Series

1
6. Series
2

• Sucesiones
• Veamos un ejemplo de sucesión compleja 1
  in

Si limn??zn L, decimos que la sucesión es
convergente.
3

• Otro ejemplo la sucesión converge.
  

4
Límite de una sucesión

• Una sucesión zn de números complejos zn xn
  iyn
• converge a c a i b sii la sucesión de partes
  reales xn
• converge a a y la sucesión de partes imaginarias
  yn
• converge a b.

y
Demostración (? ) Si zn-c lt ?, con zn xn
iyn entonces dentro de un círculo de radio ?,
para c a i b se cumple que xn-a lt ? ,
yn-b lt ?
b?
zn
b
c
b-?
x
a?
a-?
a
Por tanto la convergencia zn ? c implica que xn
? a , yn ? b.
5
Demostración (?) Igualmente, si xn ? a y yn ? b
cuando n ? ? , entonces para un ?gt0 dado,
podemos hallar un N suficientemente grande tal
que para ? ngt N se cumpla que xn-a lt ?/2,
yn-b lt ?/2 con lo que zn xniyn estará
contenido en un cuadrado de centro c y lado ?.
De modo que zn estará contenido en un círculo
de radio ? y centro c.
y
b?
b?/2
zn
b
c
b-?/2
b-?
x
a
a?
a-?
a?/2
a-?/2
6
Diremos que una sucesión zn es convergente
sii lim zn c. Una sucesión divergente
significa que no converge. n ??

• Ejemplos
• La sucesión in/n i, -1/2, -i/3, 1/4,......
  es convergente y límite es 0.

(2) La sucesión in i, -1, -i, 1,.... es
divergente.
(3) La sucesión zn con zn (1i)n es
divergente.
zn 1i, 2i, -22i, -4, -4-4i,....
(4) La sucesión zn con zn 2-1/n i(12/n) es
convergente.
zn 13i, 3/22i, 5/35i/3, 7/43i/2,....
El límite cuando n?? es c 2i
(y zn-c -1/n2i/n ?5/n lt ? si n
gt ?5/?)
7
(No Transcript)
8

• La sucesión converge a i. Observa
  que
• Re(i) 0 y Im(i) 1. Entonces

9
Igual que hemos hecho mención a la parte real e
imaginaria para la convergencia de la sucesión,
podemos hablar del módulo y el argumento. Así
Sea
,donde
Si
,entonces
10
Sea por ejemplo la sucesión de términos
El módulo converge a
Y el argumento a
Por tanto la sucesión converge a
11
Series

• Dada una sucesión zn, una serie infinita o
  serie se puede
• formar a partir de una suma infinita

Los z1, z2, ..... son denominados términos de la
serie.
La sucesión de sumas s1 z1 s2 z1
z2 s3 z1 z2 z3 ........ sn z1 z2
....zn es la sucesión de sumas parciales de la
serie infinita.
12
Series convergentes

• Una serie convergente es aquella tal que la
  sucesión de sumas parciales converge, i.e.
• donde s es la suma o valor de la serie y se
  expresa

Una serie divergente es aquella que no converge.
Llamaremos resto Rnde la serie a
Si la serie converge y suma s, entonces
13
Ejercicios Demostrar que

• Una serie con zm xmiym converge con suma s
  uiv sii
• u x1x2..... converge y v y1y2.....
  converge.

(2) Si una serie z1 z2 .... converge,
entonces En caso contrario, la serie diverge.
(3) Que zm ? 0 es condición necesaria para
la convergencia, pero no suficiente. Recuerda
que para la serie harmónica 1 ½ 1/3 ... el
término 1/n ? 0 cuando n tiende a infinito, pero
la serie diverge.
14
Serie geométrica

• Para la serie geométrica
• el término enésimo de la sucesión de sumas
  parciales es

Observa que zn ? 0 cuando n ? ? para z lt 1, en
cuyo casi Sn converge a a/(1 z). La serie
diverge para z ? 1.
15

• Ejemploes una serie geométrica con a (1
  2i)/5 y z (1 2i)/5. Puesto que z lt 1,
  tenemos que

16
(No Transcript)
17

• Teorema de Cauchy para series.
• Una serie z1 z2 .... es convergente sii dado
  cualquier ?gt0
• podemos hallar un N tal que zn1zn2...znp
  lt ? para todo
• n gt N y p 1, 2...

Convergencia absoluta. Una serie z1 z2 ... es
absolutamente convergente si la serie de los
valores absolutos de sus términos
? ? zm z1 z2 ......
m1 es convergente. Si z1 z2
... converge pero z1 z2 .... diverge, la
serie z1z2.... es condicionalmente convergente.
Si una serie es absolutamente convergente es
convergente
Ejemplo La serie 1- 1/2 1/3- ¼ ... converge
condicionalmente.
18

• Es la serie convergente?
• Es absolutamente convergente, puesto que
• ik/k2 1/k2 y la serie real
• es convergente.
• De modo que la serie original es convergente.

19

• Comparación de series
• Si dada una serie dada z1 z2 ... , podemos
  hallar una serie
• convergente b1 b2 ... con términos reales no
  negativos tal que
• zn ? bn para todo n 1, 2, ...entonces la
  serie dada converge,
• incluso absolutamente.
• (Ejercicio demostrarlo)
• Criterio del cociente
• Si una serie z1 z2 .... con zn?0 (n 1, 2,
  ...) cumple que
• zn1/zn ? q lt 1 (? n gt N, con un q dado para
  cualquier N)
• la serie converge absolutamente. En cambio si
• zn1/zn ? 1 (? n gt N) la serie diverge.
• (Ejercicio demostrarlo)

20

• Si tenemos una serie z1 z2 .... con z n? 0 (n
  1, 2, ..) tal que
• Entonces se cumple que
• Si L lt 1 la serie converge absolutamente.
• Si L gt 1 diverge.
• Si L 1 no sabe, no contesta.
• (Ejercicio demostrarlo)
• 
  

Dado Es S convergente o divergente?
Converge.
21

• Criterio de la raíz
• Si una serie z1 z2 ... cumple que para todo n
  gt N
• n?zn ? q lt 1 (n lt N)
  
• donde qlt1 está fijado, la serie converge
  absolutamente. Si para infinitos n se cumple que
• n?zn ? 1 , la serie diverge.

• Entonces, si una serie z1z2... cumple que para
  todo n gt N
• lim n?zn L
  
• n??
• entonces
• Si L lt 1 la serie converge absolutamente
• Si L gt 1 diverge
• Si L 1 no podemos extraer conclusiones

22

• Dado
• Es S convergente?

Como el límite es mayor que 1, la serie diverge.
Ejercicio demostrar que
La serie geométrica converge con suma 1/(1-q) si
q lt 1 y diverge para otros valores.
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
Números primos (parte I)
27
Qué es un número primo?
Un entero mayor que uno se llama número primo si
solo tiene como divisores a 1 y a él mismo.
"primo" "de base"
28
Hay dos hechos sobre la distribución de los
números primos de las que espero convencerles tan
fuertemente que queden permanentemente grabadas
en sus corazones. La primera es que, a pesar de
su sencilla definición y de su papel como
ladrillos en la construcción de los números
naturales, los números primos pertenecen a la
clase más arbitraria y perversa de los objetos
estudiados por los matemáticos crecen como malas
hierbas entre los números naturales, parecen no
obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede
predecir donde brotará el siguiente. El segundo
hecho es incluso más sorprendente, pues afirma
justo lo contrario que los números primos
exhiben sorprendentes regularidades, que hay
leyes que gobiernan su comportamiento, y que
obedecen estas leyes con precisión casi militar.

Don Zagier, "The first 50 million primes"
Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19
29
(No Transcript)
30
El teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética muestra
que los primos son los ladrillos básicos con los
que están construidos los enteros. Dice Todo
entero positivo mayor que uno puede ser escrito
de forma única como el producto de primos, con
los factores primos en el producto en orden de
tamaño no decreciente. (Euclides, Elementos).
31
Cuántos primos existen?
Euclides demostró que siempre existe al menos un
primo entre n y (n! 1) de la siguiente manera
(a) n! y (n! 1) no tienen factores comunes.
(b) O bien (n! 1) es primo o bien es
factorizable (b.1) Si (n! 1) es primo queda
demostrada la afirmación. (b.2) Si (n! 1)
puede descomponerse en factores, por (a) ninguno
de ellos puede dividir a n! De modo que
cualquier factor de (n! 1) estará entre n y (n!
1). (b.2.1) Si el factor es primo queda
demostrada la afirmación. (b.2.2) Si el factor
no es primo, entonces por el mismo argumento
(b.2), será mayor que n y podemos volver a
descomponerlo hasta encontrar finalmente un
primo mayor que n.
32
Ausencia aparente de un patrón regular en la
secuencia de números primos
Por ejemplo, hay nueve primos entre 9.999.900 y
10.000.000
9.999.901 9.999.907 9.999.929 9.999.931
9.999.937 9.999.943 9.999.971 9.999.973
9.999.991.
Pero entre los cien enteros siguientes, desde
10.000.000 a 10.000.100, hay solo dos
10.000.019 y 10.000.079.
33
Los matemáticos griegos probaron, alrededor del
300 antes de nuestra era, que existen infinitos
primos y que están espaciados de manera
irregular, es decir que la distancia entre dos
primos consecutivos puede ser arbitrariamente
larga.
34
(No Transcript)
35
The Counting Prime Function
"Cuántos primos menores que un número x hay?"
Así los primos menores o iguales a 25 son 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 de modo que ?(25) 9.
36
La distribución de números primos parece ser
aleatoria. Por ejemplo, hay probablemente
infinitos primos gemelos y existen gaps
arbitrariamente largos entre primos.
37
"It is evident that the primes are randomly
distributed but, unfortunately we don't know
what 'random' means". R.C. Vaughan
38


Sin embargo, la función p(x) exhibe un
sorprendente "buen comportamiento".
"Here is order extracted from confusion,
providing a moral lesson on how individual
eccentricities can exist side by side with law
and order". The Mathematical Experience by
Philip J Davis Reuben Hersh
39
"For me, the smoothness with which this curve
climbs is one of the most astonishing facts in
mathematics." Don Zagier, "The first 50 million
primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977)
1-19
40

n p(n) n/p(n)
10 4 2.5
100 25 4.0
1000 168 6.0
10,000 1,229 8.1
100,000 9,592 10.4
1,000,000 78,498 12.7
10,000,000 664,579 15.0
100,000,000 5,761,455 17.4
1,000,000,000 50,847,534 19.7
10,000,000,000 455,052,512 22.0
22.0 - 19.7 2.3
Observemos que cuando pasamos de un orden de
magnitud al siguiente el cociente n/p(n) se
incrementa aproximadamente 2.3. Sabiendo que Ln
10 2.30258... Gauss formuló la conjetura de que
p(n) es aproximadamente igual a n/Ln n.
41
(No Transcript)
42
Legendre
En 1798 Legendre publica la primera conjetura
significativa sobre la forma funcional de ?(x),
cuando en su libro Essai sur la Théorie des
Nombres escribe que
43
http//mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.ht
ml
44
The logarithmic integral function Li(x)
Zagier en su artículo dice al respecto "within
the accuracy of our picture, the two coincide
exactly."
45
Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que ?(x),
pero eso ocurre por primera vez alrededor de
10320!
46
(No Transcript)
47
Antes de la existencia de los ordenadores...Tablas
de D. N. Lehmer primos hasta 10.006.721
48
reference
1 4 antiquity
2 25 L. Pisano (1202 Beiler)
3 168 F. van Schooten (1657 Beiler)
4 1229 F. van Schooten (1657 Beiler)
5 9592 T. Brancker (1668 Beiler)
6 78498 A. Felkel (1785 Beiler)
7 664579 J. P. Kulik (1867 Beiler)
8 5761455 Meissel (1871 corrected)
9 50847534 Meissel (1886 corrected)
10 455052511 Lehmer (1959 corrected)
11 4118054813 Bohmann (1972 corrected)
12 37607912018  
13 346065536839  
14 3204941750802 Lagarias et al. (1985)
15 29844570422669 Lagarias et al. (1985)
16 279238341033925 Lagarias et al. (1985)
17 2623557157654233 M. Deleglise and J. Rivat (1994)
18 24739954287740860 M. Deleglise (June 19, 1996)
19 234057667276344607 M. Deleglise (June 19, 1996)
20 2220819602560918840 M. Deleglise (June 19, 1996)
21 21127269486018731928         project (Dec. 2000)
22 201467286689315906290 P. Demichel and X. Gourdon (Feb. 2001)
23  
Prime Counting Function -- from Wolfram
MathWorld.htm
49
El teorema de los números primos
En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron
simultáneamente lo que se había sospechado
durante mucho tiempo, el teorema de los números
primos
El número de primos que no excede a x es
asintótico a x/log x. En otras palabras, la
probabilidad de que "un número x escogido al
azar sea primo es 1/log x".
50
El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto
punto, una buena aproximación a p(x) . Al decir
que "a(x) es asintótico a b(x)" o "a(x) b(x)"
decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x
tiende a infinito. Pero, observemos que
a(x)  b(x) no significa que a(x) - b(x) sea
pequeño.
51
El teorema de los números primos implica que
podemos usar x/(log x - a) (con cualquier
constante a) para aproximar ?(x).  Chebychev
demostró que la mejor elección era a 1.
x ?(x) x/log x x/(log x -1)
1000 168 145 169
10000 1229 1086 1218
100000 9592 8686 9512
1000000 78498 72382 78030
10000000 664579 620420 661459
100000000 5761455 5428681 5740304
52
Que Li(x) sea asintótica con ?(x) es
impresionante, pero lo que nos gustaría es
estimar ?(x) lo mejor posible. Es decir, si
nos gustaría conocer este error E(x) lo más
exactamente posible. Y eso nos lleva al problema
más famoso de la matemática...
53
La función zeta ?(s)
Euler la llamó función zeta en 1737. Consideró
que s era un real mayor que 1.
54
Repitamos la operación para el siguiente primo 3.
55
Euler utilizó esta identidad para demostrar que
Producto de Euler para la función zeta.
i.e., existen infinitos primos.
56
Retomemos nuestro hilo...
Series de Taylor en variable real
Es fácil ver por qué el radio de convergencia
es xlt1.
Pero, en este caso cuál es el motivo?
57
Podemos expandir cualquier función compleja en
series?
Podemos expandir funciones analíticas en
unas series especiales llamadas series de
potencias
Cómo hallar esas series ?
(1) Usando el Teorema de Taylor (2) Usando otras
series conocidas (y algunos trucos)
58
Serie de potencias
Una serie de potencias en es
coeficientes complejos
centro de desarrollo
P.ej.
59
Convergencia de series de potencias
Las series de potencias en general convergen para
algunos valores de z, y para otros. Por ejemplo
la serie
(Serie geométrica)
converge para z lt1, pero diverge para z 1.
Fuera del círculo de convergencia la serie de
potencias diverge.
Radio de convergencia R 1
Círculo de convergencia mayor círculo centrado
en z0 en el que la serie de potencias converge.
60
Ejemplos
Radio de convergencia infinito R ?
La serie converge para todo z
Radio de convergencia cero R 0
La serie diverge para todo z (excepto z 0)
61

1. La serie de potencias siempre converge para z zo

(2) Hay un radio de convergencia R para el cual
diverge
converge
Los valores z tq. pueden
converger o no
62
En resumen

• El radio de convergencia R puede ser(i) cero
  (converge solo en z z0).(ii) un número finito
  R (converge en todos los puntos del círculo z -
  z0 lt R).(iii) ? (converge para todo z).La
  serie de potencias puede converger en algunos,
  todos o ninguno de los puntos de la
  circunferencia de convergencia. Hay que
  determinarlo por separado.

63
Hay una forma rápida para hallar el radio de
convergencia?
La fórmula de Cauchy-Hadamard

• (i) R 1/L.(ii) R es
  ?.(iii) R 0.

64
Ejemplo
65
converge
diverge
66
Ejemplo
diverge
converge
67
Ejemplo
diverge
converge
68
Otro ejemplo
El radio de convergencia es ?.
69
Recuerda además que todo lo dicho para series,
evidentemente funciona para series de potencias.
Por ejemplo
(1) Si la serie diverge. (2) Si la
serie diverge. (3) Comparar (4) Si la
serie diverge.
70

• El test de la raíz nos muestra que R 1/3. El
  círculo de convergencia es z 2i 1/3.
• La serie converge absolutamente para
• z 2i lt 1/3.

71
Resumen y varios comentarios interesantes
(Observa que para nosotros era En el punto iv se
resuelve el enigma)
72
(No Transcript)
73
(No Transcript)
74
(No Transcript)
75
Series de Taylor
76
(No Transcript)
77
(No Transcript)
78
Series de potencias y funciones analíticas
Cualquier función analítica f (z) puede ser
representada por una serie de potencias con radio
de convergencia R ? 0. La función representada
por la serie es analítica en todo punto dentro
del radio de convergencia.
Ejemplo
la serie converge para z1
Radio de convergencia R 1
79
Cómo encontrar la serie de potencias de una
función analítica determinada?
A las series de potencias que representan
funciones analíticas f (z) se les llama series
de Taylor.
Vienen dadas por la fórmula
(Cauchy, 1831)
80
Desarrollar f(z)sin z alrededor de z00 (serie
de Mclaurin)
81
Demostración del teorema de Taylor
Por la fórmula integral de Cauchy
Vamos a desarrollar el integrando
82
Utilizando la fórmula generalizada de Cauchy
83
Donde hemos definido el residuo Rn
Observemos que
Si M es el valor máximo que puede alcanzar
sobre C1
Y puesto que r/r1 lt 1, el límite cuando N tiende
a infinito del residuo es cero. De modo que para
cada z interior a C0, la serie de Taylor
converge a f(z).
84
Brook Taylor
(1685-1731)
En 1715 agregaba a las matemáticas
una nueva rama llamada ahora El
cálculo de las
diferencias finitas
,
e inventó la
integración por
partes
. Descubrió la célebre
fórmula conocida como la
serie de
Taylor.
Taylor también desarrolló los
principios fundamentales de la
perspectiva
(1715).
James Gregory (1638 1675) descubrió las
series de Taylor 40 años antes que Taylor ...
85
Ejemplo
Encontrar la serie de Taylor para
(1) Tomemos centro z 0
punto singular
centro
86
(2) Tomemos centro z 1/2
punto singular
centro
87
Una función analítica f (z) puede ser
representada mediante series de potencias con
distintos centros zo (aunque hay únicamente una
serie para cada centro). Hay por lo menos
un punto singular en la circunferencia de
convergencia
88
Ejemplo
con centro z 0
centro
no hay puntos singulares!
89
Unicidad del desarrollo de Taylor
Supongamos que f(z) es analítica y desarrollable
alrededor de z0 , tq
Existirá otra serie de potencias
Tomando z z0 en las expresiones anteriores
Son los mismos coeficientes del desarrollo de
Taylor
90
Derivar la serie de Taylor directamente a partir
de la fórmula puede ser complicado.
Normalmente se usan otros métodos (1) La serie
geométrica (2) La serie binomial
(3) Otras series conocidas como la exponencial,
el coseno, etc.
91
Expandir
Ejemplo
para z 0
(usar la serie geométrica)
Primero dibujamos el centro y los puntos
singulares de f(z) para hacernos una idea
puntos singulares
centro
Parece que el radio de convergencia es R1.
92
Sabemos que
Por tanto
La serie geométrica converge para zlt1
por tanto nuestra serie converge para z2 lt1
O lo que es lo mismo para zlt1. Y efectivamente
el radio de convergencia es R 1 como habíamos
predicho.
93
Expandir
para z 1
Ejemplo
(usar la serie geométrica)
De nuevo dibujamos el centro y los puntos
singulares de f(z)
centro z 1
puntos singulares
Parece que el radio de convergencia es R 1/2
94
Sabemos que
por tanto
La serie geométrica converge para z lt1,
por tanto nuestra serie converge para 2(z-1)lt1
es decir, para z -1 lt 1/2.
95
Encuentra la serie de Maclaurin de la función
96
para z 0
Expandir
Ejemplo
(Usar la serie binomial)
Centro y puntos singulares ? R 1
Punto singular
Centro z 0
97
La serie binomial es
Por tanto
es singular en z -1
La serie binomial converge para z lt 1
Por tanto nuestra serie converge para -z lt1
Es decir z lt 1.
98
Ejemplo
Expandir
en z 0
el radio de convergencia debería ser R 2.
99
Usaremos fracciones parciales
Ahora
converge para
100
y
converge para
Así que
converge para
101
Converge para zlt4.
Para
Converge para zlt2
hay convergencia en el área común
102
Otras series útiles (Ejercicio demostrar por la
fórmula de Taylor)
103
Ejemplo
(de uso de series conocidas)
en z 0
Expandir
no hay puntos singularesel radio de convergencia
debería ser R ?.
Usando la serie
104
Ejemplo
105
De otra manera
106
En algunos casos excepcionales, un punto singular
puede incluso aparecer dentro del círculo de
convergencia.
Centro
Recordemos que el Ln z es singular (no analítico)
sobre el eje negativo.
107
(No Transcript)
108
(No Transcript)
109
(No Transcript)
110
(No Transcript)
111
(No Transcript)
112
(No Transcript)
113
(No Transcript)
114
(No Transcript)
115
Una serie de potencias puede diferenciarse
término a término en cu círculo de convergencia
116
(No Transcript)
117
Ejercicio Obtener el desarrollo de Taylor de la
función f(z) 1/z alrededor de z0 1.
Respuesta
Ejercicio Diferenciando la serie anterior
obtener el desarrollo de Taylor de la función
g(z) 1/z2 alrededor de z0 1.
118
(No Transcript)
119
Ejercicio Obtener la serie de Maclaurin de la
función seno integral (se trata de una función
que aparece con frecuencia en problemas de
radiación electromagnética y que no es posible
evaluar en términos de funciones elementales)
Observa que la serie de Taylor converge también
para 0.
120
Integrando la serie término a término
121
(No Transcript)
122
(No Transcript)
123
(No Transcript)
124
Multiplicación de series
Podemos multiplicar dos series de potencias
término a término, y recolectar los términos
con igual potencia para determinar una nueva
serie de potencias, el producto de Cauchy de las
dos series
125
Ejemplo Obtener mediante el producto de series,
el desarrollo de Maclaurin de f(z) ez /(1-z).
Para z lt 1, la condición más fuerte de las
dos.
126
(No Transcript)
127
(No Transcript)
128
(No Transcript)
129
(No Transcript)
130
(No Transcript)
131
(No Transcript)
132
(No Transcript)
133
De hecho, podemos definir las funciones
elementales a partir de series de potencias.
Por ejemplo
134
Como hemos visto podemos expandir una función
analítica en serie de Taylor alrededor de un
centro. Por ejemplo,
Podemos expandir la misma función respecto a
distintos centros. Por ejemplo
Notemos que (a) siempre tenemos potencias
positivas de (z-z0). (b) la serie converge
dentro de un disco.
135
Pero hay otro tipo de series que (a) incluyen
potencias negativas de (z-z0) (b) convergen
dentro de un anillo
Tales series se llaman series de Laurent.
Ejemplo
Converge para 1ltzlt2
Centro
Puntos singulares en z 1, 2
136

• Recordatorio
• Singularidades aisladas
• Supongamos que z z0 es una singularidad de una
  función compleja f. El punto z0 se llama
  singularidad aislada si existe un disco puntuado
  abierto 0 lt z z0 lt R en el que la función es
  analítica.

137
La serie de Laurent siempre converge dentro de un
anillo.
Si tomamos una función y dibujamos sus puntos
singulares, podremos separar el plano complejo en
distintas regiones de convergencia.
Ejemplo
centro
centro
En el anillo 1lt z lt ? tenemos la serie de
Laurent
Dentro del disco zlt1 tenemos la serie de
Taylor
138
Por supuesto, podemos tener distintos centros ...
centro
centro
En el anillo 2lt z1lt ? tenemos la serie de
Laurent.
Dentro de un disco z1 lt 2 tenemos la serie de
Taylor.
139
El centro podría ser, incluso, el punto singular
...
En este caso, la serie es válida para 0lt z-1lt
? , un disco con el punto singular z01 situado
en el centro.
centro z01
En este caso, la serie está formada por un único
término
140

• La función f(z) (sin z)/z3 es no analítica en z
  0 y no podemos expandirla como serie de
  Maclaurin. Sabemos que
• converge para todo z. Así que
• convergerá para todo z excepto z 0, 0 lt z.

141
Ejemplo
Cuántas series con centro z0 1/4 puede tener
la función ?
La función presenta dos singularidades (polos
simples), en z -1, 2.
7/4 lt z-1/4 lt ?
5/4 lt z-1/4 lt 7/4
z-1/4 lt 5/4
El anillo siempre está entre los puntos
singulares.
142
Ejemplo
Cuántas series con centro z0 0 tiene la
función ?
La función presenta una singularidad (polo de
segundo orden) en z 2.
2 lt z lt ?
z lt 2
143
Ejemplo
Centro z 2 para
Tres singularidades (polos simples) z -i, 1, 4.
1lt z-2 lt2
z-2 lt1
144
Cómo hallar la serie de Laurent? Teorema de
Laurent
Supongamos que la función f(z) es analítica en un
anillo de centro z0, r0lt z - z0 lt r1. Entonces
f(z) admite representación en serie de Laurent
donde
r0
C
r1
Cuánto valen los bns cuando f(z) es analítica
en z-z0 lt r1?
Pierre Alphonse Laurent (1843)
145
Demostración del teorema de Laurent
y
Por la fórmula integral de Cauchy para un
dominio doblemente conexo
x
146
(No Transcript)
147
(No Transcript)
148
Observemos que
Si M es el valor máximo que puede alcanzar
sobre C1
Y puesto que r/r1 lt 1, el límite cuando N tiende
a infinito del residuo es cero. De modo que para
cada z interior a C0, la serie de Taylor
converge a f(z).
149
Hallando la serie de Laurent
Igual que para el caso de la serie de Taylor, hay
distintas formas de hallar la serie de Laurent de
una función. En la práctica, no usaremos la
fórmula anterior. Un método más simple consiste
en usar la serie geométrica, tal como hicimos con
la serie de Taylor.
Ejemplo (1)
Expandir la función 1/(1-z) en potencias
negativas de z
150
Ejemplo
Expandir la función 1/(i-z) en potencias de
z-2 (Serie de Taylor)
Dado que
converge para zlt1, la serie converge para
151
Otra posibilidad consiste en expandir la
función 1/(i-z) en potencias negativas de z-2
(serie de Laurent)
Dado que
converge para zlt1, la serie converge para
152
Ejemplo (3)
Expandir la función con centro z
1
converge para 0 lt z -1lt?
El centro es el punto singular !
153
Cada serie de Laurent tiene dos partes
Potencias positivas (serie de Taylor)
DENTRO
Potencias negativas (Parte Principal)
FUERA
154
Ejemplo
Expandir la función con
centro z 0
De cuántas formas podemos hacerlo?
centro
(a) z lt 1 (b) 1 lt z lt 3 (c) 3 lt z lt ?
155
(a) z lt 1
Dentro del disco, términos positivos serie de
Taylor.
156
(b) 1 lt z lt 3
potencias negativas 1 lt z lt ?
potencias positivas z lt 3
Serie de Laurent
157
En la página anterior, cómo sabíamos qué término
expandir en potencias negativas y cuál, si lo
había, expandir en potencias positivas?
El anillo final resulta de la superposición
158
(c) 3 lt z lt ?
potencias negativas 3 lt z lt ?
potencias positivas z lt ?
159

• (a) 0 lt z 1 lt 2

160

• (b) 0 lt z 3 lt 2.

(binomial válida para (z 3)/2 lt 1 o z 3
lt 2)
161

• 0 lt z lt 1.

162

• 1 lt z 2 lt 2.

En el centro z 2 f es analítica. Queremos
encontrar dos series de potencias enteras de z
2 una convergiendo para 1 lt z 2 y la otra
para z 2 lt 2.
(z 2)/2 lt 1 o z 2 lt 2.
163

• 1/(z 2) lt 1 o 1 lt z 2.

164

• f(z) e3/z , 0 lt z.

165

• (a) 0 lt z lt 1,
• (b) 1 lt z,
• (c) 0 lt z 1 lt 1
• (d) 1 lt z 1.

166
(No Transcript)
167
(No Transcript)
168

Examen JUNIO 04/05 P-1
169
Polo simple
170
P1. Junio 2006
Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la
función f(z) válido en el entorno de cada uno de
sus puntos singulares.
Respuesta.
Puntos singulares, z 0, z 2.
171

• Entorno de z 0 0 lt z lt 2

2

• Entorno de z 2 0 lt z - 2 lt 2

2
4
172
es analítica en z 2 lt 2 gt Admite desarrollo
de Taylor
173
Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la
función
a
válido en el disco z lt a. Especificar el máximo
valor de a donde el desarrollo es convergente.
Respuesta.
Ptos. singulares z 1. (z 0 es una
singularidad evitable lim (z?0) f(z) 1) amáx
z 0 1. Recordemos que
174
(No Transcript)
175
P1. Septiembre 2007
176
Respuesta.
177
con lo que
178
(No Transcript)
179
b) El único punto singular aislado es z0 0, por
lo que se puede obtener tanto la serie de Laurent
de la función en torno a z0 0 válida en la
corona 0 lt z lt d(0,1) 1, como la serie
convergente en el dominio z gt 4. Para calcular
el desarrollo en serie de la corona z gt 4,
derivamos respecto de z la función , de modo que
180
(... continuar el problema ...)
181
Obtener todos los posibles desarrollos en serie
de potencias (Taylor y Laurent) de las funciones
complejas
alrededor de z 1. Indicar el radio de
convergencia de cada una de las series obtenidas.
Respuesta. a) Desarrollaremos primero en serie de
Taylor alrededor de z 1. Observemos que f(z)
tiene un punto singular en z -1, de modo que el
desarrollo será válido para z 1 lt 2, es
decir, (z 1)/2 lt 1.
182
Entonces
Ahora desarrollaremos fuera del círculo anterior,
es decir, para z 1 lt 2 ó (z 1)/2 lt 1, en
serie de Laurent. Observemos que (z 1)/2 lt 1
y entonces
183
b) Observemos que entonces derivando las
series anteriores obtenemos
184
y
185
Obtener la serie de Laurent válida en el dominio
1 lt z lt 2 de la función compleja
Respuesta.
186
(No Transcript)
187
(No Transcript)
188
(No Transcript)
189
(No Transcript)
190
(No Transcript)
191
(No Transcript)
192
(No Transcript)
193
(No Transcript)
194
(No Transcript)
195
(No Transcript)
196
(No Transcript)
197
(No Transcript)
198
(No Transcript)
199
Gracias al desarrollo de Laurent podemos
encontrar el valor de algunas integrales. Por
ejemplo, calculemos
Encontremos las serie de Laurent de e1/z
Recordemos
200
Otro ejemplo Desarrollemos f(z) 1/(z-i)2 en
serie de Laurent alrededor de z0 i.
Ya está desarrollado! Todos los coeficientes an
y bn son cero a excepción de b2 1. Entonces,
como
Hemos resuelto infinitas integrales de una
tacada!
201
Acabemos con la pregunta de la transparencia
sobre series de Taylor en variable real
Es fácil ver por qué el radio de convergencia
es xlt1.
Pero, en este caso cuál es el motivo?
202
(No Transcript)
203
(No Transcript)