Ecuaciones de segundo grado

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Ecuaciones de segundo grado

• Cómo resolverlas?

Por Federico Zapata
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Los pasos a seguir son los siguientes

• Pasar todos los elementos a un lado.
• Identificar los coeficientes.
• Aplicar la fórmula.
• Cosas a tener en cuenta.

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Pasar todos los elementos a un lado
Cómo hacerlo?
Cómo debe quedar la ecuación?
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Cómo hacerlo?
Los elementos pasan de un lado al otro de la
igualdad cambiando su signo.
A un lado de la igualdad debe quedar únicamente
un cero.
Ver ejemplo
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Como ejemplo resolvamos la siguiente ecuación
4x2 - 5x 1 3x2 - 7x 4
Los elementos 3x2, - 7x y 4 pasan al otro lado
cambiados de signo, es decir, - 3x2, 7x y - 4
La ecuación quedará así
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4x2 - 5x 1 - 3x2 7x 4 0
Pasar a otro punto
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Cómo debe quedar la ecuación?
A continuación debemos realizar las sumas o
restas pertinentes con el objetivo de dejar la
ecuación en la forma
ax2 bx c 0
donde a, b y c son números reales.
Ver ejemplo
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En el ejemplo anterior 4x2 - 5x 1 - 3x2
7x 4 0 hemos de hacer las operaciones
siguientes
4x2 - 3x2 x2
- 5x 7x 2x
1 4 5
con lo que la ecuación quedaría
x2 2x - 3 0
Pasar a otro punto
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Identificar los coeficientes
Vamos a poner nombre a los coeficientes de las
indeterminadas, llamando
a al coeficiente de x2 b al coeficiente de x c al
término independiente
En el ejemplo
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La ecuación estaba de la forma x2 2x - 3 0,
por tanto
a 1
b 2
c - 3
Puntos que hay que tener en cuenta
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Observaciones
? Hay que tener en cuenta el signo de los
coeficientes. ? Cuando el coeficiente no está
escrito explícitamente, dicho coeficiente es 1 ó
- 1, según el signo. ? Si x o el término
independiente no aparecen en la ecuación, sus
coeficientes son cero.
Pasar a otro punto
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Aplicar la fórmula
La fórmula con la que se resuelven todas las
ecuaciones de segundo grado es la siguiente
En esta fórmula sustituimos a, b y c por sus
valores correspondientes.
Ver ejemplo
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En nuestra ecuación x2 2x - 3 0 teníamos a
1, b 2 y c - 3, con lo que la fórmula
quedaría
Lo único que resta es hacer las operaciones
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22 - 41(-3) 4 - (-12) 4 12 16
16 4
Significado del signo
Seguir con el ejemplo
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Significado del signo
En las ecuaciones de segundo grado vamos a tener
dos soluciones, una la obtendremos usando el
signo y otra usando el signo -. Las soluciones
se obtienen por separado.
Volver
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Una de las soluciones será - 2 4 es decir,
2/2 1 2
La otra solución será - 2 - 4 es decir, -6/2
-3 2
Pasar a otro punto
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Cosas a tener en cuenta
? Las ecuaciones de segundo grado pueden tener
una, dos o ninguna solución. ? Cuando no hay
término en x, la ecuación se puede
resolver pasando el término independiente al otro
lado y tomando raíces cuadradas. ? Cuando no hay
término independiente, la ecuación se
puede resolver sacando factor común la x (con lo
cual una solución es x 0) y reduciendo la
ecuación a una de primer grado.
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? La ecuación x2 x - 2 0 tiene dos
soluciones, x 1 y x - 2. ? La ecuación x2 -
6x 9 0 tiene una única solución, x 3. ? La
ecuación x2 1 0 no tiene soluciones reales.
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Por ejemplo, resolvamos x2 - 16 0.
Pasamos - 16 al otro lado, obteniendo x2 16, y
tomando raíces cuadradas en ambos lados nos queda
x ?4, por tanto las dos soluciones son 4 y -
4.
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Por ejemplo, resolvamos la ecuación x2 3x 0.
Sacando x factor común obtenemos x(x 3)
0. Para que un producto de números reales sea
cero uno de los dos debe ser cero, así que
tenemos dos posibilidades o bien x 0 (que es
una solución) o bien x 3 0, en cuyo caso x
- 3, que es la otra solución de la ecuación
inicial.