FUNCIN INVERSA DE OTRA Tema 6'4 1 BCS

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FUNCIÓN INVERSA DE OTRATema 6.4 1º BCS
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FUNCIÓN INVERSA DE OTRA

• Sea y f(x) una función real de variable
  real.
• Llamamos función INVERSA a la expresión y
  f -1 (x)
• Condición
• Si f(a) b ? f -1 (b) a
• Relaciones entre una función y su inversa
• (f -1 o f )(x) f -1 f (x) x
• (f o f -1 )(x) f f -1 (x) x
• Es decir, que (f -1 o f )(x) (f o f -1 )(x)
  x
• Las gráficas de dos funciones inversas son
  simétricas respecto a la bisectriz del primer
  cuadrante, o sea respecto a la recta y x

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• Para hallar la función inversa, si la tiene, se
  despeja la variable x en la ecuación y f(x) y
  después se intercambian las x por las y.
• Ejemplo 1
• Sea f(x) x2 - 1
• y x2 1 ? x y2 1 ? y2 x 1 ? y
  /- v(x1)
• La función resultante No es función, por lo tanto
  la función dada no tiene inversa.
• Ejemplo 2
• Sea f(x) 1 / (x 2)
• y 1 / (x 2) ? x 1 / (y 2) ? x.y
  2.x 1 ? y (1 2.x) / x
• Luego f -1 (x) (1 2.x) / x es la
  inversa de la función dada.
• Comprobemos (f o f -1)(x) 1 / ((1 2.x) /
  x 2) x
• (f -1 o f)(x) (1
  2. 1 / (x 2)) / 1 / (x 2) x

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• Ejemplo 3
• Sea f(x) sen x - 1
• y sen x 1 ? x sen y 1 ? sen y x
  1 ? y arc sen (x 1)
• Luego f -1 (x) arc sen (x 1 )
• Comprobemos (f o f -1)(x) sen arc sen
  (x1) 1 (x 1) 1 x
• (f -1 o f)(x) arc
  sen (sen x 1 1) arc sen (sen x) x
• Ejemplo 4
• Sea f(x) v (x 1)
• y v (x 1) ? x v (y 1) ? x 2 y
  1 ? y x2 1
• Luego f -1 (x) x2 1

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Ejemplos gráficos 5 y 6
y - 2.x
y 2.x 1
y - x / 2
y (1/2).x - 2
En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o
viceversa.
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Ejemplos gráficos 7 y 4
y x2 1
y ex
y ln x
y v (x-1)
En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o
viceversa.
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Ejercicios

• En los ejemplos gráficos 5,6 y 7
• A) Tomando una de las dos funciones, comprobar
  analíticamente que la función inversa es la otra
  función.
• B) Comprobar que en todos los casos se cumple
  (f o g)(x)x