Sistemas de Decisin Empresarial con Excel' Daniel Villalba y Yolanda Bueno'

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• Capítulo 10.
• Modelización de problemas de programación entera
  y mixta (II).

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Problemas de selección Set covering

• Son una clase especial de problemas de
  programación entera que, en general, se resuelven
  con algoritmos especializados. Los problemas de
  set covering pueden definirse de la siguiente
  manera
• sujeto a
• donde todos los coeficientes aij valen 0 ó 1.
  Como puede verse, este tipo de modelos tienen una
  estructura muy especial.

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Problemas de selección Set covering

• Ejemplo 10.1.
• Se trata de planificar la distribución de
  hospitales en una ciudad, de tal manera que,
  desde cualquier punto de la ciudad, no exista una
  distancia al hospital más próximo superior a
  veinte minutos de recorrido en automóvil. La
  ciudad se divide en ocho zonas y existe la
  posibilidad de instalar hospitales en cuatro de
  ellas. La tabla indica qué proyectos de hospital
  cubrirían cada zona en una distancia inferior a
  la requerida, así como el coste de cada proyecto
• Se desea que todas las zonas queden cubiertas y
  el coste total sea mínimo.

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Problemas de selección Set covering

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• yj Variable binaria que toma valor 1 si se
  construye el hospital j y 0 en caso contrario.
• Función Objetivo

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Problemas de selección Set covering

• Restricciones
• Asignación de las zonas
• No negatividad e integralidad

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Problemas de selección Set covering
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Problemas de selección Set packing

• Los problemas de set packing son muy parecidos a
  los anteriores. Formalmente la única diferencia
  es que, en lugar de minimizar, lo que se pretende
  es maximizar y que las restricciones, en lugar de
  ser del tipo mayor o igual, son del tipo menor o
  igual
• sujeto a

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Problemas de selección Set partitioning

• Estos problemas difieren de los anteriores en que
  las restricciones son de tipo igualdad y el
  sentido de la optimización puede ser maximizar o
  minimizar, dependiendo de los casos.

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Problemas de selección Set partitioning

• Ejemplo 10.2.
• Supongamos que deben repartirse seis pedidos en
  dos tipos de camiones, pero no todos los pedidos
  son compatibles con todos los camiones. En la
  tabla se codifican las compatibilidades de
  pedidos y camiones, así como el coste de cada
  viaje.
• Así, por ejemplo, la columna Camión 1-1 de la
  tabla indica que la ruta del camión 1 en el viaje
  1 serviría los pedidos 1, 2 y 4.
• Se desea obtener un plan de viajes que atienda
  todos los pedidos una, y solo una vez, a un
  coste mínimo. El modelo de optimización sería el
  siguiente

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Problemas de selección Set partitioning

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• yj Variable binaria que toma el valor 1 cuando
  se escoge el camión j y 0 en caso contrario.
• Función Objetivo

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Problemas de selección Set partitioning

• Restricciones
• Asignación de pedidos
• No negatividad e integralidad

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Problemas de selección Set partitioning
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Problemas de selección Problema de la mochila

• Se llama así a cualquier modelo de programación
  entera pura que tenga una sola restricción. El
  planteamiento general de este tipo de problemas
  es el siguiente
• sujeto a
• El problema tiene este nombre debido a que puede
  interpretarse como escoger de entre un conjunto
  de elementos, p.e., paquetes que deben meterse en
  una mochila, el subconjunto que optimiza una
  determinada función, por ejemplo peso, valor,
  etc.
• La importancia de este problema se debe a que
  existen muchos problemas o, más bien, partes de
  ellos, que son formalmente iguales a éste.

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Problemas de selección Problema de la mochila

• Ejemplo 10.3.
• Un contrabandista desea pasar objetos a través
  de una frontera en un depósito oculto que es
  capaz de contener un máximo de 91 kg. Los
  artículos que se pueden transportar, su peso y la
  ganancia asociada a cada uno de ellos se detallan
  en la tabla. El contrabandista desea pasar el
  máximo valor monetario en artículos.

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Problemas de selección Problema de la mochila

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• yj Variable binaria que toma el valor 1 cuando
  se escoge el artículo j y 0 en caso contrario.
• Función Objetivo
• Restricciones
• Límite máximo de peso
• No negatividad e integralidad

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Problemas de selección Problema de la mochila
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Problemas no lineales modelizados mediante P.E.M.

• En este apartado se discuten las formulaciones
  adecuadas para tratar diversos casos de no
  linealidad que surgen a menudo en la práctica. La
  característica peculiar que distingue estos
  problemas de otros que ya tratamos anteriormente
  es que, para modelizarlos, es necesario recurrir
  al uso de variables enteras.

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Problemas no lineales con economías de escala

• Costes unitarios decrecientes de forma discreta.
• Una función de costes unitarios decrecientes de
  forma discreta, muestra un aspecto similar al de
  la figura. Como puede verse, la correspondiente
  función de costes medios es escalonada. Por
  ejemplo, si se está trabajando con un modelo de
  producción, la figura indicaría que
• Si se producen hasta L1 unidades de producto, el
  coste unitario de todas las unidades en este
  tramo (que son todas las consumidas) es c1.
• Si se produce una cantidad mayor que L1 y menor
  que L2, el coste unitario de todas las unidades
  consumidas es c2.
• Si se produce una cantidad mayor que L2 y menor
  que L3, el coste unitario todas las unidades
  consumidas será c3.

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Problemas no lineales con economías de escala
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Problemas no lineales con economías de escala

• El planteamiento quedaría
• sujeto a
• Límites superiores de los tramos
• Límites inferiores de los tramos
• Sólo puede seleccionarse un tramo o ninguno
• Restricciones de no negatividad e integralidad

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Problemas no lineales con economías de escala

• Donde
• cj el coste unitario asociado a xj
• xj cantidad adquirida al coste medio j-ésimo
• yj variable binaria que toma el valor de 1 si
  se selecciona el tramo j-ésimo y 0 en caso
  contrario
• Lj Límite superior del tramo j

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Problemas no lineales con economías de escala

• Ejemplo 10.4.
• Una compañía fabrica tres productos, cuyos
  precios de venta por unidad son 15, 49 y 60
  unidades monetarias. Para producir una unidad de
  cada uno de ellos se requiere una hora, hora y
  media y dos horas máquina, respectivamente. La
  capacidad de la planta impone un límite de 2.000
  horas máquina por semana. Debido al descuento por
  volumen de compras que ofrece un proveedor, los
  costes unitarios decrecen de forma discreta a
  medida que aumenta la cantidad comprada. Se desea
  maximizar el margen bruto de explotación
  (ingresos menos costes variables) de tal forma
  que la producción de cada uno de los productos
  suponga, al menos, un 15 por 100 de la cantidad
  total producida.

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Problemas no lineales con economías de escala

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• yjk Variable binaria que toma el valor 1 si se
  produce el produjo j en el tramo k y 0 en caso
  contrario.
• xjk Cantidad del producto j producida en el
  tramo k. Supondremos que es una variable
  continua.
• Función Objetivo

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Problemas no lineales con economías de escala

• Restricciones
• Horas disponibles
• Límites superiores en tramos de producción
• Producto 1
• Producto 2
• Producto 3

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Problemas no lineales con economías de escala

• Límites inferiores en tramos de producción
• Producto 1
• Producto 2
• Producto 3

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Problemas no lineales con economías de escala

• Sólo se puede producir en un tramo
• Producto 1
• Producto 2
• Producto 3
• Restricciones de producción mínima
• Producto 1
• Producto 2
• Producto 3
• No negatividad e integralidad

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Problemas no lineales con economías de escala
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Problemas no lineales con economías de escala

• Costes unitarios continuamente decrecientes
• Otro caso de economías de escala puede darse
  cuando los costes unitarios decrecen de forma
  continua. Por ejemplo, en un modelo de producción
  podría ocurrir que
• Las primeras L1 unidades se producen a un coste
  unitario de c1.
• Las siguientes L2 - L1 unidades se producen a un
  coste unitario de c2.
• Las últimas L3 - L2 unidades se producen a un
  coste unitario de c3.

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Problemas no lineales con economías de escala

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Problemas no lineales con economías de escala

• El planteamiento quedaría
• sujeto a
• Límites de continuidad
• Límites de producción en cada tramo
• Sólo puede seleccionarse un tramo o ninguno
• Restricciones de no negatividad e integralidad

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Problemas no lineales con economías de escala

• Donde
• cj Coste unitario asociado a xj.
• Lj Límite superior del tramo j-ésimo.
• xj Cantidad producida en el tramo j-ésimo. La
  producción total sería.
• yj Variable binaria que toma el valor 1 si se
  produce en el tamo j-ésimo y 0 en el caso
  contrario. Evidentemente, no se puede producir
  en un tramo si no se produce en el anterior.
  Esta condición queda garantizada por las
  restricciones de continuidad.

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Problemas no lineales con economías de escala

• Ejemplo 10.5.
• Una compañía de productos químicos fabrica un
  determinado compuesto. Las materias primas que lo
  forman, deben someterse a un proceso de mezcla a
  altas temperaturas en una cuba con capacidad para
  mezclar 300 tm/mes. Este proceso tiene economías
  de escala, de forma que el coste de calentamiento
  de las primeras 100tm es de 400 /tm, el de las
  siguientes 100tm es de 250 /tm y el de las
  últimas 100tm es de 150 /tm. Además, la demanda
  es sensible a la cantidad lanzada al mercado, de
  forma que el precio neto del producto (PVP menos
  coste de las mat. primas) varía de acuerdo con la
  cantidad producida, tal y como se muestra en la
  tabla. Se desea determinar el plan de operaciones
  que maximiza el margen bruto de explotación del
  proceso (ingresos menos costes variables).

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Problemas no lineales con economías de escala

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• yi Variable binaria que toma el valor 1 si se
  produce en el tramo i de la función de costes y 0
  en caso contrario.
• xi Cantidad de producto obtenida en el tramo i
  de la función de costes.
• ij Variable binaria que toma el valor 1 si se
  vende en el tramo j de la función de precio y 0
  en caso contrario.
• qj Cantidad de producto vendida en el tramo j
  de la función de precio.

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Problemas no lineales con economías de escala

• Función objetivo
• Restricciones
• La cantidad vendida debe ser igual a la cantidad
  producida
• Sólo se puede seleccionar un tramo
• Restricciones de continuidad

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Problemas no lineales con economías de escala

• Límites en los tramos de la función de costes
• Límites en los tramos de la función de precio
  neto
• Restricciones de no negatividad e integralidad

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Problemas no lineales con economías de escala
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Problemas de secuenciación

• Surgen cuando es necesario asignar de forma
  óptima una serie de actividades en un período de
  tiempo más o menos largo. Las características
  esenciales de este tipo de formulaciones son las
  siguientes
• Son problemas sencillos de describir y
  aparentemente fáciles de resolver. En realidad,
  forman una de las familias de problemas enteros
  más complejos y difíciles.
• Los costes y/o beneficios derivados de la
  ejecución de los trabajos pueden variar
  dependiendo de en qué momento se realicen.
• Puede que sea necesario realizar todos los
  trabajos, o bien que cada trabajo aporte una
  determinada ganancia a una restricción que sea
  necesario satisfacer al final del horizonte
  temporal de planificación.

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Problemas de secuenciación

• Ejemplo 10.6.
• Una compañía de vuelos charter realiza viajes
  desde Madrid a Barcelona, Valencia, Zaragoza, La
  Coruña, Bilbao, Londres y París. En un día
  determinado, ha contratado con el aeropuerto los
  servicios necesarios para organizar vuelos a las
  800 h, 1030 h, 1200 h, 1630 h y 2000 h. Los
  beneficios previstos (millones de euros) para
  cada combinación de vuelo-horario, en un día
  cualquiera, se muestran la tabla.

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Problemas de secuenciación

• La compañía debe planificar exactamente un vuelo
  para cada destino, excepto en los casos de
  Barcelona, Bilbao y París, que deben ser
  cubiertos por dos vuelos. Dada la disponibilidad
  de las instalaciones y servidos, en cada hora es
  posible programar dos vuelos excepto a las 800 y
  a las 2000, en que es posible programar tres
  vuelos. Si en una hora determinada no se agota el
  máximo número de vuelos posibles, el derecho de
  vuelo puede venderse a otra compañía por 100.000
  .
• Se desea planificar los vuelos del día de forma
  que el beneficio sea máximo.

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Problemas de secuenciación

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• yit una variable binaria, que toma el valor 1
  si un vuelo con destino i se programa a la hora t
  y 0 en caso contrario.
• bit Beneficio previsto para el vuelo con
  destino i si se programa a la hora t.
• rt Precio de venta de un derecho de vuelo a la
  hora t.
• at Número de derechos de vuelo vendidos a la
  hora t.
• Mt Número máximo de vuelos programados en la
  hora t.
• Ni Número de vuelos que deben asignarse al
  destino i.

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Problemas de secuenciación

• Función objetivo
• Restricciones
• Máximo número de vuelos en cada hora
• Cobertura de destinos
• Restricciones de no negatividad e integralidad

42
Problemas de secuenciación
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Problema del viajante

• El problema del viajante (Travelling Salesman
  Problem TSP) consiste en visitar n ciudades, una
  detrás de otra, de forma que no se repita la
  visita a ninguna ciudad. Estas visitas deben
  planificarse de forma que el número de km.
  recorridos sea el mínimo posible.
• El número de posibles recorridos (tours) entre n
  ciudades que cumplen las anteriores condiciones
  es (n-1)!
• Si tuviéramos que enumerar todas las posibles
  metas tendríamos
• 2! 2
• 5! 120
• 10! 3.628.000
• 20! 2,43 x 1018 (aproximadamente)
• 50! 3,04 x 1064 (aproximadamente)

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Problema del viajante

• El planteamiento quedaría
• Definición de variables
• yij Variable binaria que toma valor 1 si el
  recorrido del viajante va directamente de i a j,
  y 0 en caso contrario.
• Función objetivo

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Problema del viajante

• Restricciones
• Debe salirse una sola vez de cada ciudad i
• Debe entrarse una sola vez en cada ciudad i

46
Problema del viajante

• Si existen subtours entre m ciudades entrantes,
  se añade
• Subtour entre 2 ciudades (m2)
• Subtour entre 3 ciudades (m3)

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Problema del viajante

• Ejemplo 10.7.
• Un excursionista francés desea planificar un
  viaje en automóvil por España visitando las
  siguientes ciudades La Coruña, Santander,
  Bilbao, Valladolid, Zaragoza, Barcelona, Madrid,
  Valencia, Sevilla y Málaga. El turista comienza
  el recorrido en Barcelona, ya que es 'la ciudad
  más próxima a la frontera con su país. Además,
  después de efectuar su recorrido, desea volver a
  Barcelona, con el objeto de descansar algunos
  días antes de volver a Francia.

48
Problema del viajante

• En la tabla se dan las distancias por carretera
  entre estas diez ciudades. Se desea determinar
  cuál es el recorrido más corto que permite
  visitarla todas una y solo una vez.

49
Problema del viajante

• El planteamiento quedaría
• Función objetivo
• Restricciones
• Debe salirse una vez de cada ciudad

50
Problema del viajante

• Debe entrarse una vez en cada ciudad
• No negatividad e integralidad
• Se resuelve así planteado el problema. Si en la
  solución aparecen subtours se añaden las
  restricciones necesarias para romperlos y se
  vuelve a resolver el problema.

51
Problema del viajante

• Tras la resolución aparecerían 5 subtours, así
  que deberíamos añadir más restricciones para
  romperlos.

52
Problema del viajante

• Se resuelve así planteado el problema pero en la
  solución vuelven a aparecen subtours por lo que
  se añaden las restricciones necesarias para
  romperlos y se vuelve a resolver el problema.

53
Problema del viajante

• Se resuelve así planteado el problema pero en la
  solución vuelven a aparecen subtours por lo que
  se añaden las restricciones necesarias para
  romperlos y se vuelve a resolver el problema.

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Problema del viajante