Variables Aleatorias (ILI-280)

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Capítulo 4 Variables Aleatorias Distribuciones
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Variables Aleatorias
Función que asigna a cada punto del espacio
muestral un número real X ? R Ejemplo
N1 ? ? falla , no falla ? X(? no falla ?)
0 X(? falla ?) 1
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Variables Aleatorias
? Espacio Muestral
A cada s ? ? le corresponde exactamente un
valor X(s)
falla
no falla
Conjunto Números Reales



-
0 1
X ? Rx ? X-1(?-?, x?) ?
IR
Á
4
Variables Aleatorias
?
RX
a
b

• El espacio RX es el conjunto de TODOS los
  posible valores de X(s).
• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro
  espacio muestral
• El espacio muestral original induce un
  espacio muestra Rx asociado a la Variable
  Aleatoria X
• Luego un evento A en S induce un evento en el
  espacio muestral RX

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Variables Aleatorias
si
X(s) b s ? ?
?
A
sk
X(s) a
RX
a
b
Nótese que para cada par de números reales a y b
existen los siguientes conjuntos
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Función de Probabilidad

• El concepto de Probabilidad de ocurrencia de
  eventos en el espacio muestral ? se puede aplicar
  a eventos en RX.

W
RX
X(s) x
s
X W RX
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Variable Aleatoria
X ? R X-1(?-?, x?) ?
Variable Aleatoria Discreta
Sea C? (con C ? ?) Soporte contable f C
R C ? ci i ? I ? N ? i) f(ci) ?
0 ii) 1 Usando la
transformación X
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Variable Aleatoria Discreta

• Sea X una variable aleatoria.
• Si el número de posibles valores de
  X (esto es su RX).
• - Es finito (contable) o.
• - Es contablemente infinito
  (denumerable).
• Entonces llamamos a X una variable aleatoria
  discreta.
• Esto es, los posibles valores de X pueden ser
  listados.
• X1, x2, x3, ...., xn, .....
• - En el caso contable la lista
  es finita.
• - En el caso denumerable la
  lista es infinita contable

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Variable Aleatoria Discreta
Sea C ? X C tal
que i) p(ci) Pr(ci)? 0 X(ci) xi
P(A)
Á
Conjunto de eventos elementales de una familia de
eventos del espacio muestra C ? ?
IR
X es una función definida sobre el Espacio
Muestral, que mapea en el conjunto de los Números
Reales los eventos elementales definidos en C ?
ci i ? I ? N ?
En algunos textos se utiliza la letra f para
acentuar que la variable aleatoria discreta es
una fución
Sea A el evento tal los eventos elementales ci?C
pertnezcan también a A, esto es ci ? C ? A.
Usando la transformación X
å
å

)
p(c

x
P
)
(
X
i
i


Î
Î
A
C
c
i
i
i

I
i
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Función de Probabilidad v.a. Discreta
A cada resultado posible xi se asocia un número
f(xi) P(X(s) xi) llamado la probabilidad de
xi

• Los f(xi) deben satisfacer
• 0 ? f(xi) ? 1 i 1, 2, 3, ... , n
• S f(xi) 1
• El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina
  Función de Probabilidad o Cuantia.

?i
x
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X(ci) xi P(A) Propiedades función de
cuantia 1. P ( X xi ) ? 0 2. ? P ( X xi )
1 3. Función de Distribución F(x) ? P ( X
xi ) ? f ( xi )
i
xi?x
xi?x
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Esperanza de una v.a. X
Varianza de una v.a. X
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Distribuciones Discretas Especiales
1. Distribución Bernoulli X ? R P(X(?)0)
1 p P(X(?)1) p E ?X? 0 ( 1 - p ) 1
p p V ?X? ( 0 - p )2( 1 - p ) ( 1 - p )2 p
p ( 1 - p )
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Función de Distribución v.a. Discreta
Consideremos un solo experimento ?
sea A un evento asociado con tal
experimento. supongamos
que P(A) p luego P(Ac) 1- p
Sea la v.a. X(A ) 1
X(Ac) 0
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Distribuciones Discretas Especiales
2. Distribución Binomial Supongamos que de una
línea de producción se extraen n piezas con
reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no
con una probabilidad p. X N de piezas
defectuosas en las n extracciones Entonces
k 0, 1, 2,......,n
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• E ?X? np
• V ?X? np (1-p)
• Notación X ? B( n , p )
• Se utiliza en el muestreo de una población finita
  con reemplazo.
• También cuando la población es muy grande, con o
  sin reemplazo, ya que p se hace relativamente
  constante.

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Función de Distribución v.a. Discreta

• Sean n repeticiones independientes del
  experimento
• ? consiste de todos los posibles secuencias a1,
  a2, a3, .., an, donde cada ai puede ser un
  evento A o un evento Ac.
• Existen 2n de tales secuencias

Sea la variable aleatoria X número de
veces que ocurre el evento A
sus posibles valores son 0, 1, 2,
3 , ....., n
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Distribuciones Discretas Especiales
3. Distribución Hipergeométrica Surge en
poblaciones que contienen elementos clasificables
en 2 estratos ( con defectos D sin defectos N
- D ). Consideremos un lote de tamaño N. Se
extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo. X
N de artículos defectuosos en la muestra
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k 0,1,2,.....,min? n , D ? Es aplicable
al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación
al tamaño de la muestra ( N ? 10 n ).
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Distribuciones Discretas Especiales
4. Distribución de Poisson Supongamos que
tenemos una muestra de tamaño grande, para lo
cual la probabilidad de encontrar un artículo
defectuoso es pequeño p, y por lo tanto np el
número total de artículos defectuosos en la
muestra. Sea ? np. Entonces k 0, 1,
2,.......
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E ?X? ? V ?X? ? Caso límite X ? B( n , p
) con n ? p ? 0
N0
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Cronstrucción de un Modelo Probabilístico

• Las piezas a la salida de una línea de producción
  se clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas
  (N).

• Se toma tres piezas aleatoriamente y se
  clasifican de acuerdo a este esquema. El ? para
  este experimento es
• ? NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD

• La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p
  y no cambia. Eso implica que si la población es
  finita, las observaciones se hacen con reemplazo

• Interesa el número de piezas D y no el orden en
  que salen.

• Se define una v.a. X igual al número de piezas
  defectuosas luego, X 0, 1, 2, 3). Encontrar
  (xi, f(xi))

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Creando un Modelo Probabilístico
f(x)
0,5
0,4
0,3
0,2
x
0,1
0
24
Función de Distribución v.a. Discreta
F(x)
1 0
x
x1 x2 x3 x4 x5
x6 xn
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Variables Aleatorias Continuas

• Cuando el experimento ? se realiza sobre un
  espacio muestral ? que está relacionado con
  escalas intevalares (tales como mediciones de
  distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad,
  voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.)
• Ya que los posibles valores de X en un intervalo,
  a lt x lt b, son infinitos - no enumerables - no
  podemos hablar del i-ésimo valor de X
  xi En tales casos se habla se Variables
  Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o
  un conjunto de intervalos entonces existe una
  función continua especial
• f
• f(x) lim h ? 0 gt
  0

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Variables Aleatorias Continuas
Sea X una variable aleatoria continua. La función
densidad de probabilidad (pdf) es una función que
satisface
f(x)
x
f(x) gt 0
? x ? Rx ? -,
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Distribuciones de Probabilidad Continuas
Están definidas por una densidad de v. a. X f
R R se dice densidad de probabilidad Propieda
des 1. f (x) ? 0 2.
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Observaciones
1. 2. 3. F (-?) 0 F (?) 1 4. Fx es
no decreciente 5. 6.
f(x)
a
b
x
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Función de Distribución Acumulada
Si X es una variable aleatoria, la Función de
Distribución Acumulada mide la probabilidad de un
suceso en un intervalo de valores
F(x) P(X ? x)
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Construcción de Modelos de Probabilidad
II) Sea F R R , Fu Distribución,
entonces i) F es no decreciente ii) F es
continua por la derecha iii) lim F(x) 0 ? lim
F(x) 1 Luego P(? -? , x ?) F(x) define una
Probabilidad Además P( ?a,b? ) F(b) -
F(a) P( ?a,b? ) F(b) - F(a-) P( ?a,b? )
F(b-) - F(a) P( ?a,b? ) F(b-) - F(a-)
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Variables Aleatorias Continuas
Sea X una variable aleatoria continua que puede
tomar cuarquier valor entre a ? x ? b cuya pdf
es
Sea a 3 b 12 A el evento 4 lt
x lt 7 Entonces
1 3
P(A)
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Distribuciones Continuas Especiales

• Distribución Uniforme Dada la función de
  densidad
• La función de Distribución es

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Notación X ? U( a , b )
34
Distribuciones Continuas Especiales
2. Distribución Normal F(x) No tiene
expresión analítica
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Notación X ? N( ? , ?2 )
Estandarización
Haciendo ? N( 0 , 1 ) se tiene
que y FZ(z) se obtiene de tablas !
36
Distribuciones Continuas Especiales
3. Distribución Rayleigh
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Distribuciones Continuas Especiales
4. Distribución Gamma
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Función Densidad de Probabilidades
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Distribuciones Continuas Especiales
5. Distribución Chi-Cuadrado Evaluando en
Gamma Se llega a que X ? ?2(n) ? ? ( n/2 ,
2 )
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Distribuciones Continuas Especiales
6. Distribución Beta X ? ? ( r , s ) ssi
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(No Transcript)
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Función Densidad de Probabilidades