Les extensions des classes des graphes hrditaires

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Les extensions des classes des graphes
héréditaires
Vassilis Giakoumakis
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Sommaire

• Rappels
• Lopération de substitution
• Extensions premières dun graphe
• Deux constructions pour obtenir des extensions
• Extensions le cas infini
• Extensions le cas fini

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All prime extensions of hereditary classes of
graphs
V. Giakoumakis et S. Olariu (rapport
interne- en cours de soumission)
Dédié à la mémoire de Claude Berge (1926-2002)
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Rappels- graphes non orientés
Un graphe non orienté G(V,E) est un couple formé
dun ensemble de sommets V (ou V(G)) et un
ensemble de paires de sommets E (ou E(G)),
appelés arêtes.
? Degré  Le degré dun sommet est le nombre
darêtes ayant ce sommet pour extrémité.
? Une chaîne est une suite alternée de sommets et
d'arêtes. ? Un cycle est une chaîne dont les
arêtes sont distinctes et dont l'origine et
l'extrémité sont confondues.
? Un graphe G est connexe si tout couple des
sommets est relié par une chaîne de G.
? Soit G(S,A) un graphe, un graphe G(S,A) est
un sous-graphe de G si S? S et A est formé par
toutes les arêtes de G ayant leurs deux
extrémités dans S
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Rappels- Illustration
d
a
e
f
Deux composantes connexes a,b et c,d,e,f,g
c
g
b
c
Chaîne de G
e
f
g
d
Sous graphe de G
a
c
f
g
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Lopération de substitution
Soit G1 et G2 deux graphes et un sommet x de
G1 Le graphe G substitut de G1 et G2 est obtenu
en remplaçant x par G2 de sort que tout voisin
de x dans G1 devient voisin de tout sommet de G2.
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Illustration
G
V(G2) devient un module de G
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La notion de module
Module
Soit G(V,E) un graphe. M Í V est un module si et
seulement si pour x ÎV-M, x est adjacent à tout
sommet de M ou x nest adjacent à aucun sommet de
M
Modules triviaux ?, V et tout sommet de G Graphe
premier seulement des modules triviaux
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Lintérêt de lopération de substitution
Lopération de substitution préserve des
propriétés fondamentales des graphes composés
(par exemple la perfection conjecture faible
des graphes parfaits - Lovász 1972)
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Familles des graphes définis par des
configurations exclues

• Soit un graphe H, nous dirons quun graphe G
• est H-libre sil nexiste aucun sous graphe de
• G isomorphe à H.

Exemple les graphes P4-libres
Un P4
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La fermeture par substitution

• Soit F une famille des graphes définis par un
• ensemble Z des configurations exclues.
• Soit F la fermeture de F par substitution.
• Question 1. Sous quelles conditions F
• contient strictement F?
• Question 2. F peut-elle être caractérisée par
• un ensemble Z de configurations exclues?

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La fermeture par substitution

• Question 1. Sous quelles conditions F
• contient strictement F?
• Réponse. FF ssi tout graphe de Z est un
• graphe premier (Giakoumakis 1997)

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Illustration de la preuve
x
f
e
b
a
d
c
G1
G2
Exemple H un C5
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Illustration de la preuve
G1
Le C5 ne peut pas contenir b et c sinon il
aurait un module non trivial contradiction
G2
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Configuration exclue graphe décomposable
Théorème précédent ? si H décomposable alors H
peut être formé dans G bien quil nest ni dans
G1 ni dans G2
x
f
e
b
a
G1
d
c
G2
a
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La fermeture par substitution

• Question 2.F peut-elle être caractérisée par
• un ensemble Z des configurations exclues?
• Réponse (Giakoumakis 1997)
• Oui, Z est lensemble des graphes qui
• sont premiers
• ils contiennent un graphe de Z comme sous-graphe
• ils sont minimaux pour la relation dinclusion et
  les deux propriétés ci-dessus.
• Ces graphes sappellent les EXTENSIONS premiers

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Z est un ensemble fini?

• Réponse (Giakoumakis 1997) Pas
• nécessairement.
• Contre exemple

Un graphe H
Cycle ayant au moins 5 sommets
Un seul module le cycle
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Les extensions de H
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Quelles sont les familles des graphes dont
lensemble dextensions est un ensemble fini?

• Réponses partielles dont les principaux sont
• Les graphes dont chaque module contient au plus
  deux sommets (Giakoumakis 1997)
• Tous les graphes à 4 sommets sauf le S4 et le K4
  (Brandstadt, Hoang, Vanherpe 2002)
• Les graphes P4-homogènes chaque module non
  trivial est un sous-graphe dun P4 (Zverovich
  2003)

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Les extensions dun C4 (cycle sans cordes à 4
sommets)
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Les extensions de toute famille des graphes
définis par des sous-graphes exclus

• Il y a deux familles des graphes dont lensemble
  dextensions
• est un ensemble fini
• Les graphes P4-homogènes
• Les graphes 2P4-homogènes

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Deux démarches pour obtenir la preuve

• Proposer une construction donnant une infinité
  dextensions pour tout graphe qui nest pas
  P4-homogène ou 2P4-homogène
• Montrer que la famille des graphes 2P4-homogènes
  a un nombre fini dextensions.

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Deux constructions fondamentales pour obtenir des
extensions

• L extension fondamentale (à partir de larbre
  de la décomposition modulaire)
• La  chaîne-extension  dun graphe (extension
  infinie)

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Décomposition modulaire
Théorème de décomposition Gallaï, 67, Habib,
81
Soit G(V,E) un graphe, l une des conditions
suivantes est vérifiée
1) G n est pas connexe
3) Il existe une unique partition P de V en
modules forts telle que G/P est un graphe
premier.
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Décomposition modulaire
Trois types de modules obtenus en décomposant
récursivement G comme suit

• G nest pas connexe, décomposer G suivant ses
  composantes
• connexes (Type P)

3. Décomposer G suivant ses modules forts (Type N)
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Arbre de décomposition modulaire
N
S
S
P
P
N
S
P
S
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Extension fondamentale
N
S
S
P
Méthode ajouter un nombre minimal des nouveaux
sommets ayant exactement un seul voisin afin de
 casser  tout module non trivial de G.
P
N
S
P
S
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La chaîne-extension
M
G est connexe (sinon on considère G ) V(G)
(M,A,B), M connexe et ? chaîne
A
B
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La chaîne-extension
Q
Extension fondamentale Q    casse 
tout module de M D  casse  tout module de A
et B
M
D
A
B
30
La chaîne-extension
Q
M
D
Q?M graphe premier et le seule module de G
A
B
31
La chaîne-extension
P une chaîne arbitrairement longue Le
graphe ainsi obtenu est premier
Q
M
D
A
B
P
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La chaîne-extension-resumé
V(G) (M,A,B), M? chaîne Extension
fondamentale Q    casse  tout module de M D 
casse  tout module de A et B Q?M graphe
premier et le seule module de G P une chaîne
arbitrairement longue
Graphe premier
Q
M
D
A
B
P
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La chaîne-extension
Q
On montre que toute extension de G contenu dans
ce graphe contient P
M
D
A
B
P
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Les différents cas pour G
1. ? M connexe t.q. M ? Pk, kgt1 (Z infini,
chaîne-extension) 2. ? M connexe, M ? Pk, k? 1
2.1 G est P4-homogène (Z fini, Zverovich
2003) 2.2 G ? P4 homogène 2.2.1 G
connexe (Z infini) 2.2.2 G
dis-connexe 2.2.2.1 G est
2P4homogène (Z fini) 2.2.2.2
G ? 2P4homogène (Z infini)
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G est P4-homogène(Z fini-Zverovich 2003)
Pourquoi Z est fini?
Théorème (Zverovich 2003). Soit un graphe G, M
un module non trivial de G et Q une extension de
G. Alors pour toute copie M de M dans Q il
existe un pseudo-path relativement à M.
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Pseudo-path Illustration
M
A
B
37
Pseudo-pathIllustration
M
A
B
38
Le P4 graphe autocomplementé
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M? P4
On retrouve M dans a,b,c,d donc on a une
nouvelle copie du graphe G (idem si P est une
co-chaîne)
a
b
c
M
d
A
B
40
2.2 G ? P4 homogène 2.2.1 G connexe
(Z infini)
Nous appliquons la chaîne-extension dans G
Rappel H est une extension de G ssi H est une
extension de G
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2.2.2 G est dis-connexe
Théorème. G ? P4-homogène et ? M connexe, M ? Pk,
k? 1 ? G a exactement deux
composantes connexes
En effet supposons au mois 4 composantes connexes
Module contenant un triangle dans G et donc ?
chaîne, contradiction
On procède de façon analogue si on suppose quil
y a trois composantes connexes
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Exemple dun graphe 2P4-homogène
C1
On aura une copie de C1 si la chaîne a plus de
7 sommets
Chaîne
C2
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Exemple dun graphe 2P4-homogène
C1
On aura une copie de C2 si la co-chaîne a plus
de 4 sommets
Co-chaîne
C2
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2.2.2 G est dis-connexe 2.2.2.1 G est
2P4-homogène
- C1 ? Pk, kgt4 ou - C1 union de deux
chaînes Pk et Pl avec (k1 et 3ltllt4) ou (k2 et
2ltllt4) ou (k3 et 1gtllt4) ou (k4 et 1ltllt4)
ou - C1 ? S3 ou union S2 et K2 C2 ?P4
ou union K2 et S1 ou ? S2 ou K1
C1
C2
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2.2.2 G est dis-connexe 2.2.2.2 G ?
2P4-homogène
On prouve que Z est infini par une construction
analogue à la chaîne-extension
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Perspectives

• Énumérer toutes les extensions dans le cas fini
  (manuellement ou en utilisant un algorithme
  lorsque Z a beaucoup déléments)
• Proposer dautres techniques pour produire une
  infinité dextensions (on pourra ainsi
  approfondir notre connaissance sur les graphes
  premiers)