, C0Co
• kk1
• Aproximar derivadas
• Evaluar balance
• Despejar Ck1
• Repetir pasos 2-5 hasta acabar
• Ventajas Se puede hacer en hoja Excel, fácil,
  rápido
• Inconvenientes Ojo a enterarse de qué depende
  cada cosa y a errores numéricos

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Solución Analítica EDOs lineales

• Escribir ecuación de forma cómoda
• , donde
  y
• Resolver ecuación homogénea (hacer b0)
• Variación de las constantes suponer AA(t) y
  sustituir en ec. original
• Integrar
• Sustituir valores iniciales para calcular B
• Sustituir B en la solución ?

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Separación variables cuando a y b constantes

• Escribir ecuación de forma cómoda
• Se integra facilmente
• La constante de integración A se saca de la
  condición inicial
• Se sustituye A en la solución
• El paso 2 puede sustituirse por
• Que es idéntica a la obtenida en el paso 4

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Ejemplo 1 Balance de agua en la situación
inicial

• Entradas Salidas Qe Qs E
• luego E Qe - Qs 110 10 L/s 100 L/s
• Cambio de unidades
• E 100 L/s 3,15107 s/año10-3m3/L 3,15106
  m3/año
• La superficie del lago será tal que se puede
  evaporar este caudal E S.e
• Como la pendiente lateral es del 1, la
  profundidad en el centro del lago será de 10 m.
  Su volumen será

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Ejemplo 1 Balance de sal en la situación inicial

• Entrada de sal Salida de sal
• Qe Ce Qs.C
• luego

E
QeCe
QsC
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Ejemplo 1 Nuevo balance de agua tras el regadío

• Entradas Salidas
• Qe Qr E QR Qs
• Es decir
• E Qe Qr QR Qs 110 10 70 10 40
  L/s
• E 40 L/s 3,15107 s/año 10-3 m3/año

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Ejemplo 1 Nuevo balance de sales tras Regadío

• Entradas Qe Ce Qr Cr
• Salidas Qs C QR C
• Pero como toda la sal retorna, luego QrCr QRC
• Por tanto Qe Ce Qs C
• Es decir la concentración del lago no se ve
  afectada, lo cual es lógico ya que al lago le da
  igual que la evaporación se produzca en su
  superficie o en la de regadío.

Regadío
E
C
Qe.Ce
Qs.C
Qr.Cr
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Ejemplo 1 Balance de sales sin drenaje

• Entradas- Salidas Qe Ce
• La integración de esta ecuación es trivial
• es decir, si no hay salida, la concentración
  aumenta a un ritmo de 100 al año. El aumento es
  indefinido hasta que precipiten minerales, cosa
  que conducirá a la salinización del suelo y,
  probablemente, al abandono del regadío.

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Ejemplo 1 Qué se debe hacer

• Para evitar la salinización del lago, lo que se
  puede hacer es recoger el retorno del regadío
  mediante drenes y conducirlo a balsas de
  evaporación. Con ello, disminuye ligeramente el
  volumen del lago (se pierde el retorno de riego),
  pero se evita la salinización.

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Balance de masa distribuido

• Se hace en cada punto
• Se trabaja con campos.
• En lugar de derivadas se utilizan operadores
  diferenciales (grad, div,)
• Se plantean EDPs
• Medios Continuos

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Definiciones Campo, VER
Para las variables que no tienen sentido físico a
nivel puntual, entenderemos como valor puntual el
límite para volúmenes decrecientes de nuestra
VER Volumen elemental representativo, V mínimo
para que f adopte valor estable
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Coordenadas cartesianas.
Cambio de coordenadas
P es una matriz de rotación
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Tensores
Definición
Las variables que tienen sentido físico como
tales (p. ej., velocidad) son independientes del
sistema de coordenadas y sus componentes cambian
de manera que no se altera la variable al cambiar
el sistema de coordenadas. Este tipo de
magnitudes se llaman tensores.
Ejercicio
Mostrar que si v es un vector físico, sus
componentes cambian como
Cambio de coordenadas en matrices
Supongase en el sistema y
en Sustituyendo Resuta Analogamente
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Valores principales. Círculo de Mohr
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Campo escalar
Definición
Función escalar definida sobre el EGO
Ejemplos
Temperatura, presiones, viscosidad,
etc
Visualización
Depende de la dimensión del EGO. 1-D f vs x 2
ó 3-D curvas o superficies de igual valor del
campo curvas de nivel, isopiezas, isotermas,
isobaras, etc.
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Campo Vectorial
Definición
Función vectorial definida sobre el EGO
Visualización

• Casi solo en 2D.
• mediante flechas de longitud (grosor, color)
  proporcional al módulo del vector y orientadas
  según su dirección
• mediante las líneas de corriente, tangentes al
  campo en cada punto. En fluidos se emplean
  también las trayectorias y líneas de traza.

Ejemplos
Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc
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Campo Tensorial
Definición
Función tensorial definida sobre el EGO
Visualización
Difícil Mediante elipses orientadas según las
direcciones principales y de semiejes iguales a
la raíz de los valores principales
Ejemplos
conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o
deformaciones
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Gradiente
Definición
Operador vectorial que actúa sobre un campo
escalar (un operador vectorial es aquel cuyo
resultado es un campo vectorial) y viene dado
por
Propiedades
Ejemplo
Su dirección es la de máxima pendiente (la
de máxima variación del campo), su módulo es la
variación de por unidad de longitud. Cumple
Perpendicular a las isolineas de h Orientado
en el sentido creciente de las isolineas Tanto
mayor cuanto mayor cuanto más juntas estén las
isolineas.
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Divergencia
Definición
Operador escalar que actúa sobre un campo
vectorial, dado por
Ejemplo
Propiedades
Si f representa un flujo de materia, sus
derivadas indican cómo varía el flujo de materia
por unidad de longitud en cada dirección
coordenada. Por ello, la divergencia es la
variación de materia almacenada (o diferencia
entre salidas y entradas) por unidad de volumen.
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Rotacional
Definición
El rotacional es un operador vectorial definido
sobre campos vectoriales. Viene definido por el
producto vectorial entre el operador nabla y el
campo vectorial
Ejemplo
Propiedades
Indica la tendencia (local) a rotar del campo. Es
decir, es un campo igual al aumento lateral del
campo original por unidad de longitud. Se
orienta, según la regla de la mano derecha. El
gradiente de un campo es irrotacional
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Laplaciano
Definición
Es un operador escalar definido sobre un campo
escalar. Viene dado por la divergencia del
gradiente
Propiedades
Da una idea de la curvatura del campo.
También existe el Laplaciano de un campo
vectorial, definido como el gradiente de la
divergencia.
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Operadores tensoriales Jacobiano, Hessiano
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Flujo. Teorema de la divergencia

• Da sentido a la divergencia
• Se emplea mucho para establecer balances

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Identidades de Green
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Circulación. Teoremas de Stokes y de Green
L G
t f
Teorema de Green
Teorema de Stokes
Versión 2-D del Teorema de Stokes
Dada una superficie de borde L, la circulación de
un campo a lo largo del borde es igual al flujo
del rotacional del campo a traves de la
superficie
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EDPs de primer orden Acumulación
EDP
El balance de u en un volumen a con un término de
acumulación f viene dado por
Integración
La integración es trivial por separación Si a
y f son constantes queda
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EDPs de primer orden Degradación
EDP
La degradación de materia orgánica (u) puede
estar limitada por la propia concentración, u, o
por la disponibilidad de aceptadores de
electrones. En el primer caso, el balance de
materia orgánica en un volumen a es (lb/a)

Integración
La integración es trivial por separación Integran
do, queda Imponiendo condiciones iniciales Si
l es constante (1/ l es la vida media)

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EDOs de primer orden lineales
EDO
Si las entradas netas (entradas menos salidas)
por unidad de volumen son a y existe degradación
con constante l, el balance es
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El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicas
EDP


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El término difusivo. Ecuaciones parabólicas
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Ec. parabólicas. Cambio instant en contorno
Problema
Conducción de calor entre dos placas paralelas
separadas una distancia 2L. Inicialmente la
concentración es 0 y los extremos se ponen a
temp. u0.
u/ u0
x/L
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Ec. parabólicas. Solución para pulso instant.
Problema
Difusión, en medio infinito de una masa M.
Solución
Campana de Gauss de área M/a y desviación tipo

Para dimensiones n1, 2 ó 3
La conc. max.
Se reduce propordinalmente a
Si , Es
decir, Empieza a enterarse para tD0,1
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Transporte de un pulso instantaneo
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(No Transcript)
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Solución para inyección puntual continua

• Despreciando dispersión longitudinal (gradiente
  pequeño)