Lignes de transmission et guides dondes aux hyperfrquences

1
Lignes de transmission et guides dondes aux
hyperfréquences
2
Rappels de théorie des lignes de
transmissionThéorie générale des ondes
guidées - expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres -
définition des modes de propagation solutions
particulières TEM, TM, TE lignes de
transmission équivalentes - valeur propre et
relation de dispersion - puissance
associéeApplication à trois topologies
particulières - guide donde rectangulaire à
parois CEP - guide donde planaire - guide
donde circulaire à parois CEP
Plan
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Théorie des lignes de transmission Rappels


V2
V1
impédance caractéristique
avec
exposant de propagation
Z et Y impédance et admittance linéique
Si V1, I1 sont les tensions-courants en entrée (z
-L), et V2, I2 ceux en sortie (z0)
4
Théorie des lignes de transmission Rappels

Si V1 et I1 sont les tensions-courants en z -L,
et V2, I2 ceux en z 0
Et si ZL est limpédance de charge en z 0,
soit V2 - ZL I2
impédance dentrée
5
Théorie des lignes de transmission Rappels
6
Théorie des lignes de transmission Rappels
7
Théorie des lignes de transmission Rappels
8
Théorie des lignes de transmission Rappels
Or
Donc

• minimum de tension pour G(z) réel négatif
• minimum de courant pour G(z) réel positif

? onde de tension stationnaire, ssi GL 1 ou -1
et sans pertes
? définition du taux dondes stationnaires
(TOS) Voltage Standing Wave
Ratio (VSWR)
9
Théorie des lignes de transmission abaque de
Smith
1.0j
charge adaptée
0.5j
2.0j
court-circuit
circuit ouvert
0.2j
0
0.0
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0

-0.2j
Re(Z) cste
Im(Z) cste
-2.0j
-0.5j
-1.0j
10
Théorie des lignes de transmission abaque de
Smith
Soit z1 0 ?z2 -L L 5 mm Zc 50 W
1.0j
0.5j
2.0j
Si b 500 m-1 a 0 ZL 25 W
0.2j
0.0
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0

Si b 500 m-1 a 75 ZL 25 W
-0.2j
Si b 500 m-1 a 0 YL 0 W
-2.0j
-0.5j
-1.0j
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Rappels de théorie des lignes de
transmissionThéorie générale des ondes
guidées - expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres -
définition des modes de propagation solutions
particulières TEM, TM, TE lignes de
transmission équivalentes - valeur propre et
relation de dispersion - puissance
associéeApplication à trois topologies
particulières - guide donde rectangulaire à
parois CEP - guide donde planaire - guide
donde circulaire à parois CEP
Plan
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Théorie générale des ondes guidées
Solutions générales des équations de Maxwell pour
la propagation des ondes TEM, TE et TM dans les
guides dondes et les lignes de transmission
planaires
Câble coaxial
Guide rectangulaire
Guide circulaire
Ligne microruban
Ligne à fente
Guide coplanaire
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Equations de Maxwell en régime harmonique
Hypothèses
milieux isotropes
dépendent de la position
Définition
avec
si pas de pertes (s 0)
? réécriture des équations de Maxwell
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Equations de Maxwell calculs de Ez et Hz
Recherche dune solution de propagation selon
laxe des z
15
Equations de Maxwell calculs de Ez et Hz
16
Equations de Maxwell calculs de Ez et Hz
17
Equations de Maxwell calcul de Ez et Hz
18
Equations de Maxwell calcul de Ez et Hz
Et de même pour la composante longitudinale du
champ magnétique
A chaque valeur propre correspond au moins une
fonction propre, solution de léquation. Ez et Hz
ne sont pas couplées (structure isotrope et
homogène)
19
Equations de Maxwell composantes transverses
20
Equations de Maxwell pour propagation Résumé
avec p2 g2 k2

• Jusquà présent, il sagit dune solution
  générale, pour 6 composantes de champs
• 2 composantes longitudinales Ez et Hz solution
  de Helmoltz
• 4 composantes transverses Ex, Ey, Hx, Hy
  fonction de Ez et Hz
• Dans la suite, nous allons voir quelles solutions
  de ces équations ont 4 et 5 composantes de champ

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Rappels de théorie des lignes de
transmissionThéorie générale des ondes
guidées - expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres -
définition des modes de propagation solutions
particulières TEM, TM, TE lignes de
transmission équivalentes - valeur propre et
relation de dispersion - puissance
associéeApplication à trois topologies
particulières - guide donde rectangulaire à
parois CEP - guide donde planaire - guide
donde circulaire à parois CEP
Plan
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Solutions particulières
5 composantes non nulles Hz 0 mode Transverse
Magnétique TM ou Ez 0 mode
Transverse Electrique TE
4 composantes non nulles Hz Ez 0
mode Transverse Electro-Magnétique TEM
TE,TM
TE,TM
TEM,TE,TM
Câble coaxial
Guide rectangulaire
Guide circulaire
TE
TEM
TEM
Ligne microruban
Ligne à fente
Guide coplanaire
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Rappels de théorie des lignes de
transmissionThéorie générale des ondes
guidées - expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres -
définition des modes de propagation solutions
particulières TEM, TM, TE lignes de
transmission équivalentes - valeur propre et
relation de dispersion - puissance
associéeApplication à trois topologies
particulières - guide donde rectangulaire à
parois CEP - guide donde planaire - guide
donde circulaire à parois CEP
Plan
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Mode TEM
Le mode TEM est caractérisé par des composantes
transverses uniquement Ez et Hz sont donc nulles.
Les composantes transverses sont donc toutes
nulles SAUF si p0, càd k2-g2 ! La solution est
alors indéterminée.
Il faut donc prendre une autre relation pour
calculer les composantes de E et H.
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Mode TEM composantes de champ
0
0
Seule solution
dérive dun potentiel !
26
Mode TEM
Equation de divergence
Equation de Laplace pour potentiel
On obtient donc
Mode TEM dérive dun potentiel solution de Laplace
27
Mode TEM
Le même calcul peut être fait pour
Ce sont donc les champs de la statique. On
obtient le même résultat en transformant les
équations de Maxwell temporelles (voir cours
ELEC2360)
Le champ électrique transverse dépend donc dun
potentiel. Le mode TEM ne peut donc exister que
sil y a 2 conducteurs.
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Mode TEM
Potentiel sol. Laplace
Impédance donde
Coefficient de propagation
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Lignes de transmission équivalentes pour mode TEM


Maxwell
V1
avec
p2 0 ? g2 - k2 - w2 e m
Modes TEM
si sans pertes
Lignes

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Mode TEM

• Pour calculer le mode TEM, il faut
• résoudre léquation de Laplace du potentiel dans
  le plan transverse
• appliquer les conditions limites sur les
  conducteurs
• calculer ensuite E et H, b et Z0

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Rappels de théorie des lignes de
transmissionThéorie générale des ondes
guidées - expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres -
définition des modes de propagation solutions
particulières TEM, TM, TE lignes de
transmission équivalentes - valeur propre et
relation de dispersion - puissance
associéeApplication à trois topologies
particulières - guide donde rectangulaire à
parois CEP - guide donde planaire - guide
donde circulaire à parois CEP
Plan
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Modes de propagation décomposition TE et TM
Equations de Helmholtz
avec p2 g2 k2
avec p2 g2 k2
les composantes z sont calculables indépendamment
lune de lautre. Les solutions de propagation
des équations de Maxwell peuvent donc sexprimer
comme une combinaison linéaire de deux types de
modes les modes TE ou H, pour lesquels Ez
0 les modes TM ou E, pour lesquels Hz 0
33
Modes de propagation TE et TM
Modes TM (ou E)
Modes TE (ou H)
avec p2 g2 k2 valeur propre de léquation de
Helmholtz
Les solutions de léquation de Helmholtz devront
être telles que les conditions limites suivantes
soient satisfaites
à la surface dun conducteur électrique parfait
(CEP)
à la surface dun conducteur magnétique parfait
(CMP)
En général ces conditions limites fixent aussi
les valeurs propres
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Modes de propagation TE et TM lignes équivalentes
Rappel
Hypothèse
Si ligne de transmission
?
avec Z et Y impédance et admittance linéique

• Objectifs
• calculer g et Zo pour modes TE et modes TM
• déduire Z et Y pour modes TE et modes TM, donc
  le circuit équivalent linéique

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Lignes de transmission équivalentes pour mode TM
Modes TM
car
La dépendance transverse des composantes
transverses du champ électrique TM dérive dun
potentiel noté F
Comme et alors
La composante longitudinale du champ électrique
dun mode TM est proportionnelle à un potentiel
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Lignes de transmission équivalentes pour mode TM
Modes TM
Si on se limite à une onde progressive (V- 0)
relation entre dépendances spatiales
car
37
Lignes de transmission équivalentes pour mode TM
Modes TM
avec p2 g2 k2
Si on se limite à une onde progressive (V- 0)
équation de Helmholtz
Cas particulier F constante est admis, à
condition que p2 0 (TEM)
38
Lignes de transmission équivalentes pour mode TM


Modes TM
V1
p2 g2 k2
Lignes
Maxwell
avec
39
Lignes de transmission équivalentes pour mode TM


filtre passe-haut
fréquence de coupure
Si w gt wc Z devient inductive et Y reste
capacitive ? ligne de transmission
40
Lignes de transmission équivalentes pour mode TE
Modes TE
avec p2 g2 k2
Si on se limite à une onde progressive (V- 0)
équation de Helmoltz
41
Lignes de transmission équivalentes pour mode TE


Modes TE
V1
p2 g2 k2
Lignes
Maxwell
avec
42
Lignes de transmission équivalentes pour mode TE


filtre passe-haut
fréquence de coupure
Si w gt wc Y devient capacitive et Z reste
inductive ? ligne de transmission
43
Rappels de théorie des lignes de
transmissionThéorie générale des ondes
guidées - expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres -
définition des modes de propagation solutions
particulières TEM, TM, TE lignes de
transmission équivalentes - valeur propre et
relation de dispersion - puissance
associéeApplication à trois topologies
particulières - guide donde rectangulaire à
parois CEP - guide donde planaire - guide
donde circulaire à parois CEP
Plan
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Interprétation de la valeur propre
Modes TE
avec p2 g2 k2
Modes TM

• les solutions de propagation sont des solutions
  propres de léquation de Helmholtz
• chaque solution a sa propre dépendance spatiale,
  dérivée de celle dun potentiel, et sa valeur
  propre associée p cette distribution spatiale du
  potentiel, ou du champ, est appelée mode de
  propagation du guide
• la dépendance spatiale et la valeur propre seront
  fixées par les conditions limites aux frontières
  de la section transverse
• si plusieurs modes (c-à-dire distributions
  spatiales différentes) ont la même valeur propre,
  ils sont dits dégénérés

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Diagramme de dispersion


p2 g2 k2
en labsence de pertes dans le milieu (s 0)
k2 w2 em (w/c)2 g2 p2 - (w/c)2
Lexposant de propagation est nul à la pulsation
de coupure wc wc p c ? fréquence de coupure
fc p c / 2p ? définition dune longueur donde
de coupure lc c/fc 2p/p Si w lt wc g2 a2
gt 0 Si w gt wc g2 (jb)2 lt 0
46
Diagramme de dispersion


en labsence de pertes dans le milieu (s 0)
Si w lt wc g2 a2 gt 0 Si w gt wc g2
(jb)2 lt 0
Si w gtgt wc g2 (jb)2 lt 0
indépendant de i
47
Diagramme de dispersion

Si w lt wc g2 a2 gt 0 Si w gt wc g2 (jb)2 lt 0

Courbe verte e eo
Courbe bleue e er eo avec er 2 c lt co
? wc diminue
Effet des pertes ab ? 0 pour w lt wc et pour w gt
wc
Courbe rouge e er eo avec er 2 (1 - i
0.1)
48
Diagramme de dispersion


en labsence de pertes dans le milieu (s 0)
Si w lt wc g2 a2 gt 0 Si w gt wc g2 (jb)2 lt 0
Attention
49
Rappels de théorie des lignes de
transmissionThéorie générale des ondes
guidées - expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres -
définition des modes de propagation solutions
particulières TEM, TM, TE lignes de
transmission équivalentes - valeur propre et
relation de dispersion - puissance
associéeApplication à trois topologies
particulières - guide donde rectangulaire à
parois CEP - guide donde planaire - guide
donde circulaire à parois CEP
Plan
50
Puissance véhiculée par un mode de propagation
Rappel que le mode soit TE ou TM, on a
Expression de la puissance véhiculée par un mode
On impose cette puissance identique à celle
véhiculée par la ligne équivalente de la théorie
des circuits
? normalisation !
?
51
Puissance active et réactive


Puissance complexe
Si on se limite à une onde progressive (V- 0)
car g a j b
Mode TM (E)
Mode TE (H)
En labsence de pertes dans le milieu (s 0) Si
w lt wc g a , b 0 P 0, S j Q car Si w gt
wc g j b , a 0 Q 0, S P car
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Puissance active et réactive


En labsence de pertes dans le milieu (s
0) Si w lt wc g a , b 0 P 0, S j Q ?
puissance purement imaginaire ? accumulation
dénergie ? pas de transmission de
puissance Si w gt wc g j b , a 0 Q 0, S
P ? puissance purement réelle ? transmission
de puissance réelle ? pas daccumulation
d énergie
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Rappels de théorie des lignes de
transmissionThéorie générale des ondes
guidées - expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres -
définition des modes de propagation solutions
particulières TEM, TM, TE lignes de
transmission équivalentes - valeur propre et
relation de dispersion - puissance
associéeApplication à trois topologies
particulières - guide donde rectangulaire à
parois CEP - guide donde planaire - guide
donde circulaire à parois CEP
Plan
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Applications à trois topologies particulières

• guide donde rectangulaire à parois CEP
• guide donde planaire
• guide donde circulaire à parois CEP

• Démarche
• Calcul de potentiel solution de Helmoltz si TE
  ou TM
• 
  Laplace si TEM
• Dérivation des champs à partir du potentiel
• Application des conditions limites aux
  frontières transverses
• fixent dépendance spatiale des champs
• valeur propre

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Guide donde rectangulaire à parois CEP


Equation de Helmoltz
avec q F pour TM Y pour TE
b
système cartésien
a
Séparation de variables
p2 constante réelle positive
avec u2 v2 p2
? seule solution
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Guide donde rectangulaire - Mode TM


b
a
Conditions limites sur Ez aux parois CEP (Ez
proportionnel à F)
en x 0 et x a pour tout y en y 0 et y b
pour tout x
CL fixent p
avec u2 v2 p2
Expression générale du potentiel F des modes TM
(ou E)
Avec m, n entiers et m.n ? 0, sinon F est nul, et
tous les champs sont nuls
57
Guide donde rectangulaire - Mode TM


b
a
Expression générale du potentiel F des modes TM
(ou E)
Avec m, n entiers et m.n ? 0, sinon F est nul, et
tous les champs sont nuls
Expression générale des composantes transverses
TM (ou E)
58
Guide donde rectangulaire - Mode TM


b
a
Expression générale des composantes transverses
TM (ou E)
?? Conditions limites sur Ex et Ey aux parois
CEP ??
en x 0 et x a pour tout y ? en y 0 et y
b pour tout x ?
? OK
? OK
59
Guide donde rectangulaire - Mode TE


b
a
Conditions limites sur Ex et Ey aux parois CEP
(Ez est nul pour TE)
en x 0 et x a pour tout y
en y 0 et y b pour tout x
Expression générale du potentiel Y des modes TE
(ou H)
Avec m, n entiers (m.n 0 est admis)
60
Guide donde rectangulaire - Mode TE


b
a
Expression générale du potentiel Y des modes TE
(ou H)
Avec m, n entiers (m.n 0 est admis)
Expression générale des composantes transverses
TE (ou H)
61
Guide donde rectangulaire - mode dominant


en labsence de pertes dans le milieu (s 0)
Si w lt wc g2 a2 gt 0 Si w gt wc g2 (jb)2 lt 0
b
a
fréquence de coupure
avec a gt b, et m.n 0 permis si TE uniquement
La fréquence de coupure la plus basse sera donc
obtenue pour m 1 et n 0 ?mode TE Ce mode
noté TE10 est appelé dominant, parce que cest
celui qui peut se propager (b gt 0) aux fréquences
f gt fc les plus basses
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Guide donde rectangulaire - mode dominant TE10


m 1 et n 0
valeur propre
b
potentiel TE
a
fréquence de coupure
relation de dispersion
composantes transverses TE (ou H)
63
Guide donde rectangulaire - mode dominant TE10


valeur propre
potentiel TE
b
a
Potentiel indépendant de y
y/b
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Guide donde rectangulaire - modes TE11 et TM11


potentiel TE11
potentiel TM11
65
Guide donde rectangulaire - mode dominant TE10

Si guide donde adapté V- 0
si w gt w c
b
a
Expression des champs dans le domaine temporel
66
Guide donde rectangulaire - modes TE10

à toute abscisse y et pour un temps t donné
lg/2