D

1
Démonstration

• La limite en a de la somme de deux fonctions
  ayant une limite en a est la somme des limites en
  a de ces fonctions

2
Hypothèse

• Considérons deux fonctions f et g dont les
  limites en a sont F et G.

3
Thèse

• Nous devons démontrer que la limite en a de la
  fonction f g est F G

4
Démonstration(1)

• Exprimons que les limites en a de f et de g
• sont F et G en utilisant des intervalles ouverts
• centrés en F et en G et dont le rayon est ?/2
• ???IR0 , ?? ? IR0 , ? x ? IR
• a-? lt x lt a? ? F - ?/2 lt f(x) lt F ?/2
• ???IR0 , ?? ? IR0 , ? x ? IR
• a-? lt x lt a? ? G - ?/2 lt f(x) lt G ?/2

5
Démonstration(2)

• Désignons par ? le plus petit des nombres
• réels ? et ? dès lors,
• a-? lt x lt a?
• a-? lt x lt a? ?
• a-? lt x lt a?

6
Démonstration (3)

• Doù ???IR0 , ?? ? IR0 , ? x ? IR
• F - ?/2 lt f(x) lt F ?/2 (1)
• a-? lt x lt a? ?
• G - ?/2 lt f(x) lt G ?/2 (2)

7
Démonstration (4)

• Finalement, en additionnant membre à
• membre les inégalités (1) et (2) et en tenant
• compte que f(x) g(x) (fg) (x), on obtient
• ???IR0 , ?? ? IR0 , ? x ? IR
• a-? lt x lt a? ? F G - ? lt f(x) lt F G ?

8

• Conclusion
• lim ( fg) lim f lim g
• a a a

9
Démonstration copiée du livre E.BOUTRIAU-PHILIPPE
,J.BOUTRIAU et J.LIEVENS, Savoir et savoir faire
en mathématique 5b, Bruxelles, De Boeck Larcier
( département Dessain), 1992, pg 48-49.
Travail réalisé par DEVROEDE Lucie, 6A C.E.S.
Saint Vincent Soignies 2002-2003