Distances dans le Syst

1
Distances dans le Système solairela mesure de
l'unité astronomique
2
1 - Proportions du système solaire daprès
Copernic
Distance des planètes inférieures en général et
de Vénus en particulier
Au moment de son élongation maximale, langle
Terre-Planète-Soleil est un angle droit.
3
Proportions du système solaire daprès Copernic
Au moment de son élongation maximale, langle
Terre-Planète-Soleil est un angle droit.
On peut écrire 
Pour Mercure, q 24 et pour Vénus q 46,3
d'où en posant TS 1 UA
MS 0,41 UA et VS 0,723 UA
4
Proportions du système solaire daprès Kepler
Daprès la troisième loi de Képler, si T est la
période de rotation dun astre autour du Soleil
et si a est le demi grand axe de sa trajectoire
elliptique,
Pour toutes les planètes tournant autour du
Soleil, le carré de la période sidérale T
exprimée en années est égal au cube du demi grand
axe a exprimé en unités astronomiques 
5
Proportions du système solaire daprès Kepler
En supposant les trajectoires circulaires pour la
Terre et Vénus on a 
En prenant TT 365,25 j et TV 224,70 j, on
obtient
6
Proportions du système solaire daprès Kepler
En réalité, les orbites sont elliptiques et le
rapport des distances dépend de l'orientation des
planètes .
A un instant donné le rayon vecteur rp joignant
le centre du Soleil à une planète P se calcule à
laide de la formule suivante 
ap est le demi-grand axe de lellipse, ep est
lexcentricité de lellipse, et sont les
coordonnées polaires qui permettent de
positionner la planète sur son orbite.
A un instant t dalignement des planètes, le
rapport des rayons vecteurs est égal à
7
2 - Principe de la mesure de la distance
Terre-Soleil
Imaginons 2 observateurs terrestres, lun en A et
lautre en B  
De A, Vénus se projette au point A sur le disque
solaire De B, Vénus se projette au point B sur
le disque solaire
8
double
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
Imaginons 2 observateurs terrestres, lun en A et
lautre en B  
De A, Vénus se projette au point A sur le disque
solaire De B, Vénus se projette au point B sur
le disque solaire
Pour simplifier supposons que les deux
observateurs sont sur un diamètre terrestre.  
9
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
Notons  e AB D diamètre du Soleil R rayon
de la Terre
La valeur maximale de AB obtenue lorsque AB 2
R
(Superposition de photographies )
10
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
Ce rapport permet de déterminer la parallaxe du
Soleil et den déduire sa distance à la Terre
11
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
Le diamètre apparent du Soleil est mesurable
depuis la Terre et vaut
Dans le cas de A et B diamétralement opposés 
12
Principe de la mesure de la distance Terre-Soleil
0
Exemple R 6378 km,
Alors TS 150 000 000 km
13
3 - Géométrie simplifiée du problème
A et B désignent les images de la planète Vénus
sur le disque solaire respectivement observées
depuis les postes A et B 
bS désigne la parallaxe du Soleil vu depuis les
2 postes A et B. (Ce nest pas la parallaxe du
Soleil !) bV désigne la parallaxe de Vénus vu
depuis les 2 postes A et B
On trace la parallèle à AA passant par B. Db
désigne lécart angulaire entre A et B  vus 
depuis un point de la Terre .
14
3 - Géométrie simplifiée du problème
La différence entre les écarts angulaires
correspond à la différence des  parallaxes  de
Vénus et du Soleil. En utilisant les observations
depuis 2 points de la Terre, on est en mesure de
déterminer la valeur de cet angle Db voir plus
loin.
15
3 - Géométrie simplifiée du problème
Avec des angles mesurés en radians et en
supposant que le segment AB est perpendiculaire
à la direction Terre-Soleil 
Reste à déterminer AB et D b !
16
Calcul de D b
1. Méthode directe
Il sagit de mesurer le diamètre du Soleil et la
distance entre les deux traces c'est-à-dire AB
sur une photographie.
17
Calcul de D b
1. Méthode directe
Le diamètre angulaire du Soleil vu depuis la
Terre est 31,5
donc
18
Calcul de D b
2. Calcul de D b par la méthode des cordes
La distance entre les cordes vues de A et B est
difficile à mesurer car les 2 lignes sont très
proches lune de lautre en comparaison du
diamètre du Soleil.
On peut remplacer les mesures de AB par la
mesure des cordes A1A2 et B1B2
19
Calcul de D b
2. Calcul de D b par la méthode des cordes
Par utilisation du théorème de Pythagore
Au travail !
20
Calcul de D b
3. Calculs de D b par la méthode des temps de
passage
Supposons que le mouvement apparent de Vénus sur
le Soleil ait lieu à vitesse constante, la même
pour tous les observateurs. Cette vitesse dépend
du mouvement relatif de Vénus et de la Terre
autour du Soleil.
Vitesse apparente de Vénus 
Depuis la Terre, on voit Vénus tourner autour du
Soleil en 584 jours (période synodique).
Si les angles sont comptés en radians, on a  VV
SV . ? TV . ? doù
En comptant les angles en minutes darc, le
rapport ? / ? est inchangé.
21
Vitesse apparente de Vénus
En comptant les angles en minutes darc, le
rapport ? / ? est inchangé. En une heure autour
du Soleil, Vénus parcourt un angle
doù
? 4/heure.
22
Vitesse apparente de Vénus
Les éphémérides permettent de calculer avec
précision le déplacement angulaire de Vénus
devant le Soleil.
Passage de Vénus devant le Soleil 8 juin 2004
Déplacement de la
planète Date UTC Long. Lat.
h m s o ' " o ' " 5 0
0 77 56 18.3077 -00 8 47.8140 6 0 0 77 54
44.4696 -00 9 21.1813 7 0 0 77 53 9.17380
-00 9 54.4647 8 0 0 77 51 32.4902 -00 10
27.8149 9 0 0 77 49 54.5840 -00 11
1.37760 10 0 0 77 48 15.7045 -00 11 35.2839
11 0 0 77 46 36.1684 -00 12 9.64090 12 0
0 77 44 56.3377 -00 12 44.5247
Déplacement du Soleil Date UTC Long.
Lat. h m s o ' " o ' "
5 0 0 77 44 58.4074 -00 0 0.6005 6 0
0 77 47 21.8494 -00 0 0.5994 7 0 0 77 49
45.2904 -00 0 0.5982 8 0 0 77 52 8.7306
-00 0 0.5969 9 0 0 77 54 32.1697 -00 0
0.5956 10 0 0 77 56 55.6080 -00 0 0.5943 11
0 0 77 59 19.0453 -00 0 0.5928 12 0 0 78
1 42.4817 -00 0 0.5914
Vitesse angulaire relative ?
Calculs d'éphémérides (http//www.imcce.fr/ephem/
ephepos/ephepos_f1.html)
23
Calcul de D b
3. Calcul de D b par la méthode des temps de
passage
Soit t0 lhypothétique durée de passage de Vénus
le long dun diamètre.
A la vitesse de 4 minutes darc par heure on
obtient
Soit tA la durée du passage observé depuis A et
tB la durée du passage observé depuis B
Il suffit de calculer les temps de passage
observés depuis A et B !
24
Résultats utilisant les observations de 1769
Distance entre les points A et B
A Vardö longitude lA 31,02 est latitude
jA 70,367 nord
B Tahiti longitude lB 149,48 ouest latitude
jB 17,482 sud
T
A et B sont dans le même plan méridien 180
Langle ATB vaut avec calculettes
(90 - jA) 90 jB 127 11 et on utilisera
R 6378 km 
25
Résultats utilisant les observations de 1769
1. mesure directe
Par mesure directe de la distance entre les deux
cordes lignes 1 et 3, on obtient AB 3,8 mm
pour un diamètre sur le dessin D 188 mm
26
Résultats utilisant les observations de 1769
2. par mesure des cordes
En mesurant A1A2 et B1B2 sur le disque du Soleil,
on obtient
A1A2 141,5 mm B1B2 134 mm D 188,0
mm
27
Résultats utilisant les observations de 1769
3. Par mesure des temps de transit
28
Résultats utilisant les observations de 1769
3. Par mesure des temps de transit
Pour Vardö situé en A, avec lobservation de
Borgrewing, on calcule en prenant les temps des
contacts intérieurs
tA 15h 27 min 28,6 s 9h 34 min 32,6 s
21 176 s
Pour Tahiti situé en B, avec lobservation de
Cook, on calcule
tB 15h 14 min 11s 9h 44 min 15 s 19 796 s
En utilisant t0 28 350 s
29
Résultats utilisant les observations de 1769
Distance Terre Soleil
A
Il faut déterminer la distance de la base
c'est-à-dire la projection de AB dans le plan
perpendiculaire à TS
b
d déclinaison du Soleil
T
B
On a alors base b
où d est la déclinaison de Vénus.
30
Résultats utilisant les observations de 1769
Distance Terre Soleil
A
b
Base 11425 x sin (43,94 22,68) 10 487 km
T
B
31
Calcul de la parallaxe moyenne du Soleil et de
lunité astronomique en 2004
La parallaxe équatoriale moyenne du Soleil p0 est
par définition langle sous lequel on voit le
rayon équatorial de la Terre depuis le centre du
Soleil lorsque le Soleil se trouve à une unité
astronomique de la Terre.
On a donc la relation suivante 
R étant le rayon équatorial terrestre et a
lunité astronomique doù
32
Rappel
Il existe trois méthodes principales pour
calculer la parallaxe solaire à partir des
observations combinées en deux lieux distincts du
passage de Vénus devant le Soleil. Elles sont
citées ici sans ordre chronologique.
La première méthode consiste à mesurer
directement sur deux clichés superposés la
différence de positions de Vénus.
La seconde est la méthode de Delisle, elle
consiste à observer et comparer un même contact
entre le disque de Vénus et le disque solaire.
Les contacts extérieurs étant souvent difficiles
à observer nous nous limiterons dans nos
explications aux contacts intérieurs, mais le
raisonnement est en tous points identique pour
les contacts extérieurs.
La troisième méthode est la méthode de Halley,
elle consiste à observer et comparer la durée du
phénomène.
33
Calcul de la parallaxe à partir des instants des
contacts ou de la durée du passage.
Il existe deux formules simplifiées qui
permettent un calcul direct de la parallaxe à
partir de la comparaison des instants dun même
contact en deux lieux distincts (méthode de
Delisle) ou à partir de la comparaison de la
durée des passages en deux lieux distincts
(méthode de Halley)
Soit t0 linstant observé dun contact intérieur
ou extérieur  pour deux lieux indexés par 1 et 2
de latitudes j1 et j2 et de longitudes l1 et l2.
La parallaxe équatoriale moyenne solaire p0
sobtient en comparant deux contacts identiques à
laide de la formule très simplifiée suivante
Les quantités A, B, C et dD/dt sont calculés pour
chaque contact, sont indépendantes de
lobservateur et peuvent être calculées à
lavance.
On remarque également que la combinaison des
lieux dobservation doit être faite de sorte que
la différence des temps de contacts soit maximale.
34
Calcul de la parallaxe à partir des instants des
contacts ou de la durée du passage.
De même la parallaxe équatoriale moyenne solaire
sobtient en comparant deux durées identiques à
laide de la formule suivante où DTo la
différence de temps de passage observée
i et j sont des indices liés aux mêmes contacts 
i 1, j 4 pour les contacts extérieurs et i
2, j 3 pour les contacts intérieurs.
35
Exemples numériques
Ville n1  Antananarivo (j1 18,866667 et l1
47,5)
Ville n2  Helsinki (j2 60,133333 et l2
25,05)
Dans les formules les facteurs des coefficients
A, B, C sont identiques et peuvent être calculés
séparément 
36
Calcul de la parallaxe à laide des premiers
contacts 
Calcul de la parallaxe à laide des durées des
passages intérieurs 
-2,95426 p0 -2,9391"/min x (8,866 min)
p0 8,822" soit 149 122 300 km (IERS 149
597 870 610 m)
On rappelle que ces méthodes ne sont pas exactes,
et que lon doit utiliser des formules plus
complexes pour réduire les observations.