Dimensin Fractal

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Dimensión Fractal

• Rep. de objetos tridimensionales en animación y
  realidad virtual
• ESCET URJC
• Curso 2004-05

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Índice

• Qué tamaño tiene un fractal?
• La dimensión de homotecia.
• Medida y Dimensión de Hausdorff.
• Dimensión fractal.

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En qué se diferencian un segmento y un cuadrado?
un segmento tiene longitud mientras que un
cuadrado tiene área
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La cosa no está tan clara cuando consideramos
conjuntos extraños
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Objetivo Distinguir el tamaño
Idea Asociar a cada conjunto un número que
nos indique el tamaño (la dimensión)

• Teoría de la medida Si el conjunto tiene
  longitud, dimensión 1, si tiene área, dimensión
  2, si tiene volumen, dimensión 3 ...
• hay conjuntos sin longitud, ni area, ni
  volumen!!

Teoría de la Dimensión Trata de refinar el
concepto de dimensión para distinguir conjuntos
extraños
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Dimensión de Homotecia
Si tomamos un cuadrado y lo ampliamos a escala
2x, obtenemos 4 cuadrados del mismo tamaño.
Mientras que si lo ampliamos a escala 3x,
obtenemos 9 cuadrados.
Si lo ampliamos a escala k, obtenemos Nk2
cuadrados del mismo tamaño
Es decir,
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Dimensión de Homotecia
Con un segmento
con un triángulo
con un cubo
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Dimensión de Homotecia
En general, si al ampliar un conjunto C con
escala k, el conjunto obtenido está formado por
N copias del conjunto original, entonces, la
dimensión de homotecia es
Enlaza muy bien con la autosemejanza de los
fractales
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Ejemplo 1 La curva de Koch
Al ampliar la curva de Koch con factor de escala
3x
Obtenemos 4 copias de la curva original, es
decir, su dimensión de homotecia es
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Ejemplo 2 El conjunto de Cantor
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Ejemplo 3 Conjuntos de Sierpinski
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Dimensión de Homotecia

• Obtenemos valores no enteros para conjuntos
  extraños (los fractales).
• Encaja muy bien con la autosemejanza.
• Si al ampliar el conjunto no se obtienen copias
  del conjunto original no está definida.

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Dimensión de Hausdorff
Se basa en la idea de recubrir conjuntos.
Si tenemos un conjunto C, fijamos un número dgt0
Recubrimos C con conjuntos de diámetro menor que
d.
(d-Cubrimiento de C)
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Dimensión de Hausdorff
Considerando todos los d-cubrimientos de C, si
sgt0, calculamos
siendo B el diámetro de B. Se define la medida
de Hausdorff como
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Dimensión de Hausdorff

• La medida de Hausdorff está definida para
  cualquier conjunto.
• Hs(C) Siempre está entre cero e infinito (puede
  ser infinito).
• Si s1, Hs(C) es la longitud, s2, es el area,
  s3 el volumen, pero también está definido para
  otros valores.
• Hs(C) Es difícil de calcular.

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Dimensión de Hausdorff
Cómo varia Hs(C) al cambiar s?
Siempre se comporta del siguiente modo
Dimensión de Hausdorff
DH(C)
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Dimensión de Hausdorff

• La dimensión de Hausdorff está definida para
  cualquier conjunto.
• DH(C ) extiende la idea intuitiva de dimensión.
• Un fractal es un conjunto cuya dimensión de
  Hausdorff no es entera.
• Es difícil de calcular.

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Dimensión Fractal
Como el cálculo de la dimensión de Hausdorff es
complicado, se calculan (empíricamente) otro
valor más sencillo.
Si C es un conjunto, y egt0, N(C,e) es el menor
número de círculos de diámetro e necesarios para
cubrir C.
Se define la dimensión fractal de C como
Puede comprobarse que
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Dimensión Fractal
dimensión fractal 1.18dimensión de Hausdorff
1.26desviación 6
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Dimensión Fractal
Esto permite definir la dimensión fractal de
objetos no fractales (útil en la práctica)
Dimensión de costas y fronteras.
Costa de Africa del Sur Dimensión 1
Frontera de Alemania Dimensión 1,18
Costa de Gran Bretaña Dimensión 1,25
Frontera España-Portugal Dimensión 1,16
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Dimensión Fractal
dimension fractal 1.73dimensión de Hausdorff
??
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Resumiendo

• Existen conjuntos de dimensión no entera los
  fractales.
• El cálculo de la dimensión de Hausdorff es un
  problema complicado.
• Se puede dar un valor aproximado de la dimensión
  de Hausdorff La dimensión fractal.