La Transformada de Fourier

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La Transformada de Fourier

• Procesamiento de Señales EIA CES, 2006
• Profesor Juan C. Ramírez

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Fourier

• Series de Fourier
• Transformada de Fourier
• Versión Continua
• Versión Discreta
• Transformada rápida de Fourier
• Transformada de fourier en 1 ó 2 dimensiones

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Una simple onda seno
5sin (2?4t)
Amplitud 5
Frecuencia 4 Hz
seconds
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Onda seno (discretizada)
5sin(2?4t)
Amplitud 5
Frequencia 4 Hz
Muestreada (256 muestras/s)
Duración 1 segundo
seconds
5
Ejemplo de alias (muestreo bajo)
Señal submuestreada (alias)
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Frecuencia de Nyquist

• La frecuencia de Nyquist es la mitad de la
  frecuencia de muestreo
• Fs gtFmax
• Consecuencia del teorema La frecuencia de
  Nyquist es la máxima que puede ser medida de una
  señal con certeza.

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Fourier

• Series de Fourier
• Transformada de Fourier
• Versión Continua
• Versión Discreta
• Transformada rápida de Fourier
• Transformada de fourier en 1 ó 2 dimensiones

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Series de Fourier

• Cualquier función periódica puede ser
  representada por la suma de senos y cosenos de
  diferentes amplitudes y frecuencias

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Será cierto?... Si.. Ya lo comprobamos en clase!

• Recuerdan como generamos señales cuadrados con
  ondas senoidales?

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Ok, comprobado y entonces?

• cualquier señal puede ser descrita por la suma
  de senos y cosenos
• En la vida real tenemos la señal final, y tenemos
  que entender (aprender) el modelo que hay en el
  fondo.

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qué hay detrás de una señal?

• Diversas componentes freq y amplitud

Dominio del tiempo (continuo o discreto)
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qué hay detrás de una señal?

• Diversas componentes freq y amplitud

Dominio de la frecuencia
Cómo hago este análisis en Frecuencia?
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Ejemplo EMG (pronación)
Señal EMG en dominio del tiempo. Muestreada a
10KHz
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Ejemplo EMG (pronación)
Señal EMG en dominio de la frecuencia
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Fourier

• Series de Fourier
• Transformada de Fourier
• Versión Continua
• Versión Discreta
• Transformada rápida de Fourier
• Transformada de fourier en 1 ó 2 dimensiones

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La transformada de Fourier

• Toma una función (o señal) y la transforma a otra
  función (o señal).
• Versión continua
• Cierra los ojos si no quieres ver integrales

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La transformada de Fourier

• Toma una función (o señal) y la transforma a otra
  función (o señal).
• Versión discreta

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Fourier

• Series de Fourier
• Transformada de Fourier
• Versión Continua
• Versión Discreta
• Transformada rápida de Fourier
• Transformada de fourier en 1 ó 2 dimensiones

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Transformada rápida de Fourier

• Fast Fourier Transform (FFT)
• Es un algoritmo muy eficiente para desarrollar la
  Transformada discreta de Fourier.
• Publicado en 1965 por Cooley Tukey
• Ejemplo
• En 1969, un análisis sísmico de 2048 puntos
  diferentes tomaba 13 ½ horas. Usando la FFT este
  mismo cálculo toma 2.4 segundos en la misma
  máquina.
• (Copiado de la no confiable, pero maravillosa
  Internet)

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Ejemplos de Transformadas de Fourier
Onda seno
Función delta
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Famous Fourier Transforms
Gaussiano
Gaussiano
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Famous Fourier Transforms
Función Sinc
Onda cuadrada
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Famous Fourier Transforms
Exponencial
Lorentz
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FFT de una exponencial decreciente
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Cómo vamos a utilizar Fourier en Procesamiento
de señales?
Convolución en dominio t
Sistema h(n)
x(n)
y(n)
X(jw)
H(jw)
Y(jw)
Convolución en dominio F
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Fourier

• Series de Fourier
• Transformada de Fourier
• Versión Continua
• Versión Discreta
• Transformada rápida de Fourier
• Transformada de fourier en 1 ó 2 dimensiones