1' HISTORIQUE

1
1. HISTORIQUE
Origine PROLOG PROgrammation LOGique. 1967
SIMULA 67 1972 introduit par Alain COLMERAUER.
Ce langage permet une programmation
 déclarative . Repose sur deux courants la
définition des langages de programmation
( W-grammaires ) et la démonstration
automatique 1981 programme Japonais de 5ème
Génération. 1989 Programmation Logique avec
Contraintes (Prolog III) 1995 Extension et
introduction des contraintes sur intervalles
(Prolog IV)
2
HISTORIQUE (1)
Logiciels Prolog Ø Domaine du   libre  INRIA
GNU-Prolog Sicstus, Eclipse Ø Domaine
payant PrologIA Prolog 4 COSYTEC (Orsay) CHIP
(Constraint Handling in Prolog) ILOG Solver
3
HISTORIQUE(2)
Méthodologie de construction de
programme Spécification logique à partir de
laquelle on dérive un programme à laide de
 règles de dérivation . Aspects neufs Le
langage dans lequel la spécification et le
programme sont écrits est le  même . Les règles
de dérivation conservent la logique  si le
programme sarrête le résultat est conforme à la
spécification.
4
HISTORIQUE (3)

• Exemple PLC grand public
• vc(L, C) vrai si L est une liste de versements
  annuels qui rembourse le capital C avec un
  intérêt de 10 .
• Spécification (et aussi programme)
• vc(, C) lt (C 0).
• vc (V Lp, C) lt vc(Lp, Cp) et Cp C V
  (1/10) C.
• Une première question, typique dun banquier
  typique
• ? V, vc(V, V, V, 1000) ?
• Réponse V 133100/331 ou 402.11480362537765

5
HISTORIQUE (5)

• Aspect  déclaratif 
• Autre question dans le même style (pas pour
  banquier ordinaire)
• ? V, vc(V, 2V, 3V, 1000) ?
• V 133100/641 ou 207.6443057722309
• Ou encore (pas pour banquier du tout)
• ? C, vc(200, 400, 300, C) ?
• C 982000/1331 ou 737.7911344853494

6
2.CLAUSES DE HORN, MACHINE PROLOG

• clause de Horn P0 lt P1? ? Pn avec n ? 0
• Pi formule atomique (plus petite formule qui
  peut être égale à vrai ou faux)
• Pi p (t1, , tm) avec m ? 0
• p prédicat
• t1, , tm termes
• - soit une constante 123, theodore,
• soit une variable (ou inconnue) X,X1,Mav.

7
CLAUSES DE HORN, MACHINE PROLOG (1)

• soit un terme complexe f (t1, , tp), p ? 0
• f foncteur (une constante)
• t1, , tp termes
• Exemple f (1, g (3, X))
• Les variables des clause sont quantifiées
  universellement
• Exemple
• ?X, biellecoulée(X) lt plusd huile(X) ?
  voyantrouge(X)

8
CLAUSES DE HORN, MACHINE PROLOG (2)

• Toute clause de Horn peut se mettre sous la
  forme
• P0 ?P1 ? ? Pn avec n ? 0
• Démonstration ?
• Un seul littéral (formule atomique ou formule
  atomique négativé) est positif (P0)
• Une clause générale est de la forme
• P0 ? Q1 ? ? Qp ? P1 ? ? Pn
• Qui possède éventuellement plusieurs littéraux
  positifs et qui peut se mettre sous la forme
• P0 ? Q1 ? ? Qp ltP1 ? ? Pn
• ou encore P0 ltP1 ? ? Pn ? Q1 ? ? Qp
• Attention on ne peut utiliser de clauses
  générales en Prolog.

9
Exemple initial type BD

• Des formules logiques
• pere (jacques, pierre) lt
• pere (pierre, isidore) lt
• et des théorèmes à démontrer
• pere (jacques, pierre) et ?X pere (jacques, X),
• on peut déduire les règles Prolog suivantes
• pere (jacques, pierre). /regle 1/
• pere (pierre, isidore). /regle 2/
• et les requêtes Prolog suivantes
• pere (jacques, pierre).
• pere (jacques, X).

10
Exemple initial type BD (1)

• pere (jacques, X). fournit un succès
• X pierre
• pere (X, Y) fournit un succès et deux solutions
• X jacques, Y pierre
• X pierre, Y isidore.
• On trouve ici un exemple de la première de
  dérivation
• Les règles sont consultées par le démonstrateur
  prolog dans leur ordre dapparition.

11
Exemple initial type BD (2)
Le théorème à démontrer suivant ?Z, Y pere
(jacques, Z) ? pere(Z, Y) peut se traduire par la
requête pere (jacques, Z), pere(Z, Y) démontrée
par le processus
1
2
jacques jacques, Z pierre pere (Z, Y)
jacques pierre, Z isidore Echec
2
1
Z jacques, Y pierre Echec
Z pierre, Y isidore Succès
12
Exemple initial type BD (3)

• On trouve ici un exemple de la deuxième règle de
• dérivation
• Les buts (formules atomiques) sont prouvés de
  gauche à
• droite.
• La clause de Horn
• X, Y, Z grand_pere (X, Y) lt pere (Z, Y) ? pere
  (X, Z)
• peut se traduire par la règle
• grand_pere (X, Y) - pere (Z, Y), pere (X, Z).
• ou par la règle
• grand_pere (X, Y) - pere (X, Z), pere (Z, Y).

13
Exemple initial type BD (4)
Exercice donner les deux démonstrations
différentes suivant ces deux règles de la
requête grand-pere(jacques,Y). Exercice
montrer que la clause de Horn ? X, Y, Z
grand_pere(X, Y) lt pere(Z, Y) ? pere(X, Z) est
équivalente à la formule ? X, Y grand_pere(X, Y)
lt ?Z ( pere(Z, Y) ? pere(X, Z))
14
Machine Prolog
-état courant (W, L-b, R) où W ensemble des
variables de la question initiale L-b séquence
des "buts  (formules atomiques) à prouver. R
système déquation courant (supposé
 satisfiable  plus ou moins  fortement ) -éta
t initial (W, Q0, F ) Q0 requête initiale.
15
Machine Prolog (1)
-état final (W, , Rf) Rf satisfaisable. Résul
tat Système déquation "le plus petit" extrait
de Rf portant sur les variables de W. -règle
dinférence (W, B0, B1, , Bm, R), P0
P1, , Pn ----------------------------------------
--------------------- (W, P1, , Pn, B1, ,
Bm, B0 P0 ? R) R et B0 P0 ? R doivent
être statisfaisables
16
Machine Prolog (2)
Exemple état initial (U, grand_pere
(jacques, U), F ) Application de la règle
dinférence (U, grand_pere (jacques, U),
F), grand_pere (X, Y) - pere (X, Z), pere (Z,
Y). ----------------------------------------------
------- (U, pere (X1, Z1), pere (Z1, Y1),
grand_pere (jacques, U) grand_pere (X1, Y1)
? F )
17
3. Contraintes sur les arbres
Équation sur les arbres satisfaisable si les
étiquettes des sommets sont égales et si leurs
fils sont égaux deux à deux. On dit quil y a
 unification  des deux arbres. Exemple f
(1,Y) f (X,4) ou
f
f

X
4
1
Y
a une solution 1 X, Y 4
18
Unification
f (1,Y) et f (X,4) sunifient  en f(1,
4). Exemple f (Y, 2, 1) f (1,Y,Y) na pas
de solution. Exemple X f (1,X) a pour
solution un arbre infini rationnel (voir chap.
7).
19
Listes

• - liste vide constante, soit nil
• liste non vide terme complexe soit cons(E, L)
• où E est le premier élément de liste et L la
  liste restante.
• Exemple cons(1, cons(2, cons(3, nil)))
• Exemple dunification
• cons(X, cons(2, cons(3, nil))) cons(1, L) a
  pour solution
• X 1, L cons(2, cons(3, nil))

20
Construction de programmes
1) Spécification logique 2) Dérivation depuis la
spécification dun programme qui se termine pour
la question considérée.
21
Terminaison et  réversibilité 

• Définition
• concat(X, Y, Z) vrai si X, Y, Z sont des listes
  et si Z est la concaténation de X et Y.
• Spécification
• X, Y concat (nil, Y, Z) lt Z Y.
• E, L, Y, L1 concat (cons(E,L), Y, cons(E, L1))
  lt concat (L, Y, L1).
• Un programme
• concat (nil, Y, Y).
• concat (cons(E,L), Y, cons(E, L1)) -concat (L,
  Y, L1).

22
Terminaison(1)
Est-ce que la démonstration de concat(X, Y, Z) se
termine pour les cas suivants ? X Y Z où
signifie connu et ? inconnu ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
23
Terminaison(cont. 1)
Théorème à retenir  toute suite entière ui, tq ?
i ui ? 0 et ui gt ui1, est finie  Exemple non
trivial proc pgcd (ent a, b) ent cas a b
alors a, a gt b alors pgcd (a-b, b), a lt b alors
pgcd (a, b-a) fcas Avec pré-condition agt0, et bgt0
et entiers
24
Terminaison(cont. 2)
Pour montrer que pgcd (a0, b0) termine (a0gt0,
b0gt0) pgcd (a0, b0) -gt pgcd (a1, b1) -gt pgcd
(a2, b2) Il sagit de  découvrir  une fonction
f entière respectant le théorème précédent et
tq u0 f (a0, b0), u1 f (a1, b1), u2 f (a2,
b2) f(a, b) a-b ne convient pas f(a, b)
a-b ne convient pas f(a, b) a b et f(a, b)
a b conviennent.
25
Terminaison (cont. 3)
En programmation logique, il faut prendre soin de
montrer que la fonction f est évaluable Soit Z
connu comme dans la requête concat (X, cons(2,
nil), cons(1, cons(2, nil))) La fonction f Z
convient cons(E, L1)) gt cons(L1) On montre
par réccurence quelle est évaluable. Idem si X
est connu. Les seuls cas de non terminaison sont
ceux où ni la taille de X ni celle de Z ne sont
connues. Question quel est le résultat de la
requête suivante ? concat (cons(1, nil), Y, Z)
26
Notation usuelle de listes
Notations de base , E L Contractions E1
E2En L E1, E2, , EnL E1, E2,
E1, E2,
27
Dérivation de programme

• Définition
• inverse(X, Y) vrai si X est inverse de Y .
• Spécification
• inverse(, ) lt
• E, L, Y, L1 inverse (E L, Y) lt concat
  (L1, E, Y) ? inverse(L, L1).
• Un programme
• inverse1(, ).
• inverse1 (E L, Y) - concat (L1, E, Y),
  inverse1(L, L1).

28
Dérivation de programme(1)
Méthodologie dérivation dun deuxième programme
possédant la même spécification inverse2(,
). inverse2(E L, Y) - inverse2(L,
L1), concat (L1, E, Y). Mêmes questions
concernant la terminaison de démonstrations du
type inverse(X, Y) selon que la taille de X ou
celle de Y est connue.
29
Coupure
Troisième règle de dérivation. Nécessitée par un
besoin defficacité i toutes les démonstrations
ne sont pas nécessaires. Exemple membre_et_reste(
X, L ,R) vrai si X a une occurrence dans L et si
R est L amputée de cette occurence. membre_et_rest
e(X, X L,L). membre_et_reste(X, E L, E
Rp)- membre_et_reste(X, L, Rp).
30
Coupure(1)
membre_et_reste(1, 2,1,3,1,4,1,5, R). fournit
R 2,3,1,4,1,5 R 2,1,3,4,1,5 R
2,1,3,1, 4, 5. Si on introduit la
coupure membre_et_reste(X, X L,L) - !. le
seul résultat est R 2,3,1,4,1,5.
31
Coupure(2)

• La coupure ! est une formule atomique toujours
  vraie. De plus, tous les buts en suspens pour
  prouver le but qui est le sujet de la règle dans
  laquelle intervient la coupure sont abandonnés.
• Exemple
• - B1, !, B2. B - B3.
• B1-A1. B1 - A2.
• A1.
• Consigne règle de dérivation à employer avec
  précaution pour ne pas  supprimer la
  complétude , ie supprimer toutes les
  démonstrations. Emploi  sur  requête initiale,
  !.

32
Coupure(3)
B
abandon
B1, !, B2
A1, !, B2
abandon
!, B2
B2
33
Négation par échec
neg_par_echec(b) - b, !, fail. neg_par_echec(b).
 Fausse  négation à nemployer que sur des
buts instanciés. homme(pierre). homme(jacques). fo
rt(jacques). homme(X), neg_par_echec(fort(X))
donne un succès. neg_par_echec(fort(X)), homme(X)
donne un échec.
34
4. Contraintes sur les listes
Objets les listes Opérations X o Y
(concaténation) Contraintes , , size(N, X) (N
est la taille de X). Exemple U, 2o Y 1o
V, W se réduit en U 1, 2 V, Y
W Deux questions décidabilité de la
satisfaisabilité de telles contraintes et (si
décidabilité) complexité (en termes de nb de
variables et nb déquations).
35
Linéarité
Ici pour obtenir une bonne efficacité, on
autorise seulement des concaténations
 linéaires  tq dans Z X oY , deux des tailles
parmi celles de X, Y et Z sont connues. Exemple X
o 3 o Y 1, 2, 3, 4 nest pas
accepté. Mais size(6, X), 1, 2, 3o X X o 1,
2, 3. size(10000, X), 1o X X o 1. le sont.
36
Réversibilité. Pseudo-linéarité
Pour illustrer le fait que de contraintes gt
de  réversibilité , une nouvelle
mouture inverse(, ). inverse(E o X, Y o
E) - inverse(X, Y). nécessite la vérification
que les équations posées sont linéaires. inverse(
1, 2, Y). termine mais pose des équations non
linéaires. Cependant, elles sont conservées et
elles deviennent linéaires par propagation
(pseudo-linéarité).
37
Réversibilité. Pseudo-linéarité(1)
Une solution sans équations pseudo-linéaires. inve
rse(X, Y) - sixe(N, X), size(N, Y),
palindrome(X o Y). palindrome().
palindrome(E o X o E)- palindrome(X).
38
5. Analyse syntaxique et traduction

• Motivations
• - faire ressortir lanalogie entre la restriction
  que représente les clauses de Horn face aux
  contraintes générales et celle des grammaires
  hors contexte face aux grammaires générales
  ( context-sensitive )
• appliquer le principe de composition dans un
  cadre rigoureux qui fait apparaître le besoin de
  valeurs sous la forme de fonctions
• Analyse syntaxique
• Exemple le langage ancbn, n ? 0 défini par la
  gramaire G daxiome S
• S -gt c
• S -gt a S b

39
Analyse syntaxique
Il sagit de définir le prédicat analyse-G(M)
vrai si la liste M représente une chaîne du
langage décrit par G Exemple analyse_G(a, a,
c, b, b) est vrai Deux clause sont dérivées à
partir des deux règles de grammaires analyse_G(M)
- M c. analyse_G(M) - M ao M1ob,
analyse_G(M1). Mais à cause de la restriction sur
la concaténation, cette dérivation ne peut être
généralisée.
40
Analyse syntaxique(cont. 1)
Exemple la grammaire suivante daxiome A A -gt X
Y X -gt ? X -gt a X b Y -gt ? Y -gt c Y La
démonstration de analyse-G(a, b, c) pose
léquation M M1o M2 et demande les
démonstrations de analyse_X(M1) et de
analyse_Y(M2) qui ne terminent pas
41
Analyse syntaxique(cont. 2)
Une solution correcte mais très inefficace
remplacer les contraintes sur les listes par des
contraintes sur les arbres. Exemple analyse_G(M)
- concat(M1, M2, M), analyse_X(M1),
analyse_Y(M2). Autre solution. Idée  préparer 
la concaténation à droite. Formellement faire
abstraction du suffixe dune chaîne , ie au lieu
de considérer quil sagit de la chaîne vide, on
l abstrait  (on le considère comme inconnu).
En lambda-calcul, la représentation serait
labstraction ? S.M o S où M est la chaîne et S
le suffixe. Pratiquement, en Prolog qui est basé
sur la logique du 1er ordre (sans
lambda-expression) une chaîne est représentée
par C, S comme le préfixe de la chaîne C dont
le suffixe est S ( difference list ). Exemple
a, b, c S, S est la représentation de la
chaîne abc.
42
Analyse syntaxique(cont. 3)
Pratiquement, la représentation que nous adoptons
en Prolog ne permet quune seule application pour
une ? -expression. Dun point de vue
mathématique, la concaténation des listes X
?S.M1 o S et Y ?S.M2 o S est Z ?S.M2 o S Z
est le résultat de lapplication de X sur Y.
43
Analyse syntaxique(cont. 4)
La concaténation devient concat1(C1, S1, C2,
S2, C, S) - C C1, S1 C2, S S2. et dune
façon générale (n ?0) concatn(C, S1, S1, S2,
Si-1 , Si, Si , Si1, Sn, S, C,
S). Exemple analyse_A(C, S) - analyse_X(C,
S1), analyse_Y(S1, S). analyse_X(S,
S). analyse_X(C, S) - mot(C, a, S1),
analyse_X(S1, S2), mot(S2, b,
S). analyse_Y(S, S). analyse_Y(C, S) -
mot(C, c, S1), analyse_Y(S1, S). où
mot(XS, X, S).
44
Analyse syntaxique(cont. 5)
analyse_A(C, S) se lit vrai si C débute par
une dérivation du non-terminal A et se termine
par S. Remarque analyse_A(a, b, c, ) est
vrai si abc est une dérivation de A. Note la
chaîne vide est représentée formellement par la
fonction identité, soit ? S.S.
45
Analyse syntaxique(cont. 6)
Dans le cas général, pour la règle hors
contexte X0 à X1 Xn, n ?0 on obtient la
clause analyse_ X0(C, S) - p1(C1,S1), ,
pn(Cn,Sn). avec C1 C, Sn S Et si Xi est non
terminal, alors pi(Ci, Si) est analyse_ Xi(Ci,
Si) avec Ci Si-1 et S0 C si Xi est
terminal, alors pi(Ci, Si) est mot(Ci, Xi, Si)
avec Ci Si-1
46
Traduction
Principe de composition (dit aussi de FREGE) la
valeur dun tout est une fonction de la valeur de
ses composants. Peut sembler trivial. En fait une
méthode de construction de définitions (et du
coup de programmes) très utile. Exemple on
considère les expressions décrites par la
grammaire G suivante daxiome E E à T E à T
E T à F T à F T F à a F à b F à c F à ( E )
47
Traduction(cont. 1)
Il sagit de définir la traduction dune telle
expression dans le langage des termes A suivants
a, b, c, plus2(A1, A2), mul2(A1, A2) où A1 et A2
sont de type A. Donc de définir le prédicat
tradE_A(C, S , A) vrai si C débute par une
dérivation de E dont la traduction est A et se
termine par S. tradE_A(C, S , A) -
tradT_A(C, S , A) . tradE_A(C, S , A) -
tradT_A(C, S1 , A1), mot(S1, , S2),
tradE_A(S2, S , A2), Aplus2(A1,
A2). tradT_A(C, S , A) - tradF_A(C, S , A)
. tradT_A(C, S , A) - tradF_A(C, S1 , A1),
mot(S1, , S2), tradT_A(S2, S , A2),
Amul2(A1, A2). tradF_A(C, S , a) - mot(C, a,
S). tradF_A(C, S , A)- mot(C, (, S1).
tradE_A(S1, S2, A), mot(S2, ), S).
48
Traduction(cont. 2)
Le principe de composition sapplique sans
difficulté. La décomposition est donnée par les
règles de grammaire. Les valeurs des expressions
termes et facteurs sont des arbres. La
recomposition des valeurs est donné par
construction de nouveaux arbres. Un programme se
déduit aisément de cette spécification pour une
requête où la taille de la chaîne C est donnée.
En effet, la démonstration termine car la taille
de C diminue strictement pour des démonstrations
successives portant sur un même prédicat. Nous
procédons dans ce qui suit à une étude montrant
la nécessité de revenir sur la décomposition (ie
déterminer de nouvelles grammaires pour le même
langage) et sur la notion de valeur à associer à
un composant (abstraction comme dans les
grammaires de Montague)
49
Traduction(cont. 3)
Les opérateurs que nous avons considérés ( et )
sont associatifs ((a b) c a (b c)).
Introduisons lopérateur - qui ne lest pas et le
terme moins2(A1, A2) dans le langage des
termes. Une idée immédiate consiste à remplacer
par - (et plus2 par moins2). E à T E à T -
E avec tradE_A(C, S , A) - tradT_A(C, S ,
A) . tradE_A(C, S , moins2(A1, A2)) -
tradT_A(C, S1 , A1), mot(S1, -, S2),
tradE_A(S2, S , A2). Ce nest pas bonne idée.
En effet tradE_A(a, -, b, - , c, , A)
donne A moins2(a, moins2(b, c)) qui nest pas
la bonne traduction, mais celle de a (b
c). Rappel Cest opérateur le plus à gauche qui
a la plus forte priorité.
50
Traduction(cont. 4)
La méthode consiste à reprendre le principe de
composition et à rechercher une nouvelle
décomposition, cest-à-dire une grammaire
différente, mais toujours pour le même
langage. Un bonne décomposition est la
suivante E à T E à E - T avec tradE_A(C, S ,
A) - tradT_A(C, S , A) . tradE_A(C, S ,
moins2(A1, A2)) - tradE_A(C, S1 , A1),
mot(S1, -, S2), tradT_A(S2, S ,
A2). Malheureusement, cette fois, cest le
démonstrateur ( notre représentation pour les
chaînes) qui flanche tradE_A(a, -, b, - ,
c, , A) ne termine pas, comme cest la cas
pour les analyseurs descendants, à cause de la
récursivité à gauche (sur E).
51
Traduction(cont. 5)
Une autre grammaire doit donc être construite
avec les caractéristiques suivantes non
récursive à gauche, mettant en évidence
lopérateur et son opérande droit. La grammaire
suivante (où RT, pour  reste de terme , est un
nouveau non-terminal) convient E -gt T RT RT -gt
? RT -gt - T RT Le traducteur qui sen déduit
pour E tradE_A(C, S , A) - tradT_A(C, S1 ,
A1), tradRT_V(S1, S , V), composition(A,
A1, V). pose naturellement - la question de la
nature de la valeur V dun reste de terme et -
celle la composition des valeurs A1 et V qui doit
donner celle dune expression, cest-à-dire A.
52
Traduction(cont. 6)
Un exemple dans un autre domaine permet
déclairer la démarche pour déterminer V et la
composition recherchée. En linguistique, on se
pose typiquement le problème de la traduction de
groupe nominaux du type La maison qui est
belle dans un langage logique, en loccurrence
ici en la formule atomique belle(maison). Le
problème rencontré est similaire au nôtre dans la
mesure où la décomposition fait apparaître la
proposition relative (le sujet est inconnu comme
le premier opérande du premier dans un reste de
terme). La solution est de donner à une
subordonnée la valeur dune principale dans
laquelle le référent (ici maison) est
 abstrait  (ie inconnu) ?X. belle (X). La
composition est alors lapplication de cette
fonction sur le référent, soit (?X. belle
(X))(maison) belle(maison)
53
Traduction(cont. 7)
Comme dans le cas des  difference lists , une
lambda-expression ?X.F.est représentée en Prolog
par un couple nous le notons ici lambadaX, F.
Lapplication, comme on la vu, ne peut avoir
lieu quune fois (ici, comme dans le cas des
 difference lists  ce nest pas gênant). On
obtien, tradE_A(C, S , A) - tradE_A(C, S1
, A1), tradRT_V(S1, S , lambada(X,
A2)), A A2, X A1. De la même
façon tradRT_A (C, S , lambada(X,
X)). tradRT_A (C, S , lambada(Z, A)) - mot(C,
-, S1), tradE_A(S1, S2, A1),
tradRT_V(S2, S , lambada(X, A2)), A A2, X
moins(Z, A1).

54
Traduction(cont. 7)
Remarque1 dans cette dernière règle la valeur de
?Z. A est le résultat de lapplication de ?X. A2
à la valeur du reste de terme - T, cest-à-dire
?Y. A1. Exercice Soit ?X. A2 ?X. moins(X, c),
?Y. A1 ?Y. moins(Y, b). Déterminer ?Z.
A. Remarque2 la règle définissant tradE_A
sécrit aussi tradE_A(C, S , A2) -
tradE_A(C, S1 , A1), tradRT_V(S2, S ,
lambada(A1, A2)). qui fait apparaître une
exécution qui nest pas celle naturellement issue
du principe de composition. Il ny a pas
contradiction celui-ci est utilisé à des fins de
spécification.
55
6. Contraintes numériques
Contraintes linéaires relations , gt, dif(X,
Y) opérations , -, , / Restriction dans un
produit XY, X ou Y doit être connu. Exemple
nbpattestêtes(Chats, Oiseaux, Np, Nt)- Np 4
Chats 2 Oiseaux, Nt Chats
Oiseaux,. Exercice réponses aux
requêtes nbpattestêtes(Chats, Oiseaux, 16,
5). nbpattestêtes(Chats, Oiseaux, 3, 1).
56
Contraintes heuristique dénumération
Illustration de la méthodologie contraintes
heuristiques dénumération le cas de la
recherche des solutions entières. Exemple (
cryptogramme) Déterminer S, E, N, D, M O, R, Y
entiers de 0 à 9 tels que laddition S E N
D MORE ------------- M O N E Y soit
vérifiée.Il sagit de définir solution_crypt(S,
E, N, D, M, O, R, Y) vrai si les variables S, E,
N, D, M, O, R et Y répondent aux conditions
précédentes.
57
Contraintes heuristique dénumération (cont. 1)
solution_crypt(S, E, N, D, M, O, R, Y)
- tous_differents(S, E, N, D, M, O, R, Y), K1
1000S 100E 10N D, K2 1000M 100O
10R E, K3 10000M 1000O 100N 10E
Y, K3 K1 K2, dif(S, 0), dif(M,0), / fin de
la partie contraintes, suit lénumération/ enumer
ation(S, E, N, D, M, O, R, Y). Exercice
trouver un bon  (efficace) ordre dans lequel
énumérer (voir ci-après) les variables (qui nest
pas forcément S, E, N, D, M, O, R, Y). Cest tout
lart de déterminer une heuristique
(méta-connaissance). Par exemple, en énumérant
dabord les variables intervenant dans le plus
grand nombre de contraintes.
58
Contraintes heuristique dénumération (cont. 2)
tous_differents(). tous_differents(X L) -
0 ? X, X ? 9, different(X, L),
tous_differents(L) different(X,
). different(X, Y L)- dif(X, Y),
different(X, L). enumeration(). enumeration(X
L) - enum0_9(X), enumeration(L). enum0_9(0). e
num0_9(1). enum0_9(9).
59
Démonstration automatique
Illustrations de lutilisation dun résolveur
pour la démonstration automatique (en particulier
de formules universelles). A noter le
démonstrateur Prolog permet de faire de la
démonstration, mais, comme on la vu, elle nest
pas vraiment automatique, il faut quelquefois
laider pour que la démonstration
termine. Méthode pour démontrer ?X P(X) gt Q(X)
montrer que (?X P(X) gt Q(X)) nest pas
satisfaisable. Soit montrer que ?X ( P(X) gt
Q(X)) ou encore ?X P(X) ? Q(X) nest pas
satisfaisable. Exemple le théorème de Varigon
 pour tout quadrilatère ABCD, le quadrilatère
des milieux M1 M2 M3 M4 (M1 (resp. M2, M3, M4)
milieu de AB(resp. BC, CD, DA)) est un
parallélogramme . Il sagit de montrer que la
proposition il existe un quadrilatère ABCD pour
lequel le quadrilatère des milieux nest pas un
parallélogramme  n est pas satisfaisable.
60
Démonstration automatique. Fig.
A
M1
M4
B
I
D
J
M2
C
M3
61
Démonstration automatique (cont. 1)
Sachant quun parallélogramme est caractérisé par
le fait que ses deux digaonales se coupent en
leur mieux, il vient varignon -
neg_par_echec(non_varignon_possible). non_varigno
n_possible - milieu(A, B, M1), milieu(B, C,
M2), milieu(C, D, M3), milieu(D, A,
M4), milieu(M2, M4, J), milieu(M1, M3,
I), dif(I, J) / négation de la
conclusion/. milieu(X1, YI, X2, Y2, X, Y)
- X (X1 X2) / 2, Y (Y1 Y2) /
2. Bien noter la nécessité que les équations
posées soient linéaires (cest le cas ici).
62
Démonstration automatique (cont. 2)
Autre exemple montrer que toute suite entière
telle que ui2 ui1 - ui a une période de
9. periode9 - neg_par_echec(periode9_non_possible
). periode9_non_possible - size(11, S),
bonne_suite(S), size(2, S1), size(7, S2),
size(2, S3), S S1 o S2 o S3, dif(S1, S3) /
négation de la conclusion/. bonne_suite(X1,
X0). bonne_suite(S o X2, X1, X0)
- val_abs(X1, X1p), X2 X1p X0,
bonne_suite(S o X2, X1). val_abs(X, X) - X ?
0. val_abs(X, -X)- X lt 0.
63
7. Arbres infinis rationnels

• Introduits naturellement par des équations au
  point fixe sur les arbres.
• Exemple X f(1, X)
• Deux approches sont possibles
• on admet que ces systèmes ont des solutions des
  arbres infinis dits rationnels dans la mesure où
  ils possèdent un nombre fini de sous-arbres.
• Exemple dans le cas précédent X admet deux
  sous-arbres 1 et X.
• -on rejette ces systèmes pour des raisons
  théoriques (intuitivement, il devient possible
  quun système cohérent sur les arbres ne le soit
  pas si on donne des significations aux foncteurs
  f(X, 4) f(3, Y) est cohérent si f est
  interprété par ou par , ce nest pas le cas
  pour X f(1, X)). Ce rejet est coûteux il faut
  vérifier que chaque unification ne donne pas lieu
  à de telles équations.

64
Arbres infinis rationnels. Fig.
f
X
f
1
f
1
1

Grâce aux arbres infinis on dispose en Prolog IV
des graphes finis comme des  valeurs à part
entière , cest-à-dire manipulable comme des
touts
f
1
65
Arbres infinis rationnels (cont. 1)
Il existe bien sur des arbres infinis non
rationnels. Exemple
f
g
f
1
g
f
g
1

.
66
Arbres infinis rationnels (cont. 2)
Illustrations - dune part, de représentation à
laide de graphe fini et dutilisation
(grammaire et analyse syntaxique) - dautre part,
de la construction de graphes finis et de la
terminaison de parcours (substitution appliquée à
un arbres infini rationnel)
67
Grammaire et analyse syntaxique
ou
Exemple de graphe fini à un non terminal est
associé un arbre ou et à une règle un arbre et E
à T E à T E T à F T à F T F à a F à b F à c F
à ( E )
et
et
ou

et
et
ou

et
et
et
et
a
c
b
(
)
68
Grammaire et analyse syntaxique(1)
Cet arbre est E, solution du système suivant E
ou (et(T), et(T, , E)), T ou (et(F), et(F, ,
T)), F ou(et(a), et(b), et(c), et((, E,
))). Lobjectif consiste à construire analyse_G
(G, C, S) vrai si C commence par la dérivation
du nom terminal G (représenté par un arbre
infini) et se termine par S. Exemple
analyse_G(E, a, , b, , c, ) est vrai.
69
Grammaire et analyse syntaxique(2)
Les sous-arbres sont soit une feuille, soit de la
forme ou() , soit de la forme et(). On utilise
la contrainte .. telle que f(X1, , Xn) .. f,
X1, , Xn analyse_G(G,C, S) - leaf(G),
mot(C, G, S), dif(G, et). analyse_G(G,C, S) -
G .. ou RL_r, analyse_G(R, C, S).
analyse_G(G,C, S) - G .. ou RL_r, Gp
..ou L_r, analyse_G(Gp, C,
S). analyse_G(G,S, S)- G .. et .
analyse_G(G,C, S) - G .. et EL_e,
analyse_G(E, C, S1), Gp ..et L_e,
analyse_G(Gp, S1, S). NB il y a terminaison
si la taille de C est connue
70
Substitution
Il sagit de donner une méthode assurant la
terminaison dans le cas où le graphe est parcouru
et contient des cycles. Exemple subst(A1, A2, X,
Y) vrai si larbre A2 est larbre A1 dans lequel
les feuilles X sont remplacées par Y. On suppose
que les arbres sont de la classe A qui sont des
feuilles ou de la forme f(A1, A2) où A1et A2 sont
des arbres de la classe A. Exemple subst(f(a,
b), f(b, b), a, b) est vrai. En supposant que A1
et A2 sont finis, on obtient subst(A1, A2, X,
Y)- leaf(A1), leaf(A2), A1 X, A2 Y.
subst(A1, A2, X, Y)-l eaf(A1), leaf(A2),
dif(A1, X), A2 A1. subst(A1, A2, X, Y)- A1
f(A11, A12), A2 f(A21, A22), subst(A11,
A21, X, Y), subst(A12, A22, X, Y).
71
Substitution (cont. 1)
A1 f(a, f(A1, b)), subst(A1, A2, b, a).
f
f
f
f
a
a
b
a
72
Substitution (cont.2)
Si A1 et A2 peuvent être infinis, il est
nécessaire dintroduire une liste dancêtres L_a
pour obtenir des chemins finis la décomposition
dun arbre nest considérée que si cet arbre
nappartient pas à L_a. subst(A1, A2, X, Y)-
substp(A1, A2, X, Y, ). substp(A1, A2, X, Y,
L_a)- leaf(A1), leaf(A2), A1 X, A2 Y.
subspt(A1, A2, X, Y, L_a)- leaf(A1), leaf(A2),
dif(A1, X), A2 A1. substp(A1, A2, X, Y, L_a)-
membre(A1, A2, L_a). substp(A1, A2, X, Y,
L_a)- non_membre(A1, A2, L_a), A1 f(A11,
A12), A2 f(A21, A22), substp(A11, A21, X,
Y, A1, A2 L_a), substp(A21, A22, X, Y,
A1, A2 L_a). NB On remarque quil y a
terminaison si la profondeur de A1 où celle de A2
est connue.
73
Unification et arbres infinis rationnels
Lunification de deux arbres infinis nécessite un
algorithme étendu. Exemple il faut détecter la
satisfiabilité du système X f(1, X), Y f(1,
f(1, Y)), X Y Un algorithme possible conserve
les associations des sous-arbres (gauches et
droits) déjà considérés comme des couples
(arbre-g, arbre-d). Chaque fois quun sous-arbre
gauche est considéré à nouveau, cest son arbre
droit dans lassociation qui est considéré pour
lunification. Exemple pour le système
précédent, on donne les couples successifs
(arbre-g, arbre-d) mis en jeu successivement.
74
Unification et arbres infinis rationnels(cont.1)
f
Y
1
X
3
f
1
f
1
2
1
3
4
2
5
5
1
4
75
8. Suspension de processus
Il sagit de la quatrième règle de dérivation
pour produire un programme à partir dune
spécification. Lidée consiste à permettre un
 cadencement  entre des démonstrations pour les
terminer plus rapidement. La nouvelle structure
de contrôle est freeze(X, B) -vrai si B est
vrai -retarde la démonstration de B si X nest
pas  connu . X est dit connu  si létiquette
(ie le foncteur) de X est connu et si on sait si
les nombre de feuilles de X est nul ou
non. Exemples dans les cas suivants X est connu
X 1, X , X E L Les démonstrations
dépendantes de X sont prioritaires si X devient
connu. Exemple freeze(X, B), B1, X 3, B2. La
démonstration de B est prioritaire par rapport à
celle deB2. Entre deux démonstrations
dépendantes de X, la priorité nest pas définie.
76
Suspension de processus (cont. 1)
Exemple même_mot_feuilles(A1, A2) -
mot_feuilles(A1, M), mot_feuilles(A2, M).
mot_feuilles(A2, M) vrai si M est le mot des
feuilles (liste des feuilles de gauche à droite)
de larbre A. On suppose que les arbres sont de
laclasse A qui sont des feuilles ou de la forme
f(A1, A2) où A1et A2 sont des arbres de la classe
A. mot_feuilles(A, A) - leaf(A). mot_feuilles(f
(A1, A2), A1 M) - leaf(A1), mot_feuilles(A2,
M). mot_feuilles(f(f(A11, A12), A2), M) -
mot_feuilles(f(A11, f(A12, A2)), M) .
77
Suspension de processus (cont. 2)
Une démonstration de même_mot_feuilles(A1, A2)
où A1 et A2 sont connus procède par production et
vérification ( generate and test ) de M. Elle
peut être très coûteuse si par exemple, M est
très grand et si les deux arbres diffèrent dès la
première feuille. Exemple même_mot_feuilles(f(a,
f(b, c)), f(f(b, b), c)) La démonstration échoue
seulement après que le mot des feuilles de f(a,
f(b, c)) (soit a, b, c) ait été totalement
produit alors que celui-ci diffère du mot des
feuilles du second arbre (soit b, b, c) par son
premier élément. Il serait plus efficace de
considérer ces deux mots de feuilles de façon
symétrique en comparant leurs deux premiers
éléments, puis les deux suivantsetc,
cest-à-dire en cadençant les démonstrations des
formules mot_feuilles(f(a, f(b, c)), ) et
mot_feuilles(f(f(b, b), c))).
78
Suspension de processus (cont. 3)
La méthode de dérivation est basée dune part sur
lidentification dun producteur et dun ou
plusieurs consommateurs, dautre part sur
lactivation du (ou des) consommateur(s) une fois
la production dun élément (notion à préciser
par le concepteur) faite et la reprise du
producteur après ces consommations. Cette méthode
est illustrée sur un exemple artificiel trivial.
Soit prod(D, T) le producteur (produisant une
liste T à partir dune liste donnée D et
conso(T, R) le consommateur de T fournissant en
résultat la liste R. Si p(D1, T1) et c(T1, R1)
modélisent respectivement les productions et
consommations élémentaires, on obtient programme
- prod(D, T), conso(T, R). prod(,). prod(D1
D, T1 T) - p(D1, T1), prod(D,
T). conso(,). conso(T1 T, R1 R) -
c(T1, R1), conso(T, R).
79
Suspension de processus (cont. 4)
La transformation vise simplement mettre en
attente de T le consommateur (et à le déclencher
dabord) et à laisser le producteur le reprendre.
Concernant lexemple précédent, pour montrer que
cest au concepteur de décider ce quest une
production élémentaire, on décide que la
production élémentaire est accomplie après la
démonstration de p(D1, T1) . On obtient (les
transformations sont indiquées en
rouge). programmep - consop(T, R), prodp (D,
T). consop(T, R) - freeze(T, conso(T,
R)). prodp(,). prodp(D1 D, M) - p(D1,
T1), M T1T, prodp(D, T). conso(,). conso(
T1 T, R1 R) - c(T1, R1), consop (T, R).
80
Suspension de processus (cont. 5)
Lapplication de la méthode à meme_mot_feuilles,
en choisissant mot_feuilles(A1, M) comme
producteur donne même_mot_feuillesp(A1, A2) -
mot_feuillesp (A2, M), mot_feuillespp(A1,
M). mot_feuillesp(A2, M) - freeze(M,
mot_feuilles(A2, M)) mot_feuilles(A, A) -
leaf(A). mot_feuilles(f(A1, A2), A1 M) -
leaf(A1), mot_feuillesp(A2, M). mot_feuilles(f(f(A
11, A12), A2), M) - mot_feuilles(f(A11,
f(A12, A2), M) . NB. On note que dans la
troisième règle, il nest pas nécessaire de
placer le consommateur en attente.
81
Suspension de processus (cont. 6)
La production élémentaire demande que la première
feuille du mot des feuilles du producteur soit
connue mot_feuillespp(A, A) -
leaf(A). mot_feuillespp (f(A1, A2), Mp) -
leaf(A1), Mp A1M, mot_feuillespp (A2,
M). mot_feuillespp (f(f(A11, A12), A2), M) -
mot_feuillespp (f(A11, f(A12, A2), M) .
82
Suspension de processus (cont. 7)
On peut aussi concevoir un producteur artificiel,
dont le rôle est de cadencer les
consommateurs. Exemple un producteur fournit
successivement les éléments du mot du
feuille. même_mot_feuilles(A1, A2) -
mot_feuillesp (A1, M), mot_feuillesp (A2,
M), liste(M). liste (). liste(EM)-
liste(M).