Synthse de Commande TOGUYENI Armand 1

1
Synthèse de commande des Systèmes à Evénements
Discrets

• Professeur A.K.A. TOGUYENI
• (ECLille/IG2I, UMR CNRS 8146),
• Ecole Centrale de Lille,
• B.P. 48, 59651 Villeneuve d'Ascq Cedex,
• FRANCE
• Tel (33 / 0) 3 20 33 54 49, Fax (33 / 0) 3 20
  33 54 18
• email armand.toguyeni_at_ec-lille.fr

2
Plan

• Introduction
• Outils de base
• Langages et expressions régulières
• Automates à états finis
• Bases de la Théorie du Supervisory Control
• Représentation des SED
• Opérations
• Contrôlabilité et supervision
• Supervision modulaire des SEDs
• Conclusion

3
Introduction (1)

• Objectif de la Synthèse de commande
• Découplage entre la commande des ressources et la
  synthèse des contrôleurs en assurant la
  coordination.

La ligne de fabrication produit deux types de
pièces p1 et p2 à l aide de deux machines munies
chacune d un stock d entrée. Toutes les pièces
passent dans le même ordre sur les deux machines.
L ordonnancement du système consiste à envoyer
alternativement des pièces p1 et p2 (p1, p2, p1,
p2, p1, ). Les pièces sont portées par des
palettes recyclées à la fin de la production de
chaque pièce (on pourra assimilé les pièces aux
palettes). Le chargement et le déchargement des
palettes sont supposés être sans contraintes
(durées négligeables, stocks de pièces à traiter
jamais vide, ).
4
Introduction (2)

• Domaines dapplication Systèmes à Evénements
  Discrets
• Systèmes manufacturiers
• Systèmes de transport
• Systèmes logistiques
• Gestion de Bases de Données
• Modélisation des protocoles de communication
• Caractéristiques des SEDs
• Discret du point de vue temporel et espace
  détats,
• Asynchrones (dirigés par les événements),
• Événements, conditions, signaux.

5
Outils de base (1) Les langages

• Définition 1 Alphabet
• Est un ensemble fini de symboles
• Exemple a, b, c, a, b, c, ?,?, ?.
• Caractéristique importante la taille de
  lalphabet (3 dans nos exemples).
• Définition 2 Un mot ou une chaîne
• Cest une séquence finie déléments dun
  alphabet.
• Exemples
• Sur lalphabet a, , z a, abs, zt, bbbxvvt
• Sur 0, , 9, a, b, g 3a2, 1bg4a,
• Longueur nombre de caractères de la chaîne.
• Mot de longueur 0 e

6
Outils de base (2) Les langages

• Définition 3 Un langage
• Cest un ensemble de mots définis sur un
  alphabet.
• Exemples Soit lalphabet a, b
• L1 aab, aaaa, e, a, b, abaaba
• L2 e, aaaaaaa, bb
• L3 F est différent de e
• Opérations
• Union de 2 langages L1 et L2
• L1 U L2 w / w ? L1 ou w ? L2
• Concaténation de 2 langages L1 et L2
• L1.L2 w /w x.y, x ? L1 et y ? L2

7
Outils de base (3) Les langages

• Définition 4 Fermeture itérative dun langage
  L
• Cest lensemble des mots construits par
  concaténation dun nombre quelconque de mots de
  L.
• Soit S un alphabet,
• S représente toutes les chaînes de symbole
  dans S
• S est alors vu comme un langage de chaînes de
  longueur 1.
• Exemples S0,1, L1 10, 1 et L2011, 11
• L1 U L2 10, 1, 011, 11
• L1 . L2 10011, 1011, 111
• L2e, 011, 11, 011011,01111, 1111, 11011,

8
Outils de base (4) Les Automates finis

• Définition 5 Automate fini
• Un automate fini (A.F.) est composé
• Dun ensemble fini détats q,
• Dun ensemble de transitions dun état à un autre
  liés sur occurrence dun symbole pris dans un
  alphabet,
• Un état initial q0
• Des états finaux marqués ou accepteurs.

q0 est un état initial (-gt) et un état marqué (
lt-)
9
Outils de base (5) Les Automates finis

• Un A.F. accepte une chaîne x si la séquence de
  transitions correspondant aux symboles de x
  conduit de létat initial vers un état marqué.
• Définition 6 Automate fini déterministe
• Cest un quintuplé MQ, S, d, q0, Qm
• Q est un ensemble fini détats,
• S est un alphabet,
• d est la fonction transition Q x S -gtQ / soit q
  dans Q et a dans S, alors d(q,a)q
• q0 appartenant à Q est létat initial
• Qm est lensemble des états marqués.
• L(G) est le langage reconnu (ou accepté) par
  lautomate G.

10
Outils de base (6) Les Automates finis

• Définition 7 Automate fini non déterministe.
• Cest un automate où lon permet
• Plusieurs transitions correspondant à la même
  lettre pour chaque état,
• Des transitions sur le mot vide (i.e. sans
  avancer dans le mot dentrée),
• Des transitions sur des mots de longueur
  supérieure à 1 (regroupement de transitions).
• Remarque Formellement la différence entre un
  A.F. déterministe et un A.F. non déterministe
  résulte en la transformation de la fonction de
  transition en une relation de transition.
• d(q,a)q1 ou d(q,a)q2
• On peut également avoir (p,u,q) ou u appartient à
  S.

11
Outils de base (7) Les Automates finis
12
Outils de base (7) Les Automates finis
a
aa
e
b
q0
q1
q2
ab
a
b
a, b
q3
q4
bbb
(aab)
b
bbb
(ab)
L(G) (aab)b bbb (ab) (aab) b (aa)
a (ab)
abbaa, baaaba, abaaabaaaaab sont-ils des
exécution acceptées ?
13
Outils de base (7) Les Automates finis
aa
a
e
b
q0
q1
q2
ab
a
b
a, b
q3
q4
bbb
ab
b
a
a
e
e
14
Outils de base (7) Les Automates finis
aa
a
e
b
q0
q1
q2
ab
a
b
a, b
q3
q4
bbb
b
e
aa
aa
ab
a
e
b
a
a
a

abaaabaaaaab
15
Supervisory Control (1) Bases

• Supervisory Control
• Théorie proposée par Ramadge et Wonham en 1987
  RAM87, WON87, WON88, LIN88a, LIN88b,
  ZHO90,
• Objectif Permettre la synthèse de la commande
  des SED à partir dune spécification séparée de
  la commande du procédé et des contraintes de
  fonctionnement.
• Hypothèse de base Le procédé est un générateur
  spontané dévénements.

16
Supervisory Control (2) Bases

• Modélisation dun SED
• Un SED est modélisé sous la forme dun Automate à
  états finis (A.F.)
• GS, Q, d, q0, Qm
• S est un alphabet fini de symboles
• S ScU Su
• Sc est lensemble des événements contrôlables,
• Ensemble des événements sur lesquels on peut agir
  (contrôler)
• Su est lensemble des événements incontrôlables.

17
Supervisory Control (3) Bases
arrêt
q0
d1 début de cycle f1 fin de cycle p1
panne r1 réparation
f1
r1
M1
d1
q1
q2
p1
marche
panne
Sc d1, r1 Su f1, p1
18
Supervisory Control (4) Bases

• Définition 8 Comportement clos dun SED (closed
  behavior)
• Définition 9 Comportement  complet  (marked
  behavior)
• Remarque

19
Supervisory Control (5) Bases

• Définition 10 Ensemble détats accessibles
  (reachable state)
• Définition 11 Système accessible
• Un système G est dit accessible si Qr Q.
• Définition 12 Ensemble détats co-accessibles
  (coreachable state)
• Définition 13 Système co-accessible
• Un système G est co-accessible si QcrQ.

20
Supervisory Control (6) Bases

• Définition 14 Système parfait (trim)
• Un système G est parfait si il est à la fois
  accessible et co-accessible.

DES
Qrq0, q1, q2, q4 Qcrq0,q1,q2,q3
21
Supervisory Control (7) Bases

• Définition 15 Ensemble des préfixes du langage
  généré par G
• Cest lensemble des séquences qui à partir de
  létat initial permettent datteindre un état
  marqué.
• Cet ensemble est noté
• Définition 16 Système non-bloquant
• Un système est non-bloquant si tout état
  accessible est co-accessible.
• Propriété 1 G est parfait alors G est
  non-bloquant.
• Proposition 1 Si K est inclus ou égal à S
  alors G représente K si G est non-bloquant et
  Lm(G)K.

22
Supervisory Control (8) composition dautomate

• Consiste à créer un automate à partir de la
  composition de deux automates indépendants
  définis sur 2 alphabets S1 et S2
• S1\ S2 Ø
• Le résultat de la composition correspond au
  produit cartésien des deux automates
• S1\ S2 ? Ø
• Composition parallèle ou produit synchrone
• Un événement commun ne peut être exécuté dans
  lautomate résultant que sil existe dans les
  deux automates (opération shuffle sous TCT)
• Composition totalement synchrone (équivalente à
  lintersection des deux automates)
• Un événement ne peut être exécuté dans lautomate
  résultant que sil existe dans les deux automates
  (opération meet sous TCT)

23
Supervisory Control (9) Produit Synchrone

• Objectif Donner des outils permettant de
  fusionner plusieurs modèles automates à états
  finis en un unique modèle.
• Projection dun alphabet vers un autre
• Soit L1 ? S1 et L2 ? S2 / S1 \S2 ? f. S S1U
  S2
• Définition 17 Produit synchrone

24
Supervisory Control (10) Produit Synchrone ou
composition parallèle
25
Supervisory Control (11) produit totalement
synchrone

• Définition 18 Intersection (meet)

26
Supervisory Control (12) produit totalement
synchrone
27
Supervisory Control (13) complement

• Définition 19 Complément dun A.F.
• Permet de rendre déterministe un A.F dont le
  comportement nest pas déterminé pour certains
  caractères dun alphabet.
• Soit T un alphabet / S \ T?Ø
• Si T S on note simplement Gcocomplement(G,-)

28
Supervisory Control (14) complement

• Règle de construction de Gco
• Ajouter un nouvel état q- non marqué à lensemble
  des états de G,
• A chaque état de G associer une transition vers
  q- de manière à ce que la fonction de transition
  soit une fonction totale,
• Echanger les sous-ensembles des états marqués et
  ceux non-marqués.

G1cocomplement(G1, -)
q1
g
b
b,a
a
q0
q2
g
b,a,g
q-
29
Supervisory Control (15) exemple du Kanban
Requête client
Pièce brute
Pièce usinée
HOP1
30
Supervisory Control (16) exemple du Kanban
a1déchargement de M1 b1chargement de
M1 g1requête pièce semi-finie d1requête client
g1
g1
a1
b1
d1
d1
31
Supervisory Control (17) exemple du Kanban
a2déchargement de M1 b2chargement de
M1 g2requête pièce brute g1requête pièce
semi-finie
a2
g2
g2
b2
g1
g1
CELL2
32
Supervisory Control (18) exemple du Kanban

• Pour obtenir le modèle dun système il suffit de
  réaliser le produit synchrone des modèles A.F. de
  ses composants. Ainsi
• CELLisync(Qi,Mi,HOPi,BBI)
• KANBANsync(CELL1,CELL2)
• 81 états,
• 196 transitions

33
Supervisory Control (19) Supervision concept

• Contrôle supervisé de G par V

34
Supervisory Control (20) Supervision concept

• Soit G (S, Q, d, q0, Qm) et SSc U Su. Un
  contrôle supervisé pour G est défini par
• avec V/G signifiant G sous le contrôle de V.
• Le comportement marqué de V/G est

35
Supervisory Control (21) Contrôlabilité concept

• V est dit non-bloquant ou vivant si
• Définition 20 Langage contrôlable
• Soit K inclus dans S. K est dit contrôlable si

K
L(G)
36
Supervisory Control (22) Contrôlabilité concept
d début de cycle f fin de cycle p panne r
réparation
Sc d, r Su f, p
K1 dpret K2 df, dp sont-ils contrôlables ?
37
Supervisory Control (23) Contrôlabilité concept
d début de cycle f fin de cycle p panne r
réparation
Sc d, r Su f, p
K1 dpr est non contrôlable K2 df, dp est
contrôlable
38
Supervisory Control (24) Contrôlabilité concept

• Définition 21 Langage L-clos
• Soit K /
• K est L-clos si
• Alors K contient tous ses préfixes qui
  appartiennent à L.
• Définition 22 Langage L-marqué
• Soit E et L inclus dans S . E est L-marqué si
• Alors tous les préfixes de E qui appartiennent à
  L sont également éléments de E.
• Théorème 1 Soit K un langage non-vide / K ?
  Lm(G) avec K?Ø
• Il existe un superviseur non-bloquant (vivant) V
  pour G tel que Lm(V/G)K si et seulement si
• K est contrôlable par rapport à G
• K est Lm(G)-clos

39
Supervisory Control (25) Contrôlabilité concept

• Ensemble des langages contrôlables inclus dans E
  un sous-ensemble de S /
• Proposition 2 C(E) est non vide et est clos par
  rapport à un ensemble arbitraire dunions. C(E)
  contient un élément suprême (unique) qui est noté
  supC(E).
• Remarque supC(E)U K / K ? C(E)
• Théorème 2 Soit E inclus dans S / E est
  Lm(G)-marqué, et soit KsupC(E \Lm(G)). Si K ? ø,
  il existe pour G un superviseur non-bloquant V /
  Lm(V/G)K.

40
Supervisory Control (26) Contrôlabilité concept
41
Supervisory Control (27) Contrôlabilité concept
42
Supervisory Control (28) Construction dun
superviseur

• Définition 23 Langages non-conflictuels
• Soit K et L deux sous-ensembles quelconques de
  S. K et L sont non conflictuel si
• Proposition 3 Soit SUP un SED quelconque
  définit sur S et supposons que
  . Alors SUP est un superviseur de G si et
  seulement si
• Lm(SUP) est contrôlable par rapport à G,
• SUP est parfait,
• Lm(SUP) et Lm(G) sont non-conflictuels.

43
Supervisory Control (29) Construction dun
superviseur
44
Supervisory Control (30) Exemple M1-M2

• Contraintes de fonctionnement
• Le stock étant de capacité unitaire, la machine
  M1 ne doit pas être remise en route avant que M2
  nait récupéré dans le stock la pièce précédente.
• En cas de défaillance des deux machines, M2 doit
  être réparé avant M1.

45
Supervisory Control (31) Exemple M1-M2
q3
arrêt
arrêt
q0
f2
f1
r2
r1
M2
M1
d2
d1
q4
q5
q1
q2
p2
p1
panne
marche
marche
panne
d1, d2 début de cycle f1, f2 fin de cycle p1,
p2 panne r1, r2 réparation
?c d1, d2, r1, r2 ?u f1, f2, p1, p2
46
Supervisory Control (32) Exemple M1-M2
M1SM2shuffle(M1,M2)
r1
q23
p1
f1
q13
d1
q03
d2
f2
q04
47
Supervisory Control (33) Exemple M1-M2
f1
SPEC1
q0
q1
Self-loop
d2
d1
p2
SPEC2
q2
q3
r2
r1
48
Supervisory Control (34) Exemple M1-M2
d1, p1, f2
p2
SPEC MEET(SPEC1,SPEC2)
q03
d2
f1
d1, p1, r1, f2
q02
r2
q12
r2
d1, p1, r1, f2
d2
f1
q13
p2
SPEC TRIM(SPEC)
d1, p1, f2
49
Supervisory Control (35) Construction dun
superviseur
M1SM2shuffle(M1,M2)
r1
q2
d2
p1
r2
f2
f1
q1
q5
d2
p1
d1
p2
q0
f2
q4
q8
d2
r1
d1
f2
r2
p1
f1
q3
p2
q7
p2
d1
r2
r1
f1
q6
50
Supervisory Control (36) Exemple M1-M2
d1, p1, f2
p2
SPEC MEET(SPEC1,SPEC2)
c
d2
f1
d1, p1, r1, f2
a
r2
b
r2
d1, p1, r1, f2
d2
f1
d
p2
SPEC TRIM(SPEC)
d1, p1, f2
51
Supervisory Control (37) Superviseur de M1-M2
FACT_UNDER_SPEC SUPCON(FACT,SPEC)
r2
p1
f2
r2
f2
q0a
q5a
p2
p1
f2
q4a
q8c
r1
d1
r2
f1
p1
q3b
p2
p2
q7c
d1
q6d
f1
52
Supervisory Control (38) Superviseur M1-M2
FACT_UNDER_SPEC SUPCON(FACT,SPEC)
r2
f2
r2
f2
0
7
p2
p1
f2
5
10
r1
d1
r2
f1
p1
8
p2
p2
9
d1
11
f1
53
(No Transcript)
54
Supervision modulaire (1)

• Objectif dune démarche modulaire réduction de
  la complexité dun problème.
• Le problème de supervision peut être alors
  découpé en plusieurs sous-problèmes indépendants
  WON88.

55
Supervision modulaire (2)
S1S2Sn le superviseur résultant de la
conjonction des n superviseurs
56
Supervision modulaire (3)
L(S)
L(G)
L(SS\G)
L(S?)
57
Part 1. Introduction to SCT for DES - refresher
concepts - limits Part 2. Extensions - Divide
and conquer - horizontal decomposition -
vertical decomposition Part 3. Local
extensions - Hierarchical decentralized
architecture - Multimodel structure Conclusions
58
Horizontal decomposition (I)
Modular supervision of DES Decomposition on the
supervision level each supervisor observes all
the generated events. Each supervisor acts on the
complete process G
S1(s)
S2(s)
S1
S2
?c ? ?uc
?c ? ?uc
G
Decentralized supervision of DES Decomposition on
the process level then on the supervision level
each supervisor observes their own process
generated events. Each supervisor acts on a part
of the process G
S1(s)
S2(s)
S1
S2
?c1 ? ?uc1
?c2 ? ?uc2
G
G1
G2
59
Modular architecture
Let G identical as centralized and K1, K2 ? S be
2 objectives Problem how to synthesize a
supervisor S that respect K1 and K2 ? Let K K1
? K2 L(S/G) SupC (K1 ? K2, ?uc, L(G)) Theorem
if L(Si/G) SupC (Ki, ?uc, L(G)) L(S1/G) ?
L(S2/G) L(S/G)
S1 and S2 observe all events generated by G
60
Modular principle

Smod
all the set of events are observed by each
subsupervisor one event s will be enabled if
enabled concurrently by all the subsupervisors
the final behaviour of the controlled process
associated to those subsupervisors S1, S2,, Sn
corresponds to the language L(G) ? L(S1) ? L(S2)
? ? L(Sn).
Concurrent behavior
In the case of 2 subsupervisors S1 and S2,
modular supervisor Smod corresponds to the
conjunction of S1 and S2 as follows Smod(s)
S1(s) ? S2(s). One event is enabled by Smod iff
is realizable in G and is enabled by both S1 and
S2.
61
Realization of Supervisors

• The closed loop behavior of the system L(S/G)
  must be
• Controllable
• Nonblocking
• As permissive as the centralized one

Implementation ?
Given standard realizations R1 and R2 of S1 and
S2 respectively the standard realization of Smod
is R such as R R1 x R2 It is also possible to
interpret the supervision of G by Smod as R1 x R2
x G
62
conjunction principle
If K1 and K2 are controllable i.e. pref (Ki) .
?uc ? L(G) ? pref (Ki) Lm(S1), Lm(S2)
controllable wrt G and each subcontrolled
system S1/G and S2/G are nonblocking pref
Lm(S1/G) L(S1/G) and pref Lm(S2/G)
L(S2/G) Modular architecture a common enabled
event is simultaneously enable by S1 and S2,
Lm(S1 ? S2)/G Lm(S1/G) ? Lm(S2/G) marked
controled behavior Then S1 ? S2 is a supervisor
of G iff Lm(S1/G) and Lm(S2/G) are
nonconflicting (S1 ? S2, G) nonconflicting ?
(S1 ? S2) ? G ? (S1 ? G) ? (S2 ? G) if K1
and K2 are controllable and nonconflicting then
K1 ? K2 controllable
63
Conflict
Blocking is relevant to the possible conflict
relative to the concurrent actions of the
conjunction supervisors on a same component of G.
The languages K1 and K2 are nonconflicting iff
pref K1 ? K2 pref K1 ? pref K2 in other
words, if SupC(K1 ? L(G)) and SupC(K2 ? L(G)) are
nonconflicting.
S c,a,b
Sc,b
b
c
1
3
E2
1
3
E1
a
b
b
b
b
2
2
64
Maximally permissive
If K1 and K2 are individually controllable, one
must verify the controllability of pref K1 ? pref
K2. If K1 and K2 are G pref-closed and pref K1
? pref K2 controllable then pref K1 ? K2 is
also controllable.
If SupC(K1 ? L(G)) ? SupC(K2 ? L(G)) SupC(K1 ?
K2 ? L(G)) , it is also proved that the closed
behaviour
is identical to that of the centralized
supervision i.e. maximally permissive i.e.
K1?L,c and K2?L,c are nonconflicting, then (K1 ?
K2) ?L,c K1?L,c ? K2?L,c
65
Summary

• Process modelling where language L(G) generated
  by G
• Specification language L(Ei) generated by Ei
• Compose the Si/G structure i.e. formulate the
  composed automaton G x Ei
• Define a supervisor Si such as L(Si/G) Ki
• Ki is controllable with respect to L(G) iff pref
  Ki.?uc ? L(G) ? pref Ki,
• if not determine Ki?L,c
• Verify the nonconflicting condition

2
Specification En
Specification E1
3
L(Sn/G) Kn
L(S1/G) K1
Sn/G G x En
S1/G G x E1
Kumar
Kumar
4
K1?L,c
Kn?L,c
5
Nonconflicting condition i.e. pref K1 ? K2
pref K1 ? ? pref Kn
Process G
1
66
Composition G En
For complex systems it is also possible to
compose G resulting from the parallel composition
of subprocess Gi.

2
Specification En
Specification E1
3
L(S1/G) K1
Sn/G G x En
S1/G G x E1
Kumar
Kumar
4
K1?L,c
Kn?L,c
5
Nonconflicting condition i.e. pref K1 ? K2
pref K1 ? ? pref Kn
Process G
G G1G2Gm
1
Process G1
Process Gm

Process G2
67
Bench mark
Conv
UT
Mi i ? 1,2,3
68
Modular example specification E1
loop1 d1, f2, f3, dt, tb, tr , dc
loop1
loop1
E1
f1, fc
f1, fc
0
1
2
d2, d3
d2, d3
2
Specification E1
3
L(S1/G) K1
S1/G G x E1
Kumar
supC(E1, G) 64 states,288 transitions
4
K1?L,c
5
Process G
Process G1
Process G5

Process G2
G G1G2G5
1
69
Modular example specification E2

• loop2 d1, f1, d2, d3, tb, tr, dc , fc

loop2
loop2
E2
f2, f3
f2, f3
0
1
2
dt
dt
2
Specification E2
3
L(S2/G) K2
S2/G G x E2
Kumar
4
K2?L,c
supC(E2, G) 64 states,304 transitions
Process G
G G1G2G5
Process G1
Process G5

Process G2
1
70
comparison
Let E1 and E2 be 2 specifications K1 and K2 are
not controllable, so determine K1?L,c and K2?L,c
Verifying that K1?L,c and K2?L,c are
nonconflicting, then (K1 ? K2) ?L,c K1?L,c ?
K2?L,c
5
71
Horizontal decomposition (II)
Modular supervision of DES Decomposition on the
supervision level each supervisor observes all
the generated events. Each supervisor acts on the
complete process G
S1(s)
S2(s)
S1
S2
?c ? ?uc
?c ? ?uc
G
Decentralized supervision of DES Decomposition on
the process level then on the supervision level
each supervisor observes their own process
generated events. Each supervisor acts on a part
of the process G
S1(s)
S2(s)
S1
S2
?c1 ? ?uc1
?c2 ? ?uc2
G
G1
G2
72
Decentralized supervision of DES
Motivations G is decomposed in subprocess Gi A
local task is completely defined by the local
alphabet ?i
S1
S2
?1
?2
G1
G2
P2
G
P1
natural projections Pi ? ? ?i such as
Pext (?) ? ? if ? ? ?i P(?)
? otherwise
Each subsupervisor Si synthesizes an optimal
sublanguage supC P-1L(G) ? Ei Concurrent
action of all Si ? L(?i , G) supC L(G) ? E

73
Process decomposition

S2
S1

Projection P1
G
Projection P2
G

G

1


2

G1 virtual
G2 virtual

The decentralized approach consists in
decomposing a system to be controlled (G) into
subsystems (Gi), for which local subsupervisors
(Si) are relatively easy to obtain. When a
supervisor acts on any controllable event within
the complete event set ?, we say that the
supervisor is global. However, a subsupervisor
that can only control a certain subset of
controllable events is said to be local (Si).
74
Specification decomposition
Similarly, a specification E is global if
applicable to ? and will be local (Ei) if
applicable to some subset ?i of ?. Execution of
a given controlled subtask may only require some
subsets of the event alphabet ? of global process
G to be managed. In such a structure, a local
controller Si only observes and controls events ?
?i. Local supervisor Si is build by using only
the local information Pi(L(G)) where Pi is the
projection mask from ? to ?I i.e. erase all
events that do not belong to ?i from a string ? .

S2
S1


Projection P1
G
Projection P2
G

G

1


2


75
Control under partial observability
Let ? ?c ? ?uc ?o ? ?uo where ?o being the
subset of the observable events and ?uo the
subset of the unobservable (cannot be seen by the
supervisor) events either controllable or not.
The projection P hides the unobservable events
generated by G from supervisor Sp Feedback loop
for control under partial observation includes a
natural projection P between G and the
supervisor. Sp will be called partial-observation
supervisor, noted P-supervisor. Due to P, Sp
cannot distinguish 2 strings s1 and s2 that have
the same projection P(s1), P(s2) ? L(G), Sp will
issue the same control action SpP(s1).
s
G
SpP(s)
P
Sp
P(s)
76
Decentralised supervision of DES
Let n partial-observation supervisors each
associated with different projection Pi, i
1,..n, jointly controlling G with set events S.
What differs from modular architecture? The
individual supervisor may be partial-observation
supervisors and moreover their respective set of
observable and unobservable events need not all
be the same.
77
Optimal behavior (I)
Optimality is the decentralized closed loop as
permissive as the equivalent one in a centralized
approach?
S2(s)
S1(s)
?
Sdec
S2
S1
G
G1
G2
P1(s)
P2(s)
s
P1
P2
G
78
Optimal behavior (II)
K1L(S1/G1)
S2
S1
seen equivalent to Si acting directly on G
G1
G2
G
P2
P1
can then be defined by L(G) ? Pwr(?) t
enabled if Si(Pi(t)) ? (? - ?i) synthesizes
L(G) ? Pi-1(Ki)? ? with Ki ?
is optimal iff Ki i.e. Ki is P-normal wrt
L(G) and Pi projection if L(G) ? (Pi-1(Ki))
79
Optimal behavior (III)
Si Si(s) observes and acts on the set of
strings s ? ?i such as Ki SupCPiL(G) ? Ei ?
?i
S1(s) Sp1P1(s)
Partial-observation Supervisor i
Local process Gi
Ki L(Si /Gi)
P1(s)
represents the extension of Si to the global
process G
synthesizes (L(G) ? Pi-1Ki, ) ? ?
Extended partial-observation Supervisor
Global process G
80
Property of Normality

• Intuitively for a P-normal language K, it is
  always possible to define the entire string s in
  K from its projection.
• K is P-normal if it is the greatest sublanguage ?
  L(G) and includes P(K) as projection.
• K is completely defined by its projection i.e.
  there is no string s ? K that will not exist in
  its projection.
• Given a prefix closed and controllable language K
  ? L(G) , K will be P-normal if
• K L(G) ? P-1 P(K), (P-1 defines the
  inverse projection of P)
• P-1 Pwr(?o) ? Pwr(?)
• P-1 (s) s' ? ?? P(s') s with s ? ?o

81
Summary

• Define the controllable and observable language
  ?i ?ic ? ?iuc ?io ? ?iuo
• Define projection Pi
• Process model describing L(Gi) is generated by Gi
• Specification language L(Ei) generated by Ei
• Compose the Si/Gi structure i.e. formulate the
  composed automaton Gi x Ei
• Define a supervisor Si such as L(Si/Gi) Ki
  SupCPiL(G) ? Ei, ? ?i
• Ki is controllable with respect to L(Gi) iff
  pref Ki.?uc ? L(Gi) ? pref Ki,
• if not determine Ki?Li,c
• 7. Define

which synthesizes (L(G) ? Pi-1Ki ) ? ?
is optimal iff Ki
8.
82
Summary
4
..
Specification En
Specification E1
5
L(S1/G1) K1
L(Sn/Gn) Kn
Sn/Gn Gn x En
S1/G1 G1 x E1
Kn?L,c
K1?L,c
Kumar
6
SupC
SupC
7
(L(G) ? Pi-1Ki, ) ? ?
(L(G) ? P1-1K1, ) ? ?
K1
P-Norm
P-Norm
3
.
8
Process G1
Process Gn
2
Proj P1
Proj Pn
Process G
1
83
Composition G En
4
..
Specification En
Specification E1
5
L(S1/G1) K1
L(Sn/Gn) Kn
Sn/Gn Gn x En
S1/G1 G1 x E1
Kn?L,c
K1?L,c
Kumar
6
SupC
SupC
7
(L(G) ? Pi-1Ki, ) ? ?
(L(G) ? P1-1K1, ) ? ?
K1
P-Norm
P-Norm
3
.
8
Process G1
Process Gn
2
Proj P1
Proj Pn
Process G
1
G G1G2Gm
0
Process G1
Process Gm

Process G2
84
Decentralized supervision of DES a modelling
choice
G2 local process concerned by B2
G1 local process concerned by B1
85
Local alphabets
S2 d2, f2, d3, f3, dt
S1 d1, f1, d2, d3, dc, fc
P1 S ? S1
P2 S ? S2
86
Local process G1

• G1 4 states, 16 transitions

?1 d1, f1, d2, d3, dc, fc
Process G1
P1 S ? S1
Proj P1
Process G
Process G1
Process Gm

Process G2
G G1G2Gm
87
Local process G2

• G2 4 states, 12 transitions

?2 d2, f2, d3, f3, dt
Process G1
P2 S ? S2
Process G2
Proj P1
Proj P2
Process G
Process G1
Process Gm

Process G2
G G1G2Gm
88
local specification for stock E1
This specification is the same as in centralized
approach but defined on local alphabet ?1
loop3
loop3

• loop3 d1, dc

f1, fc
f1, fc
0
1
2
d2, d3
d2, d3
Forbidden events f1 and fc
Forbidden events d2 and d3
89
local specification for stock E2
This specification is the same as in centralized
approach but defined on local alphabet ?2
loop4
loop4

• loop4 d2, d3

f2, f3
f2, f3
0
1
2
dt
dt
Forbidden events f2 and f3
Forbidden events dt
90
second comparison
decentralized approach
modular approach
centralized approach
4,16 4,12
Process
32,176
32,176
3,14 3,12
3,29 3,30
Specifications
9,78
64,288 64,304
Process under control
8,20 8,16
128,496
91
Conclusion sur la synthèse à base dautomates

• Inconvénients des automates
• Une explosion combinatoire, due au produit des
  sous-systèmes élémentaires
• Problème de modélisation du parallélisme
• Pour les systèmes complexes réels nécessité de
  réduire la taille des automates
• Idée Développer une approche basée sur les RdP
• Les RdP sont bien adaptés à la prise en compte du
  parallélisme

92
Synthèse de commande des Systèmes à Evénements
Discrets approches basées sur les RdPs
93
Introduction (1)

• Ingénierie de la commande basée sur les RdP
• Le contrôle-commande automatique des systèmes
  manufacturiers
• La commande de ces systèmes est modélisée à
  laide des RdP
• Principales limites méthodologiques Prise en
  compte simultanée des contraintes du procédé et
  des objectifs de commande.
• Problème de garanti du respect du cahier de
  charges
• Problème lié à la non flexibilité de la commande

94
Problématique (1)

• Notre objectif
• Proposer une méthode systématique et rigoureuse
  permettant de construire les contrôleurs gérant
  les indéterminismes de la commande (partage de
  ressource,).
• Synthèse de commande
• Le modèle du procédé
• Spécifications

95
RdP et Automate G. Alpan (1)
2
1
Graphe de Marquage
b
d
a,d
3
Spécifications
c
d
S0S3
S0S3
a
c
Proposition 3
d
S1S4
b
Algorithme I
S2S5
d
96
RdP et Automate G. Alpan (2)
4
Le modèle combiné selon Alpan

Algorithme II
S0S3
a
c
S1S4
b
S2S5
97
RdP (1) GMEC

• GMEC Generalized Mutual Exclusion Constraints,
• Point de vue pratique Condition qui permet de
  limiter le nombre de jetons dans un sous-ensemble
  de places dun RdP,
• Intérêt Permet de mettre en uvre des
  spécifications du type  états interdits 
  (forbidden state).
• Biblio A. Giua (Cagliary, Italie), F. DiCesare
  (Rensselaer Polytechnic Institute, USA), M.
  Silva (Saragosse, Espagne), Yamalidou,

98
RdP (2) GMEC
1
2
3
p1
p4
t1
t4
t5
t2
t3
p2
p3
Pc
4
Spécification
5
Méthode de détermination de places de contrôle à
partir des invariants de marquage.
99
RdP (3) GMEC

• Soit Dc la matrice de contrôle / . On montre
  que Dc-LDp et D la matrice du RdP en boucle
  fermé est /
• Le calcul de Dc permet de déterminer comment les
  places de contrôle sont reliées au RdP initial.
• Détermination du marquage initial
• Principale limite spécification basée
  uniquement sur la notion détat

100
Outline

• Introduction context
• User specification problem Forbidden Sequences
  of State-Transitions Problem
• Application of theory of regions to FSSTP
• Modular Synthesis Approach
• Conclusion

101
Context

• Our goal
• To address the problem of designing Petri Nets
  controllers to control Flexible Manufacturing
  Systems with respect to user specifications
• Bases
• Supervisory control theory
• Theory of regions
• Modeling of plant model and user specifications
  by Petri Nets

102
User specification problem Forbidden Sequences
State-transitions Problem

• Forbidden Sequences of State-transitions Problem
• A forbidden sequence of state-transition problem
  (FSSTP) is a problem based on PN. The expected
  behavior of a plant model must
  satisfy the following conditions
• (a) (EB the expected
  behavior)
• (b) , ?
• ( Sequence of firing
  transitions)
• (c)
  and
• ( Sequence of forbidden
  transitions,
• reachability
  graph)

103
Forbidden Sequences State-transitions Problem
Example
B. Reachability Graph
A. Plant PN model
C. Forbidden behavior
104
Outline

• Introduction context
• User specification problem Forbidden Sequences
  of State-Transitions Problem
• Application of theory of regions to FSSTP
• Modular Synthesis Approach
• Conclusion

105
Introduction to theory of regions

• New adaptation proposed by Ghaffari et al.
  GHA,02
• To add control places to an initial PN controller
  in order to avoid reaching forbidden states
• Theorem There exist a PN which
  reachable graph is , iff there
  exist a set of control places
  as
• 1. Each place p of satisfies the
  cycle equation (1) of
• 
  (1)
• 2. Each place p of verifies the
  reachability equation (2) of marking of
  
• 
  (2)
• 3. To each pair such as t does not fire
  from M, it exists at least one control place
  which satisfies the equation (3) of event
  separation.
• 
  (3)

106
Automation of the extraction of the theory of
regions equations (1)

• Rule 1 A transition of the specification model
  can only be fired when it is enabled in the two
  models.
• Rule 2 An enabled transition of the plant PN
  model must be inhibited if this transition exists
  in the two models and if it is not simultaneously
  enabled in the specification model.

107
Automation of the extraction of the theory of
regions equations (2)

• Theorem 2 If it exits a transition tik /
  MitikgtMk and tik verifies rule 1, then ? ? ? AS
  / M0? gtMi, ?.tik ? AS.
• Theorem 3 If it exits a transition tik /
  MitikgtMk and tik verifies rule 2, then ? ? ? AS
  / M0? gtMi, ?.tik ? FS.

108
Application of Theory of Regions to the
producer-consumer

• User specifications
• Machine 2 cannot be run when the buffer is empty,
• Machine 1 cannot be run when the buffer is full.

Buffer (c1)
M1
M2
109
Reachability Equations
t3
M1
M0
t1
P5
t
t
1
2
P6
Event Separation Equations
t
3
Machine1
Machine2
P1
P3
idle
idle
t
t
1
3
work
P2
work
P4
t
t
2
4
110
Reachability Equations
t3
t3
M1
M0
M2
t2
t1
P5
t
t
1
2
P6
Event Separation Equations
t
3
Machine1
Machine2
P1
P3
idle
idle
t
t
1
3
work
P2
work
P4
t
t
2
4
111
Cycle Equations
Reachability Equations
t3
t3
t1
M1
M0
M2
M3
t2
t1
t3
t4
P5
t
t
1
2
P6
Event Separation Equations
t
3
Machine1
Machine2
P1
P3
idle
idle
t
t
1
3
work
P2
work
P4
t
t
2
4
112
Cycle Equations
Reachability Equations
t4
t3
t3
t1
M1
M0
M2
M3
M4
M5
t2
t1
t1
t2
t3
t4
t4
P5
t
t
1
2
P6
Event Separation Equations
t
3
Machine1
Machine2
P1
P3
idle
idle
t
t
1
3
work
P2
work
P4
t
t
2
4
113
Cycle Equations
Reachability Equations
t4
t3
t3
t1
t1
M1
M0
M2
M3
M4
M5
t2
t1
t1
t2
t3
t4
t4
P5
t
t
1
2
P6
Event Separation Equations
t
3
Machine1
Machine2
P1
P3
idle
idle
t
t
1
3
work
P2
work
P4
t
t
2
4
114
Solving of the theory of regions equations

• The transitions and are defined
  uncontrollable ,
• Potential control places

115
Application of the theory of region

• Closed-loop behavior model

116
Outline

• Introduction context
• User specification problem Forbidden Sequences
  of State-Transitions Problem
• Application of theory of regions to FSSTP
• Decentralized Synthesis Approach
• Conclusion

117
Modular Synthesis Approach (1)

• Definition (Queiroz, 2000) A Product System
  is a system such as
  is a composed of
  sub-systems Gi with
  
  
• such as
  and
• Let Ex be specifications defined respectively in
• (specifications are locally
  defined)

118
Modular Synthesis Approach (2)

• Local Modular Control
• Consits in computing a maximally supervisor Sx,j
  for each local sub-system Gx,j

• Local modularity (nonconflict)

• necessary and sufficient condition for (Queiroz,
  2000)
• avoiding conflict (blocking)
• optimality.

119
Decentralized Synthesis Approach (3)

• Illustration of our approach

Example of Industrial Transfer Line
120
P19
t7
t3
P13
P20
t1
t2
t8
t4
P14
P21
t3
t9
Ea
Eb
Ed
Ec
B. Specifications PN Models
121
A. PN controllers with respect to specifications
Ea, Eb, Ed
B. PN controllers with respect to specification
Ec
122

• PN Controller of the Industrial Transfer line
  corresponding to the user specifications

123
Conclusion

• Our focus and works
• Contribute to the approaches to synthesize DES
  controllers with respect to user specifications
  based on the supervisory approach and the Petri
  net formalism
• Develop a software tool that assists a designer
  to build the PN controllers corresponding to the
  closed-loop behavior that guarantees user
  specifications.
• Future works
• Use this approach to build deterministic part
  controller
• Systematic write of the PN user specifications
• Develop an efficient software tool to be used on
  line for reconfiguration purpose.

124
Bibliographie (1)

• HOP79 John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman,
   Introduction to Automata Theory, Languages, and
  Computation , Addison-Wesley, 1979.
• LIN88 Lin, F., and Wonham, W.M., On
  Observability of Discrete Event Systems,
  Information Sciences, Vol. 44, No. 2, pp. 173-198
  (1988).
• LIN90 Lin, F., and Wonham, W.M., Decentralized
  Control and Coordination of Discrete Event
  Systems with Partial Observation, IEEE Trans on
  Automatic Control, Vol. 35, No. 12, pp. 1330-1337
  (1990).
• NIE96 Niel, E., Rezg, N., Nourelfath, M. and
  Boukhobza, S., Supervisory Control in the
  context of Operational Safety Reactivit, in the
  proceedings of IMACS-IEEE SMC CESA'96, Lille,
  France, pp. 746-751 (July 1996).
• RAM87 Ramadge, P.J., and Wonham, W.M.,
  Supervisory Control of a class of Discrete Event
  Processes, SIAM J. on Control and Optimization,
  Vol. 25, No. 1, pp. 206-230 (1987).
• WON88 Wonham, W.M., and Ramadge, P.J., Modular
  Supervisory Control of Discrete Event Systems,
  Maths of Control, Signals Systems, Vol. 1, No.
  1, pp. 13-30 (1988)
• ZHO90 Zhong, H., and Wonham, W.M., On
  Consistency of Hierarchical Supervision in
  Discrete Event Systems, IEEE Trans on Automatic
  Control, Vol. 35, No. 10, pp. 1125-1134 (1990).

125
Bibliographie (2)

• A. Giua, F. Dicesare, M. Silva,  Generalized
  Mutual Exclusion Constraints on Nets with
  Uncontrollable Transitions , Proc. IEEE/SMC,
  (Chicago, USA), pp. 974-979, october 1992,
• K. Yamalidou, J. Moody, M.Lemmon P.Antsaklis,
  Feedback control of petri nets based on place
  invariants, Automatics, vol.32, No.1, pp.15-28,
  1996
• Gülgün Alpan Mohsen A.Jafari, Synthesis of a
  Closed-Loop Combined Plant and Controller Model,
  IEEE Transactions on Systems , Man, and
  Cybernetics, Part B, 2002.
• E.J. LEE, A.K.A. TOGUYENI, N. DANGOUMAU, A
  Petri Net based Decentralized Synthesis Approach
  for the Control of Flexible Manufacturing Systems
  , Computational Engineering In Systems
  Applications (CESA2006), Beijing, China, October
  2006
• E.J. LEE, A.K.A. TOGUYENI, N. DANGOUMAU, A
  Petri Net based approach for the Synthesis of
  Parts Controllers for Reconfigurable
  Manufacturing Systems , SICE-ICCAS2006, Bexco,
  Busan, Korea, October 2006

126
Supervisory Control (28) Construction dun
superviseur

• Proposition 4 Soit K un langage arbitraire
  définit sur S . Soit G / (i.e. G non
  bloquant). K est un superviseur optimal de G ssi
  
• Lm(K) est contrôlable /G
• K est parfait
• Lm(K) et Lm(G) sont non-bloquants.
• En pratique Soit G un SED et E une
  spécification donnée / ELm(E)
• KsupC(E\Lm(G)) gt KDESsupcon(G,E)